Theorem frgpadd 19107

Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpadd.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpadd.n	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgpadd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )

Proof of Theorem frgpadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑊)
2		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		frgpadd.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4	3	efgrcl 19059	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
5	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6	5	simpld 498	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ V)
7		frgpadd.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
9		frgpadd.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
10	7, 8, 9	frgpval 19102	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
12	5	simprd 499	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13		2on 8188	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
14		xpexg 7513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15	6, 13, 14	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
17	8, 16	frmdbas 18233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
19	12, 18	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
20	3, 9	efger 19062	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∼ Er 𝑊)
22	8	frmdmnd 18240	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
23	15, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
24		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
25	7, 8, 9, 24	frgpcpbl 19103	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑))
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑)))
27	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
28		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑏 ∈ 𝑊)
29	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
30	28, 29	eleqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
31		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑑 ∈ 𝑊)
32	31, 29	eleqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
33	16, 24	mndcl 18135	. . . . . 6 ⊢ (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
34	27, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
35	34, 29	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ 𝑊)
36		frgpadd.n	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
37	11, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36	qusaddval 17012	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ )
38	1, 2, 37	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ )
39	1, 19	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
40	2, 19	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
41	8, 16, 24	frmdadd 18236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
42	39, 40, 41	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
43	42	eceq1d 8408	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )
44	38, 43	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   class class class wbr 5039   I cid 5439   × cxp 5534  Oncon0 6191  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  2_oc2o 8174   Er wer 8366  [cec 8367  Word cword 14034   ++ cconcat 14090  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749   /_s cqus 16964  Mndcmnd 18127  freeMndcfrmd 18228   ~_FG cefg 19050  freeGrpcfrgp 19051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-ot 4536  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-ec 8371  df-qs 8375  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-inf 9037  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-hash 13862  df-word 14035  df-concat 14091  df-s1 14118  df-substr 14171  df-pfx 14201  df-splice 14280  df-s2 14378  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-imas 16967  df-qus 16968  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-frmd 18230  df-efg 19053  df-frgp 19054

This theorem is referenced by:  frgpinv  19108  frgpmhm  19109  frgpup1  19119  frgpnabllem1  19212