Theorem pi1xfrcnv 24955

Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h	⊢ 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrcnv	⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = 𝐻 ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,ℎ,𝑥   𝑔,𝐼,ℎ,𝑥   ℎ,𝐺   𝜑,𝑔,ℎ,𝑥   𝑔,𝐽,ℎ,𝑥   𝑃,𝑔,ℎ,𝑥   𝑄,𝑔,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,ℎ)   𝑋(𝑥,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem pi1xfrcnv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2		pi1xfr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3		pi1xfr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
5		pi1xfr.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		pi1xfr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1xfr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8		pi1xfrcnv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pi1xfrcnvlem 24954	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ⊆ 𝐻)
10		fvex 6835	. . . . . . . 8 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
11		ecexg 8629	. . . . . . . 8 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [ℎ]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄)) → [ℎ]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
13		ecexg 8629	. . . . . . . 8 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
14	10, 13	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄)) → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
15	8, 12, 14	fliftrel 7245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (V × V))
16		df-rel 5626	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ 𝐻 ⊆ (V × V))
17	15, 16	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐻)
18		dfrel2 6138	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ ◡◡𝐻 = 𝐻)
19	17, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐻 = 𝐻)
20		0elunit 13372	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
21		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
22		1m0e1 12244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
24	23	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
25		fvex 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
26	24, 7, 25	fvmpt 6930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
27	20, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘0) = (𝐹‘1)
28	27	oveq2i 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 π1 (𝐼‘0)) = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
29	2, 28	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐼‘0))
30		1elunit 13373	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
31		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
32	31	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − 1)))
33		1m1e0 12200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
34	33	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘(1 − 1)) = (𝐹‘0)
35	32, 34	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
36		fvex 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
37	35, 7, 36	fvmpt 6930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
38	30, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)
39	38	oveq2i 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 π1 (𝐼‘1)) = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
40	1, 39	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐼‘1))
41		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
42		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
43	7	pcorevcl 24923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
45	44	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
46		oveq2 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
47	46	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐼‘(1 − 𝑦)))
48	47	cbvmptv 5196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑦)))
49		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
50	29, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49	pi1xfrcnvlem 24954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ⊆ ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
51		iitopon 24770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
52		cnf2 23134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
53	51, 5, 6, 52	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
54	53	feqmptd 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑧)))
55		iirev 24821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑧) ∈ (0[,]1))
56		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑧) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑧)))
57	56	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑧) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
58		fvex 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) ∈ V
59	57, 7, 58	fvmpt 6930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 − 𝑧) ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
60	55, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
61		ax-1cn 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
62		unitssre 13402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
63	62	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
64	63	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℂ)
65		nncan 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
66	61, 64, 65	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
67	66	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
68	60, 67	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘𝑧))
69	68	mpteq2ia 5187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑧))
70	54, 69	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))
71	70	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼)))
72	71	eceq1d 8665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) = [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽))
73	72	opeq2d 4831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩ = ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
74	73	mpteq2dv 5186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
75	74	rneqd 5880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
76	8, 75	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
77	76	cnveqd 5818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = ◡ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
78	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
79	78	unieqd 4871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (Base‘𝑃))
80	70	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))
81	80	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))))
82	81	eceq1d 8665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽))
83	82	opeq2d 4831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩ = ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
84	79, 83	mpteq12dv 5179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
85	84	rneqd 5880	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
86	4, 85	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
87	50, 77, 86	3sstr4d 3991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 ⊆ 𝐺)
88		cnvss 5815	. . . . 5 ⊢ (◡𝐻 ⊆ 𝐺 → ◡◡𝐻 ⊆ ◡𝐺)
89	87, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐻 ⊆ ◡𝐺)
90	19, 89	eqsstrrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ◡𝐺)
91	9, 90	eqssd 3953	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 = 𝐻)
92	91, 76	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
93	29, 40, 41, 42, 5, 45, 48	pi1xfr 24953	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
94	92, 93	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
95	91, 94	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = 𝐻 ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ⟨cop 4583  ∪ cuni 4858   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618  ran crn 5620  Rel wrel 5624  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  [cec 8623  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   − cmin 11347  [,]cicc 13251  Basecbs 17120   GrpHom cghm 19091  TopOnctopon 22795   Cn ccn 23109  IIcii 24766   ≃_phcphtpc 24866  *_𝑝cpco 24898   π₁ cpi1 24901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-qus 17413  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-mulg 18947  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-ii 24768  df-htpy 24867  df-phtpy 24868  df-phtpc 24889  df-pco 24903  df-om1 24904  df-pi1 24906

This theorem is referenced by:  pi1xfrgim  24956