Theorem frgpadd 19796

Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpadd.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpadd.n	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgpadd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )

Proof of Theorem frgpadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑊)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		frgpadd.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4	3	efgrcl 19748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6	5	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ V)
7		frgpadd.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
9		frgpadd.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
10	7, 8, 9	frgpval 19791	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
12	5	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13		2on 8519	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
14		xpexg 7769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15	6, 13, 14	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
17	8, 16	frmdbas 18878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
19	12, 18	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
20	3, 9	efger 19751	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∼ Er 𝑊)
22	8	frmdmnd 18885	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
23	15, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
24		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
25	7, 8, 9, 24	frgpcpbl 19792	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑))
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑)))
27	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
28		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑏 ∈ 𝑊)
29	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
30	28, 29	eleqtrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
31		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑑 ∈ 𝑊)
32	31, 29	eleqtrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
33	16, 24	mndcl 18768	. . . . . 6 ⊢ (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
34	27, 30, 32, 33	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
35	34, 29	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ 𝑊)
36		frgpadd.n	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
37	11, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36	qusaddval 17600	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ )
38	1, 2, 37	mpd3an23 1462	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ )
39	1, 19	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
40	2, 19	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
41	8, 16, 24	frmdadd 18881	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
42	39, 40, 41	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
43	42	eceq1d 8784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )
44	38, 43	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   I cid 5582   × cxp 5687  Oncon0 6386  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  2_oc2o 8499   Er wer 8741  [cec 8742  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298   /_s cqus 17552  Mndcmnd 18760  freeMndcfrmd 18873   ~_FG cefg 19739  freeGrpcfrgp 19740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-s2 14884  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-frmd 18875  df-efg 19742  df-frgp 19743

This theorem is referenced by:  frgpinv  19797  frgpmhm  19798  frgpup1  19808  frgpnabllem1  19906