MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus0 18989
Description: Value of the group identity operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qus0.p 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
qus0 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻))

Proof of Theorem qus0
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 18961 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subgrcl 18934 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5 qus0.p . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
64, 5grpidcl 18779 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
73, 6syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
8 qusgrp.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝐻) = (+g𝐻)
118, 4, 9, 10qusadd 18988 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
127, 7, 11mpd3an23 1464 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
134, 9, 5grplid 18781 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
143, 7, 13syl2anc 585 . . . . 5 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
1514eceq1d 8688 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [( 0 (+g𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
1612, 15eqtrd 2777 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
178qusgrp 18986 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
18 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
198, 4, 18quseccl 18987 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
207, 19mpdan 686 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
21 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝐻) = (0g𝐻)
2218, 10, 21grpid 18787 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
2317, 20, 22syl2anc 585 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
2416, 23mpbid 231 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
2524eqcomd 2743 1 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6497  (class class class)co 7358  [cec 8647  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  0gc0g 17322   /s cqus 17388  Grpcgrp 18749  SubGrpcsubg 18923  NrmSGrpcnsg 18924   ~QG cqg 18925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-0g 17324  df-imas 17391  df-qus 17392  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-subg 18926  df-nsg 18927  df-eqg 18928
This theorem is referenced by:  qusinv  18990  qustgphaus  23477  qusker  32144  nsgqus0  32191  ghmqusker  32201  qsidomlem1  32228  qsidomlem2  32229
  Copyright terms: Public domain W3C validator