Theorem pi1addval 25260

Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1addf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
pi1addval.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ 𝐵)
pi1addval.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1addval	⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽))

Proof of Theorem pi1addval

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1addval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ 𝐵)
2		pi1addval.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ∪ 𝐵)
3		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
4		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
5		fvexd 6900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
6		ovexd 7454	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
7		elpi1.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
8		elpi1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9		elpi1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
10		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
11		elpi1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
13	7, 8, 9, 10, 12, 4	pi1blem 25251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
14	13	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
15	3, 4, 5, 6, 14	qusin 17622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
16	7, 8, 9, 10	pi1val 25249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
17	7, 8, 9, 10, 12, 4	pi1buni 25252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
18	17	sqxpeqd 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
19	18	ineq2d 4173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
20	19	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
21	15, 16, 20	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
22		phtpcer 25207	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
24	13	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
25	17, 24	eqsstrd 3972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
26	23, 25	erinxp 8795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
27		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
28		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
29	7, 8, 9, 12, 27, 10, 28	pi1cpbl 25256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
30	10, 8, 9	om1plusg 25246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
31	30	oveqdr 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
32	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
33	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
34	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
35		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ∪ 𝐵)
36		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)
37	10, 32, 33, 34, 35, 36	om1addcl 25245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
38	31, 37	eqeltrrd 2866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
39		pi1addf.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
40	21, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39	qusaddval 17631	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ∪ 𝐵) → ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
41	1, 2, 40	mpd3an23 1492	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
42	17	imaeq2d 6064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) = (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
43	14, 42, 17	3sstr4d 3993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵)
44		ecinxp 8796	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑀]( ≃ph‘𝐽) = [𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
45	43, 1, 44	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑀]( ≃ph‘𝐽) = [𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
46		ecinxp 8796	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑁]( ≃ph‘𝐽) = [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
47	43, 2, 46	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑁]( ≃ph‘𝐽) = [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
48	45, 47	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
49	10, 8, 9, 17, 1, 2	om1addcl 25245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) ∈ ∪ 𝐵)
50		ecinxp 8796	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) ∈ ∪ 𝐵) → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
51	43, 49, 50	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
52	30	oveqd 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) = (𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁))
53	52	eceq1d 8741	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
54	51, 53	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
55	41, 48, 54	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874   × cxp 5661   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   Er wer 8697  [cec 8698  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334   /_s cqus 17583  TopOnctopon 23119   Cn ccn 23433  IIcii 25087   ≃_phcphtpc 25181  *_𝑝cpco 25212   Ω₁ comi 25213   π₁ cpi1 25215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-qus 17587  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-ii 25089  df-htpy 25182  df-phtpy 25183  df-phtpc 25204  df-pco 25217  df-om1 25218  df-pi1 25220

This theorem is used by:  pi1inv  25264  pi1xfr  25267  pi1coghm  25273