MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pi1addval 24564
Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
elpi1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
elpi1.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
elpi1.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
pi1addf.p + = (+gβ€˜πΊ)
pi1addval.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝐡)
pi1addval.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ βˆͺ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
pi1addval (πœ‘ β†’ ([𝑀]( ≃phβ€˜π½) + [𝑁]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁)]( ≃phβ€˜π½))
Proof of Theorem pi1addval
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1addval.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝐡)
2 pi1addval.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ βˆͺ 𝐡)
3 eqidd 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)) = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)))
4 eqidd 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
5 fvexd 6907 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
6 ovexd 7444 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 Ξ©1 π‘Œ) ∈ V)
7 elpi1.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
8 elpi1.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
9 elpi1.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
10 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐽 Ξ©1 π‘Œ) = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
11 elpi1.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
137, 8, 9, 10, 12, 4pi1blem 24555 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((( ≃phβ€˜π½) β€œ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))) βŠ† (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) βŠ† (II Cn 𝐽)))
1413simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) β€œ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))) βŠ† (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
153, 4, 5, 6, 14qusin 17490 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)) = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ ((Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))))))
167, 8, 9, 10pi1val 24553 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)))
177, 8, 9, 10, 12, 4pi1buni 24556 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
1817sqxpeqd 5709 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡) = ((Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))))
1918ineq2d 4213 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (( ≃phβ€˜π½) ∩ ((Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))))
2019oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))) = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ ((Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))))))
2115, 16, 203eqtr4d 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))
22 phtpcer 24511 . . . . . 6 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
2322a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
2413simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) βŠ† (II Cn 𝐽))
2517, 24eqsstrd 4021 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 βŠ† (II Cn 𝐽))
2623, 25erinxp 8785 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) Er βˆͺ 𝐡)
27 eqid 2733 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))
28 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) = (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))
297, 8, 9, 12, 27, 10, 28pi1cpbl 24560 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑)))
3010, 8, 9om1plusg 24550 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (*π‘β€˜π½) = (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
3130oveqdr 7437 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑) = (𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑))
328adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
339adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
3417adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
35 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡)
36 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)
3710, 32, 33, 34, 35, 36om1addcl 24549 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑) ∈ βˆͺ 𝐡)
3831, 37eqeltrrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑) ∈ βˆͺ 𝐡)
39 pi1addf.p . . . 4 + = (+gβ€˜πΊ)
4021, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39qusaddval 17499 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ ([𝑀](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) + [𝑁](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))) = [(𝑀(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑁)](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
411, 2, 40mpd3an23 1464 . 2 (πœ‘ β†’ ([𝑀](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) + [𝑁](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))) = [(𝑀(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑁)](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
4217imaeq2d 6060 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) = (( ≃phβ€˜π½) β€œ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))))
4314, 42, 173sstr4d 4030 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡)
44 ecinxp 8786 . . . 4 (((( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [𝑀]( ≃phβ€˜π½) = [𝑀](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
4543, 1, 44syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ [𝑀]( ≃phβ€˜π½) = [𝑀](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
46 ecinxp 8786 . . . 4 (((( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [𝑁]( ≃phβ€˜π½) = [𝑁](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
4743, 2, 46syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ [𝑁]( ≃phβ€˜π½) = [𝑁](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
4845, 47oveq12d 7427 . 2 (πœ‘ β†’ ([𝑀]( ≃phβ€˜π½) + [𝑁]( ≃phβ€˜π½)) = ([𝑀](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) + [𝑁](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))
4910, 8, 9, 17, 1, 2om1addcl 24549 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁) ∈ βˆͺ 𝐡)
50 ecinxp 8786 . . . 4 (((( ≃phβ€˜π½) β€œ βˆͺ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ (𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁) ∈ βˆͺ 𝐡) β†’ [(𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁)]( ≃phβ€˜π½) = [(𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁)](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
5143, 49, 50syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ [(𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁)]( ≃phβ€˜π½) = [(𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁)](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
5230oveqd 7426 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁) = (𝑀(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑁))
5352eceq1d 8742 . . 3 (πœ‘ β†’ [(𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁)](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = [(𝑀(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑁)](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
5451, 53eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ [(𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁)]( ≃phβ€˜π½) = [(𝑀(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑁)](( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))
5541, 48, 543eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ ([𝑀]( ≃phβ€˜π½) + [𝑁]( ≃phβ€˜π½)) = [(𝑀(*π‘β€˜π½)𝑁)]( ≃phβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Er wer 8700  [cec 8701  Basecbs 17144  +gcplusg 17197   /s cqus 17451  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  IIcii 24391   ≃phcphtpc 24485  *𝑝cpco 24516   Ξ©1 comi 24517   Ο€1 cpi1 24519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393  df-htpy 24486  df-phtpy 24487  df-phtpc 24508  df-pco 24521  df-om1 24522  df-pi1 24524
This theorem is referenced by:  pi1inv  24568  pi1xfr  24571  pi1coghm  24577
  Copyright terms: Public domain W3C validator