Theorem pi1addval 25015

Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1addf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
pi1addval.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ 𝐵)
pi1addval.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1addval	⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽))

Proof of Theorem pi1addval

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1addval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ 𝐵)
2		pi1addval.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ∪ 𝐵)
3		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
4		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
5		fvexd 6855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
6		ovexd 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
7		elpi1.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
8		elpi1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9		elpi1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
11		elpi1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
13	7, 8, 9, 10, 12, 4	pi1blem 25006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
14	13	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
15	3, 4, 5, 6, 14	qusin 17508	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
16	7, 8, 9, 10	pi1val 25004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
17	7, 8, 9, 10, 12, 4	pi1buni 25007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
18	17	sqxpeqd 5663	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
19	18	ineq2d 4160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
20	19	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
21	15, 16, 20	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
22		phtpcer 24962	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
24	13	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
25	17, 24	eqsstrd 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
26	23, 25	erinxp 8738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
27		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
28		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
29	7, 8, 9, 12, 27, 10, 28	pi1cpbl 25011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
30	10, 8, 9	om1plusg 25001	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
31	30	oveqdr 7395	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
32	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
33	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
34	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
35		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ∪ 𝐵)
36		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)
37	10, 32, 33, 34, 35, 36	om1addcl 25000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
38	31, 37	eqeltrrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
39		pi1addf.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
40	21, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39	qusaddval 17517	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ∪ 𝐵) → ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
41	1, 2, 40	mpd3an23 1466	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
42	17	imaeq2d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) = (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
43	14, 42, 17	3sstr4d 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵)
44		ecinxp 8739	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑀]( ≃ph‘𝐽) = [𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
45	43, 1, 44	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑀]( ≃ph‘𝐽) = [𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
46		ecinxp 8739	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑁]( ≃ph‘𝐽) = [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
47	43, 2, 46	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑁]( ≃ph‘𝐽) = [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
48	45, 47	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
49	10, 8, 9, 17, 1, 2	om1addcl 25000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) ∈ ∪ 𝐵)
50		ecinxp 8739	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) ∈ ∪ 𝐵) → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
51	43, 49, 50	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
52	30	oveqd 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) = (𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁))
53	52	eceq1d 8684	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
54	51, 53	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
55	41, 48, 54	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850   × cxp 5629   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   Er wer 8640  [cec 8641  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220   /_s cqus 17469  TopOnctopon 22875   Cn ccn 23189  IIcii 24842   ≃_phcphtpc 24936  *_𝑝cpco 24967   Ω₁ comi 24968   π₁ cpi1 24970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-qus 17473  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-ii 24844  df-htpy 24937  df-phtpy 24938  df-phtpc 24959  df-pco 24972  df-om1 24973  df-pi1 24975

This theorem is referenced by:  pi1inv  25019  pi1xfr  25022  pi1coghm  25028