Theorem frgpadd 19881

Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpadd.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpadd.n	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgpadd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )

Proof of Theorem frgpadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑊)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		frgpadd.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4	3	efgrcl 19833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6	5	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ V)
7		frgpadd.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
9		frgpadd.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
10	7, 8, 9	frgpval 19876	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
11	6, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
12	5	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13		2on 8473	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
14		xpexg 7755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15	6, 13, 14	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
17	8, 16	frmdbas 18952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
18	15, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
19	12, 18	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
20	3, 9	efger 19836	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∼ Er 𝑊)
22	8	frmdmnd 18959	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
23	15, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
24		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
25	7, 8, 9, 24	frgpcpbl 19877	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑))
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑)))
27	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
28		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑏 ∈ 𝑊)
29	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
30	28, 29	eleqtrd 2867	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
31		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑑 ∈ 𝑊)
32	31, 29	eleqtrd 2867	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
33	16, 24	mndcl 18836	. . . . . 6 ⊢ (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
34	27, 30, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
35	34, 29	eleqtrrd 2868	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ 𝑊)
36		frgpadd.n	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
37	11, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36	qusaddval 17633	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ )
38	1, 2, 37	mpd3an23 1492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ )
39	1, 19	eleqtrd 2867	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
40	2, 19	eleqtrd 2867	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
41	8, 16, 24	frmdadd 18955	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
42	39, 40, 41	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
43	42	eceq1d 8741	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] ∼ = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )
44	38, 43	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   I cid 5557   × cxp 5661  Oncon0 6364  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  2_oc2o 8453   Er wer 8697  [cec 8698  Word cword 14572   ++ cconcat 14629  Basecbs 17295  +_gcplusg 17336   /_s cqus 17585  Mndcmnd 18828  freeMndcfrmd 18947   ~_FG cefg 19824  freeGrpcfrgp 19825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-hash 14389  df-word 14573  df-concat 14630  df-s1 14657  df-substr 14703  df-pfx 14735  df-splice 14813  df-s2 14913  df-struct 17233  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-imas 17588  df-qus 17589  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-frmd 18949  df-efg 19827  df-frgp 19828

This theorem is used by:  frgpinv  19882  frgpmhm  19883  frgpup1  19893  frgpnabllem1  19991