Theorem frgpadd 19804

Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpadd.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpadd.n	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgpadd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )

Proof of Theorem frgpadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑊)
2		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		frgpadd.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4	3	efgrcl 19756	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
5	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6	5	simpld 498	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ V)
7		frgpadd.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
9		frgpadd.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
10	7, 8, 9	frgpval 19799	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
12	5	simprd 499	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13		2on 8452	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
14		xpexg 7734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15	6, 13, 14	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
17	8, 16	frmdbas 18887	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
19	12, 18	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
20	3, 9	efger 19759	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∼ Er 𝑊)
22	8	frmdmnd 18894	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
23	15, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
24		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
25	7, 8, 9, 24	frgpcpbl 19800	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑))
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑)))
27	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
28		simprl 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑏 ∈ 𝑊)
29	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
30	28, 29	eleqtrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
31		simprr 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑑 ∈ 𝑊)
32	31, 29	eleqtrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
33	16, 24	mndcl 18777	. . . . . 6 ⊢ (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
34	27, 30, 32, 33	syl3anc 1391	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
35	34, 29	eleqtrrd 2866	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ 𝑊)
36		frgpadd.n	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
37	11, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36	qusaddval 17584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ )
38	1, 2, 37	mpd3an23 1485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ )
39	1, 19	eleqtrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
40	2, 19	eleqtrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
41	8, 16, 24	frmdadd 18890	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
42	39, 40, 41	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
43	42	eceq1d 8720	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )
44	38, 43	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5101   I cid 5542   × cxp 5646  Oncon0 6347  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  2_oc2o 8432   Er wer 8676  [cec 8677  Word cword 14527   ++ cconcat 14584  Basecbs 17246  +_gcplusg 17287   /_s cqus 17536  Mndcmnd 18769  freeMndcfrmd 18882   ~_FG cefg 19747  freeGrpcfrgp 19748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-ec 8681  df-qs 8685  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-hash 14345  df-word 14528  df-concat 14585  df-s1 14611  df-substr 14656  df-pfx 14686  df-splice 14764  df-s2 14862  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-imas 17539  df-qus 17540  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-frmd 18884  df-efg 19750  df-frgp 19751

This theorem is referenced by:  frgpinv  19805  frgpmhm  19806  frgpup1  19816  frgpnabllem1  19914