MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrcnv 24326
Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnv (𝜑 → (𝐺 = 𝐻𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑔,,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,,𝑥   𝑔,𝐼,,𝑥   ,𝐺   𝜑,𝑔,,𝑥   𝑔,𝐽,,𝑥   𝑃,𝑔,,𝑥   𝑄,𝑔,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,)   𝑋(𝑥,𝑔,)

Proof of Theorem pi1xfrcnv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2 pi1xfr.q . . . 4 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3 pi1xfr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
5 pi1xfr.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 pi1xfr.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7 pi1xfr.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8 pi1xfrcnv.h . . . 4 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pi1xfrcnvlem 24325 . . 3 (𝜑𝐺𝐻)
10 fvex 6843 . . . . . . . 8 ( ≃ph𝐽) ∈ V
11 ecexg 8578 . . . . . . . 8 (( ≃ph𝐽) ∈ V → []( ≃ph𝐽) ∈ V)
1210, 11mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 (Base‘𝑄)) → []( ≃ph𝐽) ∈ V)
13 ecexg 8578 . . . . . . . 8 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
1410, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 (Base‘𝑄)) → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
158, 12, 14fliftrel 7240 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ⊆ (V × V))
16 df-rel 5632 . . . . . 6 (Rel 𝐻𝐻 ⊆ (V × V))
1715, 16sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → Rel 𝐻)
18 dfrel2 6132 . . . . 5 (Rel 𝐻𝐻 = 𝐻)
1917, 18sylib 217 . . . 4 (𝜑𝐻 = 𝐻)
20 0elunit 13307 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
21 oveq2 7350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
22 1m0e1 12200 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
2321, 22eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
2423fveq2d 6834 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
25 fvex 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘1) ∈ V
2624, 7, 25fvmpt 6936 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐼‘0) = (𝐹‘1)
2827oveq2i 7353 . . . . . . . 8 (𝐽 π1 (𝐼‘0)) = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
292, 28eqtr4i 2768 . . . . . . 7 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐼‘0))
30 1elunit 13308 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
31 oveq2 7350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
3231fveq2d 6834 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − 1)))
33 1m1e0 12151 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
3433fveq2i 6833 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘(1 − 1)) = (𝐹‘0)
3532, 34eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
36 fvex 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘0) ∈ V
3735, 7, 36fvmpt 6936 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3830, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐼‘1) = (𝐹‘0)
3938oveq2i 7353 . . . . . . . 8 (𝐽 π1 (𝐼‘1)) = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
401, 39eqtr4i 2768 . . . . . . 7 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐼‘1))
41 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
42 eqid 2737 . . . . . . 7 ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
437pcorevcl 24294 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
446, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
4544simp1d 1142 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
46 oveq2 7350 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
4746fveq2d 6834 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐼‘(1 − 𝑦)))
4847cbvmptv 5210 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑦)))
49 eqid 2737 . . . . . . 7 ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩)
5029, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49pi1xfrcnvlem 24325 . . . . . 6 (𝜑ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ⊆ ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
51 iitopon 24148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
52 cnf2 22506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
5351, 5, 6, 52mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
5453feqmptd 6898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑧)))
55 iirev 24198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑧) ∈ (0[,]1))
56 oveq2 7350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (1 − 𝑧) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑧)))
5756fveq2d 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (1 − 𝑧) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
58 fvex 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) ∈ V
5957, 7, 58fvmpt 6936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 − 𝑧) ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
61 ax-1cn 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℂ
62 unitssre 13337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0[,]1) ⊆ ℝ
6362sseli 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
6463recnd 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℂ)
65 nncan 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
6661, 64, 65sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
6766fveq2d 6834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) = (𝐹𝑧))
6860, 67eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹𝑧))
6968mpteq2ia 5200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑧))
7054, 69eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))
7170oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)))
7271eceq1d 8613 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) = [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽))
7372opeq2d 4829 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
7473mpteq2dv 5199 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
7574rneqd 5884 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
768, 75eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
7776cnveqd 5822 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
783a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
7978unieqd 4871 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐵 = (Base‘𝑃))
8070oveq2d 7358 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))
8180oveq2d 7358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))))
8281eceq1d 8613 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽))
8382opeq2d 4829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩)
8479, 83mpteq12dv 5188 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩) = (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
8584rneqd 5884 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
864, 85eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
8750, 77, 863sstr4d 3983 . . . . 5 (𝜑𝐻𝐺)
88 cnvss 5819 . . . . 5 (𝐻𝐺𝐻𝐺)
8987, 88syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻𝐺)
9019, 89eqsstrrd 3975 . . 3 (𝜑𝐻𝐺)
919, 90eqssd 3953 . 2 (𝜑𝐺 = 𝐻)
9291, 76eqtrd 2777 . . 3 (𝜑𝐺 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
9329, 40, 41, 42, 5, 45, 48pi1xfr 24324 . . 3 (𝜑 → ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
9492, 93eqeltrd 2838 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
9591, 94jca 513 1 (𝜑 → (𝐺 = 𝐻𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3442  wss 3902  cop 4584   cuni 4857  cmpt 5180   × cxp 5623  ccnv 5624  ran crn 5626  Rel wrel 5630  wf 6480  cfv 6484  (class class class)co 7342  [cec 8572  cc 10975  cr 10976  0cc0 10977  1c1 10978  cmin 11311  [,]cicc 13188  Basecbs 17010   GrpHom cghm 18928  TopOnctopon 22165   Cn ccn 22481  IIcii 24144  phcphtpc 24238  *𝑝cpco 24269   π1 cpi1 24272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-er 8574  df-ec 8576  df-qs 8580  df-map 8693  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-ioo 13189  df-icc 13192  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-qus 17318  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-mulg 18798  df-ghm 18929  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-ii 24146  df-htpy 24239  df-phtpy 24240  df-phtpc 24261  df-pco 24274  df-om1 24275  df-pi1 24277
This theorem is referenced by:  pi1xfrgim  24327
  Copyright terms: Public domain W3C validator