Theorem pi1addval 25004

Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1addf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
pi1addval.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ 𝐵)
pi1addval.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pi1addval	⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽))

Proof of Theorem pi1addval

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1addval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ 𝐵)
2		pi1addval.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ∪ 𝐵)
3		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
4		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
5		fvexd 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
6		ovexd 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
7		elpi1.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
8		elpi1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9		elpi1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
11		elpi1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
13	7, 8, 9, 10, 12, 4	pi1blem 24995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
14	13	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
15	3, 4, 5, 6, 14	qusin 17563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
16	7, 8, 9, 10	pi1val 24993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
17	7, 8, 9, 10, 12, 4	pi1buni 24996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
18	17	sqxpeqd 5691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
19	18	ineq2d 4200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
20	19	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
21	15, 16, 20	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
22		phtpcer 24950	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
24	13	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
25	17, 24	eqsstrd 3998	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
26	23, 25	erinxp 8810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
27		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
28		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
29	7, 8, 9, 12, 27, 10, 28	pi1cpbl 25000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
30	10, 8, 9	om1plusg 24990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
31	30	oveqdr 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
32	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
33	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
34	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
35		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ∪ 𝐵)
36		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)
37	10, 32, 33, 34, 35, 36	om1addcl 24989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
38	31, 37	eqeltrrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
39		pi1addf.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
40	21, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39	qusaddval 17572	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ∪ 𝐵) → ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
41	1, 2, 40	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
42	17	imaeq2d 6052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) = (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
43	14, 42, 17	3sstr4d 4019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵)
44		ecinxp 8811	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑀]( ≃ph‘𝐽) = [𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
45	43, 1, 44	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑀]( ≃ph‘𝐽) = [𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
46		ecinxp 8811	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ∪ 𝐵) → [𝑁]( ≃ph‘𝐽) = [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
47	43, 2, 46	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑁]( ≃ph‘𝐽) = [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
48	45, 47	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = ([𝑀](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
49	10, 8, 9, 17, 1, 2	om1addcl 24989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) ∈ ∪ 𝐵)
50		ecinxp 8811	. . . 4 ⊢ (((( ≃ph‘𝐽) “ ∪ 𝐵) ⊆ ∪ 𝐵 ∧ (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) ∈ ∪ 𝐵) → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
51	43, 49, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
52	30	oveqd 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁) = (𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁))
53	52	eceq1d 8764	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
54	51, 53	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))
55	41, 48, 54	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph‘𝐽) + [𝑁]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝑀(*𝑝‘𝐽)𝑁)]( ≃ph‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∪ cuni 4888   × cxp 5657   “ cima 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   Er wer 8721  [cec 8722  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276   /_s cqus 17524  TopOnctopon 22853   Cn ccn 23167  IIcii 24824   ≃_phcphtpc 24924  *_𝑝cpco 24956   Ω₁ comi 24957   π₁ cpi1 24959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-qus 17528  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-ii 24826  df-htpy 24925  df-phtpy 24926  df-phtpc 24947  df-pco 24961  df-om1 24962  df-pi1 24964

This theorem is referenced by:  pi1inv  25008  pi1xfr  25011  pi1coghm  25017