MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1addval 23646
Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2 (𝜑𝑌𝑋)
pi1addf.p + = (+g𝐺)
pi1addval.3 (𝜑𝑀 𝐵)
pi1addval.4 (𝜑𝑁 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1addval (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph𝐽) + [𝑁]( ≃ph𝐽)) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽))

Proof of Theorem pi1addval
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1addval.3 . . 3 (𝜑𝑀 𝐵)
2 pi1addval.4 . . 3 (𝜑𝑁 𝐵)
3 eqidd 2822 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
4 eqidd 2822 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
5 fvexd 6680 . . . . . 6 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) ∈ V)
6 ovexd 7185 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
7 elpi1.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
8 elpi1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 elpi1.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
10 eqid 2821 . . . . . . . 8 (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
11 elpi1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
137, 8, 9, 10, 12, 4pi1blem 23637 . . . . . . 7 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
1413simpld 497 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
153, 4, 5, 6, 14qusin 16811 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
167, 8, 9, 10pi1val 23635 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
177, 8, 9, 10, 12, 4pi1buni 23638 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
1817sqxpeqd 5582 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
1918ineq2d 4189 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
2019oveq2d 7166 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
2115, 16, 203eqtr4d 2866 . . . 4 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
22 phtpcer 23593 . . . . . 6 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
2413simprd 498 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
2517, 24eqsstrd 4005 . . . . 5 (𝜑 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
2623, 25erinxp 8365 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) Er 𝐵)
27 eqid 2821 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
28 eqid 2821 . . . . 5 (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
297, 8, 9, 12, 27, 10, 28pi1cpbl 23642 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
3010, 8, 9om1plusg 23632 . . . . . 6 (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3130oveqdr 7178 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
328adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
339adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑌𝑋)
3417adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
35 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑐 𝐵)
36 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑑 𝐵)
3710, 32, 33, 34, 35, 36om1addcl 23631 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) ∈ 𝐵)
3831, 37eqeltrrd 2914 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ 𝐵)
39 pi1addf.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4021, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39qusaddval 16820 . . 3 ((𝜑𝑀 𝐵𝑁 𝐵) → ([𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
411, 2, 40mpd3an23 1459 . 2 (𝜑 → ([𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
4217imaeq2d 5924 . . . . 5 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐵) = (( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
4314, 42, 173sstr4d 4014 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵)
44 ecinxp 8366 . . . 4 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵𝑀 𝐵) → [𝑀]( ≃ph𝐽) = [𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
4543, 1, 44syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → [𝑀]( ≃ph𝐽) = [𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
46 ecinxp 8366 . . . 4 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵𝑁 𝐵) → [𝑁]( ≃ph𝐽) = [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
4743, 2, 46syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → [𝑁]( ≃ph𝐽) = [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
4845, 47oveq12d 7168 . 2 (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph𝐽) + [𝑁]( ≃ph𝐽)) = ([𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
4910, 8, 9, 17, 1, 2om1addcl 23631 . . . 4 (𝜑 → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑁) ∈ 𝐵)
50 ecinxp 8366 . . . 4 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑀(*𝑝𝐽)𝑁) ∈ 𝐵) → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5143, 49, 50syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5230oveqd 7167 . . . 4 (𝜑 → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑁) = (𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁))
5352eceq1d 8322 . . 3 (𝜑 → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5451, 53eqtrd 2856 . 2 (𝜑 → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5541, 48, 543eqtr4d 2866 1 (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph𝐽) + [𝑁]( ≃ph𝐽)) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  Vcvv 3495  cin 3935  wss 3936   cuni 4832   × cxp 5548  cima 5553  cfv 6350  (class class class)co 7150   Er wer 8280  [cec 8281  Basecbs 16477  +gcplusg 16559   /s cqus 16772  TopOnctopon 21512   Cn ccn 21826  IIcii 23477  phcphtpc 23567  *𝑝cpco 23598   Ω1 comi 23599   π1 cpi1 23601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-ec 8285  df-qs 8289  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-qus 16776  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-ii 23479  df-htpy 23568  df-phtpy 23569  df-phtpc 23590  df-pco 23603  df-om1 23604  df-pi1 23606
This theorem is referenced by:  pi1inv  23650  pi1xfr  23653  pi1coghm  23659
  Copyright terms: Public domain W3C validator