Theorem pi1addval 25019

Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1addf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
pi1addval.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ 𝐵)
pi1addval.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1addval	⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽))

Proof of Theorem pi1addval

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1addval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ 𝐵)
2		pi1addval.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ∪ 𝐵)
3		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
4		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
5		fvexd 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
6		ovexd 7454	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
7		elpi1.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
8		elpi1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9		elpi1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
10		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
11		elpi1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
13	7, 8, 9, 10, 12, 4	pi1blem 25010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
14	13	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
15	3, 4, 5, 6, 14	qusin 17529	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
16	7, 8, 9, 10	pi1val 25008	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
17	7, 8, 9, 10, 12, 4	pi1buni 25011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
18	17	sqxpeqd 5710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
19	18	ineq2d 4210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
20	19	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
21	15, 16, 20	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
22		phtpcer 24965	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
24	13	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
25	17, 24	eqsstrd 4015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
26	23, 25	erinxp 8810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
27		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
28		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
29	7, 8, 9, 12, 27, 10, 28	pi1cpbl 25015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
30	10, 8, 9	om1plusg 25005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
31	30	oveqdr 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
32	8	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
33	9	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
34	17	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
35		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ∪ 𝐵)
36		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)
37	10, 32, 33, 34, 35, 36	om1addcl 25004	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
38	31, 37	eqeltrrd 2826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
39		pi1addf.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
40	21, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39	qusaddval 17538	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ∪ 𝐵) → ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
41	1, 2, 40	mpd3an23 1459	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
42	17	imaeq2d 6064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) = (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
43	14, 42, 17	3sstr4d 4024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵)
44		ecinxp 8811	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑀]( ≃ph‘𝐽) = [𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
45	43, 1, 44	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑀]( ≃ph‘𝐽) = [𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
46		ecinxp 8811	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑁]( ≃ph‘𝐽) = [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
47	43, 2, 46	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑁]( ≃ph‘𝐽) = [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
48	45, 47	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
49	10, 8, 9, 17, 1, 2	om1addcl 25004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) ∈ ∪ 𝐵)
50		ecinxp 8811	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) ∈ ∪ 𝐵) → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
51	43, 49, 50	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
52	30	oveqd 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) = (𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁))
53	52	eceq1d 8764	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
54	51, 53	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
55	41, 48, 54	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∪ cuni 4909   × cxp 5676   “ cima 5681  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   Er wer 8722  [cec 8723  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236   /_s cqus 17490  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23172  IIcii 24839   ≃_phcphtpc 24939  *_𝑝cpco 24971   Ω₁ comi 24972   π₁ cpi1 24974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-qus 17494  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-ii 24841  df-htpy 24940  df-phtpy 24941  df-phtpc 24962  df-pco 24976  df-om1 24977  df-pi1 24979

This theorem is referenced by:  pi1inv  25023  pi1xfr  25026  pi1coghm  25032