Theorem pi1xfrcnv 24905

Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h	⊢ 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrcnv	⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = 𝐻 ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,ℎ,𝑥   𝑔,𝐼,ℎ,𝑥   ℎ,𝐺   𝜑,𝑔,ℎ,𝑥   𝑔,𝐽,ℎ,𝑥   𝑃,𝑔,ℎ,𝑥   𝑄,𝑔,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,ℎ)   𝑋(𝑥,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem pi1xfrcnv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2		pi1xfr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3		pi1xfr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
5		pi1xfr.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		pi1xfr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1xfr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8		pi1xfrcnv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pi1xfrcnvlem 24904	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ⊆ 𝐻)
10		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
11		ecexg 8702	. . . . . . . 8 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [ℎ]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄)) → [ℎ]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
13		ecexg 8702	. . . . . . . 8 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
14	10, 13	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄)) → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
15	8, 12, 14	fliftrel 7297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (V × V))
16		df-rel 5673	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ 𝐻 ⊆ (V × V))
17	15, 16	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐻)
18		dfrel2 6178	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ ◡◡𝐻 = 𝐻)
19	17, 18	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐻 = 𝐻)
20		0elunit 13442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
21		oveq2 7409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
22		1m0e1 12329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
24	23	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
25		fvex 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
26	24, 7, 25	fvmpt 6988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
27	20, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘0) = (𝐹‘1)
28	27	oveq2i 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 π1 (𝐼‘0)) = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
29	2, 28	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐼‘0))
30		1elunit 13443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
31		oveq2 7409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
32	31	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − 1)))
33		1m1e0 12280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
34	33	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘(1 − 1)) = (𝐹‘0)
35	32, 34	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
36		fvex 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
37	35, 7, 36	fvmpt 6988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
38	30, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)
39	38	oveq2i 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 π1 (𝐼‘1)) = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
40	1, 39	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐼‘1))
41		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
42		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
43	7	pcorevcl 24873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
44	6, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
45	44	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
46		oveq2 7409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
47	46	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐼‘(1 − 𝑦)))
48	47	cbvmptv 5251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑦)))
49		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
50	29, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49	pi1xfrcnvlem 24904	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ⊆ ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
51		iitopon 24720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
52		cnf2 23074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
53	51, 5, 6, 52	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
54	53	feqmptd 6950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑧)))
55		iirev 24771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑧) ∈ (0[,]1))
56		oveq2 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑧) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑧)))
57	56	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑧) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
58		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) ∈ V
59	57, 7, 58	fvmpt 6988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 − 𝑧) ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
60	55, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
61		ax-1cn 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
62		unitssre 13472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
63	62	sseli 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
64	63	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℂ)
65		nncan 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
66	61, 64, 65	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
67	66	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
68	60, 67	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘𝑧))
69	68	mpteq2ia 5241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑧))
70	54, 69	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))
71	70	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼)))
72	71	eceq1d 8737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) = [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽))
73	72	opeq2d 4872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩ = ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
74	73	mpteq2dv 5240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
75	74	rneqd 5927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
76	8, 75	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
77	76	cnveqd 5865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = ◡ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
78	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
79	78	unieqd 4912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (Base‘𝑃))
80	70	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))
81	80	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))))
82	81	eceq1d 8737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽))
83	82	opeq2d 4872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩ = ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
84	79, 83	mpteq12dv 5229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
85	84	rneqd 5927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
86	4, 85	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
87	50, 77, 86	3sstr4d 4021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 ⊆ 𝐺)
88		cnvss 5862	. . . . 5 ⊢ (◡𝐻 ⊆ 𝐺 → ◡◡𝐻 ⊆ ◡𝐺)
89	87, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐻 ⊆ ◡𝐺)
90	19, 89	eqsstrrd 4013	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ◡𝐺)
91	9, 90	eqssd 3991	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 = 𝐻)
92	91, 76	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
93	29, 40, 41, 42, 5, 45, 48	pi1xfr 24903	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
94	92, 93	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
95	91, 94	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = 𝐻 ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ⟨cop 4626  ∪ cuni 4899   ↦ cmpt 5221   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665  ran crn 5667  Rel wrel 5671  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  [cec 8696  ℂcc 11103  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   − cmin 11440  [,]cicc 13323  Basecbs 17142   GrpHom cghm 19127  TopOnctopon 22733   Cn ccn 23049  IIcii 24716   ≃_phcphtpc 24816  *_𝑝cpco 24848   π₁ cpi1 24851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-ec 8700  df-qs 8704  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-qus 17453  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-mulg 18985  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-ii 24718  df-htpy 24817  df-phtpy 24818  df-phtpc 24839  df-pco 24853  df-om1 24854  df-pi1 24856

This theorem is referenced by:  pi1xfrgim  24906