Theorem pi1xfrcnv 25378

Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q	⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g	⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
pi1xfr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h	⊢ 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrcnv	⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = 𝐻 ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑔,ℎ,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,ℎ,𝑥   𝑔,𝐼,ℎ,𝑥   ℎ,𝐺   𝜑,𝑔,ℎ,𝑥   𝑔,𝐽,ℎ,𝑥   𝑃,𝑔,ℎ,𝑥   𝑄,𝑔,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥, 𝑔)   𝐻(𝑥, 𝑔, ℎ)   𝑋(𝑥, 𝑔, ℎ)

Proof of Theorem pi1xfrcnv

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2		pi1xfr.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3		pi1xfr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		pi1xfr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
5		pi1xfr.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		pi1xfr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1xfr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8		pi1xfrcnv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pi1xfrcnvlem 25377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ⊆ 𝐻)
10		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
11		ecexg 8721	. . . . . . . 8 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [ℎ]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
12	10, 11	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄)) → [ℎ]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
13		ecexg 8721	. . . . . . . 8 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
14	10, 13	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄)) → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
15	8, 12, 14	fliftrel 7316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (V × V))
16		df-rel 5657	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ 𝐻 ⊆ (V × V))
17	15, 16	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐻)
18		dfrel2 6180	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ ◡◡𝐻 = 𝐻)
19	17, 18	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐻 = 𝐻)
20		0elunit 13600	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
21		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
22		1m0e1 12462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 0) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
24	23	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
25		fvex 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘1) ∈ V
26	24, 7, 25	fvmpt 6993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
27	20, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘0) = (𝐹‘1)
28	27	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 π1 (𝐼‘0)) = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
29	2, 28	eqtr4i 2786	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐼‘0))
30		1elunit 13601	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
31		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
32	31	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − 1)))
33		1m1e0 12415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
34	33	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹‘(1 − 1)) = (𝐹‘0)
35	32, 34	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
36		fvex 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
37	35, 7, 36	fvmpt 6993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
38	30, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)
39	38	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 π1 (𝐼‘1)) = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
40	1, 39	eqtr4i 2786	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐼‘1))
41		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
42		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
43	7	pcorevcl 25346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
44	6, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
45	44	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
46		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
47	46	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐼‘(1 − 𝑦)))
48	47	cbvmptv 5208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑦)))
49		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
50	29, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49	pi1xfrcnvlem 25377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ⊆ ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
51		iitopon 25200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
52		cnf2 23567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
53	51, 5, 6, 52	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
54	53	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑧)))
55		iirev 25250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑧) ∈ (0[,]1))
56		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑧) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑧)))
57	56	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑧) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
58		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) ∈ V
59	57, 7, 58	fvmpt 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 − 𝑧) ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
60	55, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
61		ax-1cn 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
62		unitssre 13630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
63	62	sseli 3904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
64	63	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℂ)
65		nncan 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
66	61, 64, 65	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
67	66	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
68	60, 67	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘𝑧))
69	68	mpteq2ia 5199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑧))
70	54, 69	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))
71	70	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼)))
72	71	eceq1d 8758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽) = [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽))
73	72	opeq2d 4839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩ = ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
74	73	mpteq2dv 5198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
75	74	rneqd 5919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [(𝐹(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
76	8, 75	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
77	76	cnveqd 5852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 = ◡ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
78	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
79	78	unieqd 4879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ (Base‘𝑃))
80	70	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹) = (𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))
81	80	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))))
82	81	eceq1d 8758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽))
83	82	opeq2d 4839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩ = ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩)
84	79, 83	mpteq12dv 5191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
85	84	rneqd 5919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑔 ∈ ∪ 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)𝐹))]( ≃ph‘𝐽)⟩) = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
86	4, 85	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ran (𝑔 ∈ ∪ (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph‘𝐽), [(𝐼(*𝑝‘𝐽)(𝑔(*𝑝‘𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
87	50, 77, 86	3sstr4d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝐻 ⊆ 𝐺)
88		cnvss 5849	. . . . 5 ⊢ (◡𝐻 ⊆ 𝐺 → ◡◡𝐻 ⊆ ◡𝐺)
89	87, 88	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐻 ⊆ ◡𝐺)
90	19, 89	eqsstrrd 3943	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ◡𝐺)
91	9, 90	eqssd 3925	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 = 𝐻)
92	91, 76	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 = ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩))
93	29, 40, 41, 42, 5, 45, 48	pi1xfr 25376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (ℎ ∈ ∪ (Base‘𝑄) ↦ ⟨[ℎ]( ≃ph‘𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝‘𝐽)(ℎ(*𝑝‘𝐽)𝐼))]( ≃ph‘𝐽)⟩) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
94	92, 93	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
95	91, 94	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 = 𝐻 ∧ ◡𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ⟨cop 4589  ∪ cuni 4866   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651  Rel wrel 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  [cec 8715  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   − cmin 11541  [,]cicc 13479  Basecbs 17387   GrpHom cghm 19427  TopOnctopon 23228   Cn ccn 23542  IIcii 25196   ≃_phcphtpc 25290  *_𝑝cpco 25321   π₁ cpi1 25324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-qus 17681  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-mulg 19278  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-ii 25198  df-htpy 25291  df-phtpy 25292  df-phtpc 25313  df-pco 25326  df-om1 25327  df-pi1 25329

This theorem is used by:  pi1xfrgim  25379