Theorem pi1addval 25100

Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1addf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
pi1addval.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ 𝐵)
pi1addval.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1addval	⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽))

Proof of Theorem pi1addval

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1addval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ 𝐵)
2		pi1addval.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ∪ 𝐵)
3		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
4		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
5		fvexd 6935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
6		ovexd 7483	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
7		elpi1.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
8		elpi1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9		elpi1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
10		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
11		elpi1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
13	7, 8, 9, 10, 12, 4	pi1blem 25091	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
14	13	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
15	3, 4, 5, 6, 14	qusin 17604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
16	7, 8, 9, 10	pi1val 25089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
17	7, 8, 9, 10, 12, 4	pi1buni 25092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
18	17	sqxpeqd 5732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
19	18	ineq2d 4241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
20	19	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
21	15, 16, 20	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
22		phtpcer 25046	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
24	13	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
25	17, 24	eqsstrd 4047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
26	23, 25	erinxp 8849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
27		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
28		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
29	7, 8, 9, 12, 27, 10, 28	pi1cpbl 25096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
30	10, 8, 9	om1plusg 25086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
31	30	oveqdr 7476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
32	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
33	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
34	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
35		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ∪ 𝐵)
36		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)
37	10, 32, 33, 34, 35, 36	om1addcl 25085	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
38	31, 37	eqeltrrd 2845	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
39		pi1addf.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
40	21, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39	qusaddval 17613	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ∪ 𝐵) → ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
41	1, 2, 40	mpd3an23 1463	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
42	17	imaeq2d 6089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) = (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
43	14, 42, 17	3sstr4d 4056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵)
44		ecinxp 8850	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑀]( ≃ph‘𝐽) = [𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
45	43, 1, 44	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑀]( ≃ph‘𝐽) = [𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
46		ecinxp 8850	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑁]( ≃ph‘𝐽) = [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
47	43, 2, 46	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑁]( ≃ph‘𝐽) = [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
48	45, 47	oveq12d 7466	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
49	10, 8, 9, 17, 1, 2	om1addcl 25085	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) ∈ ∪ 𝐵)
50		ecinxp 8850	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) ∈ ∪ 𝐵) → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
51	43, 49, 50	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
52	30	oveqd 7465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) = (𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁))
53	52	eceq1d 8803	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
54	51, 53	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
55	41, 48, 54	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   × cxp 5698   “ cima 5703  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   Er wer 8760  [cec 8761  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311   /_s cqus 17565  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253  IIcii 24920   ≃_phcphtpc 25020  *_𝑝cpco 25052   Ω₁ comi 25053   π₁ cpi1 25055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-ii 24922  df-htpy 25021  df-phtpy 25022  df-phtpc 25043  df-pco 25057  df-om1 25058  df-pi1 25060

This theorem is referenced by:  pi1inv  25104  pi1xfr  25107  pi1coghm  25113