MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frgpadd 19680
Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpadd.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpadd.n + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgpadd ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
Proof of Theorem frgpadd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
2 simpr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
3 frgpadd.w . . . . . . . 8 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
43efgrcl 19632 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
65simpld 494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ V)
7 frgpadd.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
9 frgpadd.r . . . . . 6 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
107, 8, 9frgpval 19675 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
125simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
13 2on 8478 . . . . . . 7 2o ∈ On
14 xpexg 7733 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
156, 13, 14sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
16 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
178, 16frmdbas 18774 . . . . . 6 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1912, 18eqtr4d 2769 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
203, 9efger 19635 . . . . 5 ∼ Er π‘Š
2120a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ∼ Er π‘Š)
228frmdmnd 18781 . . . . 5 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
2315, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
24 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
257, 8, 9, 24frgpcpbl 19676 . . . . 5 ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑))
2625a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑)))
2723adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
28 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ π‘Š)
2919adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3028, 29eleqtrd 2829 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
31 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ π‘Š)
3231, 29eleqtrd 2829 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3316, 24mndcl 18672 . . . . . 6 (((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3534, 29eleqtrrd 2830 . . . 4 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ π‘Š)
36 frgpadd.n . . . 4 + = (+gβ€˜πΊ)
3711, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36qusaddval 17505 . . 3 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ )
381, 2, 37mpd3an23 1459 . 2 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ )
391, 19eleqtrd 2829 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
402, 19eleqtrd 2829 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
418, 16, 24frmdadd 18777 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡) = (𝐴 ++ 𝐡))
4239, 40, 41syl2anc 583 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡) = (𝐴 ++ 𝐡))
4342eceq1d 8741 . 2 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
4438, 43eqtrd 2766 1 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   I cid 5566   Γ— cxp 5667  Oncon0 6357  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  2oc2o 8458   Er wer 8699  [cec 8700  Word cword 14467   ++ cconcat 14523  Basecbs 17150  +gcplusg 17203   /s cqus 17457  Mndcmnd 18664  freeMndcfrmd 18769   ~FG cefg 19623  freeGrpcfrgp 19624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-splice 14703  df-s2 14802  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-imas 17460  df-qus 17461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-frmd 18771  df-efg 19626  df-frgp 19627
This theorem is referenced by:  frgpinv  19681  frgpmhm  19682  frgpup1  19692  frgpnabllem1  19790
  Copyright terms: Public domain W3C validator