MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1addval 23579
Description: The concatenation of two path-homotopy classes in the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2 (𝜑𝑌𝑋)
pi1addf.p + = (+g𝐺)
pi1addval.3 (𝜑𝑀 𝐵)
pi1addval.4 (𝜑𝑁 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1addval (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph𝐽) + [𝑁]( ≃ph𝐽)) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽))

Proof of Theorem pi1addval
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1addval.3 . . 3 (𝜑𝑀 𝐵)
2 pi1addval.4 . . 3 (𝜑𝑁 𝐵)
3 eqidd 2819 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
4 eqidd 2819 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
5 fvexd 6678 . . . . . 6 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) ∈ V)
6 ovexd 7180 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
7 elpi1.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
8 elpi1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 elpi1.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
10 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
11 elpi1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
137, 8, 9, 10, 12, 4pi1blem 23570 . . . . . . 7 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
1413simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
153, 4, 5, 6, 14qusin 16805 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
167, 8, 9, 10pi1val 23568 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
177, 8, 9, 10, 12, 4pi1buni 23571 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
1817sqxpeqd 5580 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
1918ineq2d 4186 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
2019oveq2d 7161 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
2115, 16, 203eqtr4d 2863 . . . 4 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
22 phtpcer 23526 . . . . . 6 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
2413simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
2517, 24eqsstrd 4002 . . . . 5 (𝜑 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
2623, 25erinxp 8360 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) Er 𝐵)
27 eqid 2818 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
28 eqid 2818 . . . . 5 (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
297, 8, 9, 12, 27, 10, 28pi1cpbl 23575 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
3010, 8, 9om1plusg 23565 . . . . . 6 (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3130oveqdr 7173 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
328adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
339adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑌𝑋)
3417adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
35 simprl 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑐 𝐵)
36 simprr 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑑 𝐵)
3710, 32, 33, 34, 35, 36om1addcl 23564 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) ∈ 𝐵)
3831, 37eqeltrrd 2911 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ 𝐵)
39 pi1addf.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4021, 17, 26, 6, 29, 38, 28, 39qusaddval 16814 . . 3 ((𝜑𝑀 𝐵𝑁 𝐵) → ([𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
411, 2, 40mpd3an23 1454 . 2 (𝜑 → ([𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
4217imaeq2d 5922 . . . . 5 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐵) = (( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
4314, 42, 173sstr4d 4011 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵)
44 ecinxp 8361 . . . 4 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵𝑀 𝐵) → [𝑀]( ≃ph𝐽) = [𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
4543, 1, 44syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → [𝑀]( ≃ph𝐽) = [𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
46 ecinxp 8361 . . . 4 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵𝑁 𝐵) → [𝑁]( ≃ph𝐽) = [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
4743, 2, 46syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → [𝑁]( ≃ph𝐽) = [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
4845, 47oveq12d 7163 . 2 (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph𝐽) + [𝑁]( ≃ph𝐽)) = ([𝑀](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) + [𝑁](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
4910, 8, 9, 17, 1, 2om1addcl 23564 . . . 4 (𝜑 → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑁) ∈ 𝐵)
50 ecinxp 8361 . . . 4 (((( ≃ph𝐽) “ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑀(*𝑝𝐽)𝑁) ∈ 𝐵) → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5143, 49, 50syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5230oveqd 7162 . . . 4 (𝜑 → (𝑀(*𝑝𝐽)𝑁) = (𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁))
5352eceq1d 8317 . . 3 (𝜑 → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5451, 53eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽) = [(𝑀(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑁)](( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))
5541, 48, 543eqtr4d 2863 1 (𝜑 → ([𝑀]( ≃ph𝐽) + [𝑁]( ≃ph𝐽)) = [(𝑀(*𝑝𝐽)𝑁)]( ≃ph𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933   cuni 4830   × cxp 5546  cima 5551  cfv 6348  (class class class)co 7145   Er wer 8275  [cec 8276  Basecbs 16471  +gcplusg 16553   /s cqus 16766  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760  IIcii 23410  phcphtpc 23500  *𝑝cpco 23531   Ω1 comi 23532   π1 cpi1 23534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-qus 16770  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-ii 23412  df-htpy 23501  df-phtpy 23502  df-phtpc 23523  df-pco 23536  df-om1 23537  df-pi1 23539
This theorem is referenced by:  pi1inv  23583  pi1xfr  23586  pi1coghm  23592
  Copyright terms: Public domain W3C validator