MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrcnv 23662
Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnv (𝜑 → (𝐺 = 𝐻𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑔,,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,,𝑥   𝑔,𝐼,,𝑥   ,𝐺   𝜑,𝑔,,𝑥   𝑔,𝐽,,𝑥   𝑃,𝑔,,𝑥   𝑄,𝑔,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,)   𝑋(𝑥,𝑔,)

Proof of Theorem pi1xfrcnv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2 pi1xfr.q . . . 4 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3 pi1xfr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
5 pi1xfr.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 pi1xfr.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7 pi1xfr.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8 pi1xfrcnv.h . . . 4 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pi1xfrcnvlem 23661 . . 3 (𝜑𝐺𝐻)
10 fvex 6658 . . . . . . . 8 ( ≃ph𝐽) ∈ V
11 ecexg 8276 . . . . . . . 8 (( ≃ph𝐽) ∈ V → []( ≃ph𝐽) ∈ V)
1210, 11mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 (Base‘𝑄)) → []( ≃ph𝐽) ∈ V)
13 ecexg 8276 . . . . . . . 8 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
1410, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 (Base‘𝑄)) → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
158, 12, 14fliftrel 7040 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ⊆ (V × V))
16 df-rel 5526 . . . . . 6 (Rel 𝐻𝐻 ⊆ (V × V))
1715, 16sylibr 237 . . . . 5 (𝜑 → Rel 𝐻)
18 dfrel2 6013 . . . . 5 (Rel 𝐻𝐻 = 𝐻)
1917, 18sylib 221 . . . 4 (𝜑𝐻 = 𝐻)
20 0elunit 12847 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
21 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
22 1m0e1 11746 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
2321, 22eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
2423fveq2d 6649 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
25 fvex 6658 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘1) ∈ V
2624, 7, 25fvmpt 6745 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐼‘0) = (𝐹‘1)
2827oveq2i 7146 . . . . . . . 8 (𝐽 π1 (𝐼‘0)) = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
292, 28eqtr4i 2824 . . . . . . 7 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐼‘0))
30 1elunit 12848 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
31 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
3231fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − 1)))
33 1m1e0 11697 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
3433fveq2i 6648 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘(1 − 1)) = (𝐹‘0)
3532, 34eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
36 fvex 6658 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘0) ∈ V
3735, 7, 36fvmpt 6745 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3830, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐼‘1) = (𝐹‘0)
3938oveq2i 7146 . . . . . . . 8 (𝐽 π1 (𝐼‘1)) = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
401, 39eqtr4i 2824 . . . . . . 7 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐼‘1))
41 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
42 eqid 2798 . . . . . . 7 ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
437pcorevcl 23630 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
446, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
4544simp1d 1139 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
46 oveq2 7143 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
4746fveq2d 6649 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐼‘(1 − 𝑦)))
4847cbvmptv 5133 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑦)))
49 eqid 2798 . . . . . . 7 ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩)
5029, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49pi1xfrcnvlem 23661 . . . . . 6 (𝜑ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ⊆ ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
51 iitopon 23484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
52 cnf2 21854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
5351, 5, 6, 52mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
5453feqmptd 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑧)))
55 iirev 23534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑧) ∈ (0[,]1))
56 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (1 − 𝑧) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑧)))
5756fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (1 − 𝑧) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
58 fvex 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) ∈ V
5957, 7, 58fvmpt 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 − 𝑧) ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
61 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℂ
62 unitssre 12877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0[,]1) ⊆ ℝ
6362sseli 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
6463recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℂ)
65 nncan 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
6661, 64, 65sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
6766fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) = (𝐹𝑧))
6860, 67eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹𝑧))
6968mpteq2ia 5121 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑧))
7054, 69eqtr4di 2851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))
7170oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)))
7271eceq1d 8311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) = [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽))
7372opeq2d 4772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
7473mpteq2dv 5126 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
7574rneqd 5772 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
768, 75syl5eq 2845 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
7776cnveqd 5710 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
783a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
7978unieqd 4814 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐵 = (Base‘𝑃))
8070oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))
8180oveq2d 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))))
8281eceq1d 8311 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽))
8382opeq2d 4772 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩)
8479, 83mpteq12dv 5115 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩) = (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
8584rneqd 5772 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
864, 85syl5eq 2845 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
8750, 77, 863sstr4d 3962 . . . . 5 (𝜑𝐻𝐺)
88 cnvss 5707 . . . . 5 (𝐻𝐺𝐻𝐺)
8987, 88syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻𝐺)
9019, 89eqsstrrd 3954 . . 3 (𝜑𝐻𝐺)
919, 90eqssd 3932 . 2 (𝜑𝐺 = 𝐻)
9291, 76eqtrd 2833 . . 3 (𝜑𝐺 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
9329, 40, 41, 42, 5, 45, 48pi1xfr 23660 . . 3 (𝜑 → ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
9492, 93eqeltrd 2890 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
9591, 94jca 515 1 (𝜑 → (𝐺 = 𝐻𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  Vcvv 3441  wss 3881  cop 4531   cuni 4800  cmpt 5110   × cxp 5517  ccnv 5518  ran crn 5520  Rel wrel 5524  wf 6320  cfv 6324  (class class class)co 7135  [cec 8270  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  cmin 10859  [,]cicc 12729  Basecbs 16475   GrpHom cghm 18347  TopOnctopon 21515   Cn ccn 21829  IIcii 23480  phcphtpc 23574  *𝑝cpco 23605   π1 cpi1 23608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-qus 16774  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-mulg 18217  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-ii 23482  df-htpy 23575  df-phtpy 23576  df-phtpc 23597  df-pco 23610  df-om1 23611  df-pi1 23613
This theorem is referenced by:  pi1xfrgim  23663
  Copyright terms: Public domain W3C validator