MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus0 19137
Description: Value of the group identity operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qus0.p 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
qus0 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻))

Proof of Theorem qus0
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 19106 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subgrcl 19079 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2728 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5 qus0.p . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
64, 5grpidcl 18915 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
73, 6syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
8 qusgrp.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
9 eqid 2728 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqid 2728 . . . . . 6 (+g𝐻) = (+g𝐻)
118, 4, 9, 10qusadd 19136 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
127, 7, 11mpd3an23 1460 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [( 0 (+g𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆))
134, 9, 5grplid 18917 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
143, 7, 13syl2anc 583 . . . . 5 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
1514eceq1d 8757 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [( 0 (+g𝐺) 0 )](𝐺 ~QG 𝑆) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
1612, 15eqtrd 2768 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
178qusgrp 19134 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
18 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
198, 4, 18quseccl 19135 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
207, 19mpdan 686 . . . 4 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻))
21 eqid 2728 . . . . 5 (0g𝐻) = (0g𝐻)
2218, 10, 21grpid 18925 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (Base‘𝐻)) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
2317, 20, 22syl2anc 583 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (([ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)(+g𝐻)[ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) ↔ (0g𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆)))
2416, 23mpbid 231 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g𝐻) = [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆))
2524eqcomd 2734 1 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [ 0 ](𝐺 ~QG 𝑆) = (0g𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  [cec 8716  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  0gc0g 17414   /s cqus 17480  Grpcgrp 18883  SubGrpcsubg 19068  NrmSGrpcnsg 19069   ~QG cqg 19070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-0g 17416  df-imas 17483  df-qus 17484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-subg 19071  df-nsg 19072  df-eqg 19073
This theorem is referenced by:  qusinv  19138  ghmqusker  19231  rngqiprngimf1lem  21177  rngqiprngimf1  21183  qustgphaus  24020  qusker  33055  qus0g  33111  nsgqus0  33114  qsidomlem1  33162  qsidomlem2  33163  qsnzr  33165  qsdrngi  33200
  Copyright terms: Public domain W3C validator