Theorem pi1xfrcnv 25015

Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h	⊢ 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrcnv	⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = 𝐻 ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,ℎ,𝑥   𝑔,𝐼,ℎ,𝑥   ℎ,𝐺   𝜑,𝑔,ℎ,𝑥   𝑔,𝐽,ℎ,𝑥   𝑃,𝑔,ℎ,𝑥   𝑄,𝑔,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,ℎ)   𝑋(𝑥,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem pi1xfrcnv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2		pi1xfr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3		pi1xfr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
5		pi1xfr.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		pi1xfr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1xfr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8		pi1xfrcnv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pi1xfrcnvlem 25014	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ⊆ 𝐻)
10		fvex 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
11		ecexg 8639	. . . . . . . 8 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [ℎ]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄)) → [ℎ]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
13		ecexg 8639	. . . . . . . 8 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
14	10, 13	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄)) → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
15	8, 12, 14	fliftrel 7254	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (V × V))
16		df-rel 5630	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ 𝐻 ⊆ (V × V))
17	15, 16	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐻)
18		dfrel2 6146	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ ◡◡𝐻 = 𝐻)
19	17, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐻 = 𝐻)
20		0elunit 13387	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
21		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
22		1m0e1 12263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
24	23	fveq2d 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
25		fvex 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
26	24, 7, 25	fvmpt 6940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
27	20, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘0) = (𝐹‘1)
28	27	oveq2i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 π1 (𝐼‘0)) = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
29	2, 28	eqtr4i 2761	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐼‘0))
30		1elunit 13388	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
31		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
32	31	fveq2d 6837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − 1)))
33		1m1e0 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
34	33	fveq2i 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘(1 − 1)) = (𝐹‘0)
35	32, 34	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
36		fvex 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
37	35, 7, 36	fvmpt 6940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
38	30, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)
39	38	oveq2i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 π1 (𝐼‘1)) = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
40	1, 39	eqtr4i 2761	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐼‘1))
41		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
42		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
43	7	pcorevcl 24983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
45	44	simp1d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
46		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
47	46	fveq2d 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐼‘(1 − 𝑦)))
48	47	cbvmptv 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑦)))
49		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
50	29, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49	pi1xfrcnvlem 25014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ⊆ ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
51		iitopon 24830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
52		cnf2 23195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
53	51, 5, 6, 52	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
54	53	feqmptd 6901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑧)))
55		iirev 24881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑧) ∈ (0[,]1))
56		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑧) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑧)))
57	56	fveq2d 6837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑧) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
58		fvex 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) ∈ V
59	57, 7, 58	fvmpt 6940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 − 𝑧) ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
60	55, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
61		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
62		unitssre 13417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
63	62	sseli 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
64	63	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℂ)
65		nncan 11412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
66	61, 64, 65	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
67	66	fveq2d 6837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
68	60, 67	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘𝑧))
69	68	mpteq2ia 5192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑧))
70	54, 69	eqtr4di 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))
71	70	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼)))
72	71	eceq1d 8676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) = [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽))
73	72	opeq2d 4835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩ = ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
74	73	mpteq2dv 5191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
75	74	rneqd 5886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
76	8, 75	eqtrid 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
77	76	cnveqd 5823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = ◡ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
78	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
79	78	unieqd 4875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (Base‘𝑃))
80	70	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))
81	80	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))))
82	81	eceq1d 8676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽))
83	82	opeq2d 4835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩ = ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
84	79, 83	mpteq12dv 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
85	84	rneqd 5886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
86	4, 85	eqtrid 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
87	50, 77, 86	3sstr4d 3988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 ⊆ 𝐺)
88		cnvss 5820	. . . . 5 ⊢ (◡𝐻 ⊆ 𝐺 → ◡◡𝐻 ⊆ ◡𝐺)
89	87, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐻 ⊆ ◡𝐺)
90	19, 89	eqsstrrd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ◡𝐺)
91	9, 90	eqssd 3950	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 = 𝐻)
92	91, 76	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
93	29, 40, 41, 42, 5, 45, 48	pi1xfr 25013	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
94	92, 93	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
95	91, 94	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = 𝐻 ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  ⟨cop 4585  ∪ cuni 4862   ↦ cmpt 5178   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  ran crn 5624  Rel wrel 5628  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  [cec 8633  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   − cmin 11366  [,]cicc 13266  Basecbs 17138   GrpHom cghm 19143  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23170  IIcii 24826   ≃_phcphtpc 24926  *_𝑝cpco 24958   π₁ cpi1 24961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-qus 17432  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-mulg 19000  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-ii 24828  df-htpy 24927  df-phtpy 24928  df-phtpc 24949  df-pco 24963  df-om1 24964  df-pi1 24966

This theorem is referenced by:  pi1xfrgim  25016