Theorem qus0 19221

Description: Value of the group identity operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qus0.p	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))

Proof of Theorem qus0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 19190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 19164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		qus0.p	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 18998	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
8		qusgrp.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
11	8, 4, 9, 10	qusadd 19220	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
12	7, 7, 11	mpd3an23 1483	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
13	4, 9, 5	grplid 19000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
14	3, 7, 13	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
15	14	eceq1d 8713	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [( 0 (+g‘𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
16	12, 15	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
17	8	qusgrp 19218	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
18		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19	8, 4, 18	quseccl 19219	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
20	7, 19	mpdan 697	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
21		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
22	18, 10, 21	grpid 19008	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
23	17, 20, 22	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g‘𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
24	16, 23	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
25	24	eqcomd 2767	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  [cec 8670  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  0_gc0g 17459   /_s cqus 17526  Grpcgrp 18966  SubGrpcsubg 19153  NrmSGrpcnsg 19154   ~_QG cqg 19155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-ec 8674  df-qs 8678  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-0g 17461  df-imas 17529  df-qus 17530  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-subg 19156  df-nsg 19157  df-eqg 19158

This theorem is referenced by:  qusinv  19222  ghmqusker  19318  rngqiprngimf1lem  21352  rngqiprngimf1  21358  qustgphaus  24171  qusker  33496  qus0g  33554  nsgqus0  33557  qsidomlem1  33600  qsidomlem2  33601  qsnzr  33603  qsdrngi  33644