MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpadd 18376
Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r = ( ~FG𝐼)
frgpadd.n + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgpadd ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] )

Proof of Theorem frgpadd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐴𝑊)
2 simpr 471 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
3 frgpadd.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
43efgrcl 18328 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
54adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
65simpld 482 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐼 ∈ V)
7 frgpadd.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8 eqid 2771 . . . . . 6 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
9 frgpadd.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
107, 8, 9frgpval 18371 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
125simprd 483 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
13 2on 7720 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
14 xpexg 7105 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
156, 13, 14sylancl 574 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
16 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
178, 16frmdbas 17590 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1912, 18eqtr4d 2808 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
203, 9efger 18331 . . . . 5 Er 𝑊
2120a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → Er 𝑊)
228frmdmnd 17597 . . . . 5 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
2315, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
24 eqid 2771 . . . . . 6 (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
257, 8, 9, 24frgpcpbl 18372 . . . . 5 ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑))
2625a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑)))
2723adantr 466 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
28 simprl 754 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑏𝑊)
2919adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3028, 29eleqtrd 2852 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
31 simprr 756 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑑𝑊)
3231, 29eleqtrd 2852 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3316, 24mndcl 17502 . . . . . 6 (((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3534, 29eleqtrrd 2853 . . . 4 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ 𝑊)
36 frgpadd.n . . . 4 + = (+g𝐺)
3711, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36qusaddval 16414 . . 3 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] )
381, 2, 37mpd3an23 1574 . 2 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] )
391, 19eleqtrd 2852 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
402, 19eleqtrd 2852 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
418, 16, 24frmdadd 17593 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
4239, 40, 41syl2anc 573 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
4342eceq1d 7933 . 2 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] = [(𝐴 ++ 𝐵)] )
4438, 43eqtrd 2805 1 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351   class class class wbr 4786   I cid 5156   × cxp 5247  Oncon0 5864  cfv 6029  (class class class)co 6791  2𝑜c2o 7705   Er wer 7891  [cec 7892  Word cword 13480   ++ cconcat 13482  Basecbs 16057  +gcplusg 16142   /s cqus 16366  Mndcmnd 17495  freeMndcfrmd 17585   ~FG cefg 18319  freeGrpcfrgp 18320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-ec 7896  df-qs 7900  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-hash 13315  df-word 13488  df-concat 13490  df-s1 13491  df-substr 13492  df-splice 13493  df-s2 13795  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-imas 16369  df-qus 16370  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-frmd 17587  df-efg 18322  df-frgp 18323
This theorem is referenced by:  frgpinv  18377  frgpmhm  18378  frgpup1  18388  frgpnabllem1  18476
  Copyright terms: Public domain W3C validator