MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpadd 18661
Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r = ( ~FG𝐼)
frgpadd.n + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgpadd ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] )

Proof of Theorem frgpadd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐴𝑊)
2 simpr 477 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
3 frgpadd.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
43efgrcl 18611 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
54adantr 473 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
65simpld 487 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐼 ∈ V)
7 frgpadd.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8 eqid 2771 . . . . . 6 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
9 frgpadd.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
107, 8, 9frgpval 18656 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
125simprd 488 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13 2on 7912 . . . . . . 7 2o ∈ On
14 xpexg 7288 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
156, 13, 14sylancl 578 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
178, 16frmdbas 17870 . . . . . 6 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1912, 18eqtr4d 2810 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
203, 9efger 18614 . . . . 5 Er 𝑊
2120a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → Er 𝑊)
228frmdmnd 17877 . . . . 5 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
2315, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
24 eqid 2771 . . . . . 6 (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
257, 8, 9, 24frgpcpbl 18657 . . . . 5 ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑))
2625a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑)))
2723adantr 473 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
28 simprl 759 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑏𝑊)
2919adantr 473 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3028, 29eleqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
31 simprr 761 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑑𝑊)
3231, 29eleqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3316, 24mndcl 17781 . . . . . 6 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1352 . . . . 5 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3534, 29eleqtrrd 2862 . . . 4 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑) ∈ 𝑊)
36 frgpadd.n . . . 4 + = (+g𝐺)
3711, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36qusaddval 16680 . . 3 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] )
381, 2, 37mpd3an23 1443 . 2 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] )
391, 19eleqtrd 2861 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
402, 19eleqtrd 2861 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
418, 16, 24frmdadd 17873 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
4239, 40, 41syl2anc 576 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
4342eceq1d 8126 . 2 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝐵)] = [(𝐴 ++ 𝐵)] )
4438, 43eqtrd 2807 1 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  Vcvv 3408   class class class wbr 4925   I cid 5307   × cxp 5401  Oncon0 6026  cfv 6185  (class class class)co 6974  2oc2o 7897   Er wer 8084  [cec 8085  Word cword 13670   ++ cconcat 13731  Basecbs 16337  +gcplusg 16419   /s cqus 16632  Mndcmnd 17774  freeMndcfrmd 17865   ~FG cefg 18602  freeGrpcfrgp 18603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-ot 4444  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-ec 8089  df-qs 8093  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-hash 13504  df-word 13671  df-concat 13732  df-s1 13757  df-substr 13802  df-pfx 13851  df-splice 13958  df-s2 14070  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-imas 16635  df-qus 16636  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-frmd 17867  df-efg 18605  df-frgp 18606
This theorem is referenced by:  frgpinv  18662  frgpmhm  18663  frgpup1  18673  frgpnabllem1  18761
  Copyright terms: Public domain W3C validator