MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frgpadd 19625
Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpadd.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpadd.n + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgpadd ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
Proof of Theorem frgpadd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
2 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
3 frgpadd.w . . . . . . . 8 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
43efgrcl 19577 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
65simpld 495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ V)
7 frgpadd.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
9 frgpadd.r . . . . . 6 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
107, 8, 9frgpval 19620 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
125simprd 496 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
13 2on 8476 . . . . . . 7 2o ∈ On
14 xpexg 7733 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
156, 13, 14sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
16 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
178, 16frmdbas 18729 . . . . . 6 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1912, 18eqtr4d 2775 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
203, 9efger 19580 . . . . 5 ∼ Er π‘Š
2120a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ∼ Er π‘Š)
228frmdmnd 18736 . . . . 5 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
2315, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
24 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
257, 8, 9, 24frgpcpbl 19621 . . . . 5 ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑))
2625a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑)))
2723adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
28 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ π‘Š)
2919adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3028, 29eleqtrd 2835 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
31 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ π‘Š)
3231, 29eleqtrd 2835 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3316, 24mndcl 18629 . . . . . 6 (((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3534, 29eleqtrrd 2836 . . . 4 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ π‘Š)
36 frgpadd.n . . . 4 + = (+gβ€˜πΊ)
3711, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36qusaddval 17495 . . 3 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ )
381, 2, 37mpd3an23 1463 . 2 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ )
391, 19eleqtrd 2835 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
402, 19eleqtrd 2835 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
418, 16, 24frmdadd 18732 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡) = (𝐴 ++ 𝐡))
4239, 40, 41syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡) = (𝐴 ++ 𝐡))
4342eceq1d 8738 . 2 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
4438, 43eqtrd 2772 1 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   I cid 5572   Γ— cxp 5673  Oncon0 6361  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  2oc2o 8456   Er wer 8696  [cec 8697  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  Basecbs 17140  +gcplusg 17193   /s cqus 17447  Mndcmnd 18621  freeMndcfrmd 18724   ~FG cefg 19568  freeGrpcfrgp 19569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-s2 14795  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-frmd 18726  df-efg 19571  df-frgp 19572
This theorem is referenced by:  frgpinv  19626  frgpmhm  19627  frgpup1  19637  frgpnabllem1  19735
  Copyright terms: Public domain W3C validator