Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 484 |
. . 3
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β π΄ β π) |
2 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β π΅ β π) |
3 | | frgpadd.w |
. . . . . . . 8
β’ π = ( I βWord (πΌ Γ
2o)) |
4 | 3 | efgrcl 19504 |
. . . . . . 7
β’ (π΄ β π β (πΌ β V β§ π = Word (πΌ Γ 2o))) |
5 | 4 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β (πΌ β V β§ π = Word (πΌ Γ 2o))) |
6 | 5 | simpld 496 |
. . . . 5
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β πΌ β V) |
7 | | frgpadd.g |
. . . . . 6
β’ πΊ = (freeGrpβπΌ) |
8 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(freeMndβ(πΌ
Γ 2o)) = (freeMndβ(πΌ Γ 2o)) |
9 | | frgpadd.r |
. . . . . 6
β’ βΌ = (
~FG βπΌ) |
10 | 7, 8, 9 | frgpval 19547 |
. . . . 5
β’ (πΌ β V β πΊ = ((freeMndβ(πΌ Γ 2o))
/s βΌ )) |
11 | 6, 10 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β πΊ = ((freeMndβ(πΌ Γ 2o))
/s βΌ )) |
12 | 5 | simprd 497 |
. . . . 5
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β π = Word (πΌ Γ 2o)) |
13 | | 2on 8431 |
. . . . . . 7
β’
2o β On |
14 | | xpexg 7689 |
. . . . . . 7
β’ ((πΌ β V β§ 2o
β On) β (πΌ
Γ 2o) β V) |
15 | 6, 13, 14 | sylancl 587 |
. . . . . 6
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β (πΌ Γ 2o) β
V) |
16 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o))) =
(Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o))) |
17 | 8, 16 | frmdbas 18669 |
. . . . . 6
β’ ((πΌ Γ 2o) β V
β (Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o))) = Word (πΌ Γ
2o)) |
18 | 15, 17 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β (Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o))) = Word
(πΌ Γ
2o)) |
19 | 12, 18 | eqtr4d 2780 |
. . . 4
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β π = (Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ
2o)))) |
20 | 3, 9 | efger 19507 |
. . . . 5
β’ βΌ Er
π |
21 | 20 | a1i 11 |
. . . 4
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β βΌ Er π) |
22 | 8 | frmdmnd 18676 |
. . . . 5
β’ ((πΌ Γ 2o) β V
β (freeMndβ(πΌ
Γ 2o)) β Mnd) |
23 | 15, 22 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β (freeMndβ(πΌ Γ 2o)) β
Mnd) |
24 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o))) =
(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o))) |
25 | 7, 8, 9, 24 | frgpcpbl 19548 |
. . . . 5
β’ ((π βΌ π β§ π βΌ π) β (π(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π) βΌ (π(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π)) |
26 | 25 | a1i 11 |
. . . 4
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β ((π βΌ π β§ π βΌ π) β (π(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π) βΌ (π(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π))) |
27 | 23 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π β π β§ π β π)) β (freeMndβ(πΌ Γ 2o)) β
Mnd) |
28 | | simprl 770 |
. . . . . . 7
β’ (((π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π β π β§ π β π)) β π β π) |
29 | 19 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ (((π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π β π β§ π β π)) β π = (Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ
2o)))) |
30 | 28, 29 | eleqtrd 2840 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π β π β§ π β π)) β π β (Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ
2o)))) |
31 | | simprr 772 |
. . . . . . 7
β’ (((π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π β π β§ π β π)) β π β π) |
32 | 31, 29 | eleqtrd 2840 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π β π β§ π β π)) β π β (Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ
2o)))) |
33 | 16, 24 | mndcl 18571 |
. . . . . 6
β’
(((freeMndβ(πΌ
Γ 2o)) β Mnd β§ π β (Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o))) β§
π β
(Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))) β (π(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π) β
(Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))) |
34 | 27, 30, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π β π β§ π β π)) β (π(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π) β
(Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))) |
35 | 34, 29 | eleqtrrd 2841 |
. . . 4
β’ (((π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (π β π β§ π β π)) β (π(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π) β π) |
36 | | frgpadd.n |
. . . 4
β’ + =
(+gβπΊ) |
37 | 11, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36 | qusaddval 17442 |
. . 3
β’ (((π΄ β π β§ π΅ β π) β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ([π΄] βΌ + [π΅] βΌ ) = [(π΄(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π΅)] βΌ ) |
38 | 1, 2, 37 | mpd3an23 1464 |
. 2
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β ([π΄] βΌ + [π΅] βΌ ) = [(π΄(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π΅)] βΌ ) |
39 | 1, 19 | eleqtrd 2840 |
. . . 4
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β π΄ β (Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ
2o)))) |
40 | 2, 19 | eleqtrd 2840 |
. . . 4
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β π΅ β (Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ
2o)))) |
41 | 8, 16, 24 | frmdadd 18672 |
. . . 4
β’ ((π΄ β
(Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o))) β§ π΅ β
(Baseβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))) β (π΄(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π΅) = (π΄ ++ π΅)) |
42 | 39, 40, 41 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β (π΄(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π΅) = (π΄ ++ π΅)) |
43 | 42 | eceq1d 8694 |
. 2
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β [(π΄(+gβ(freeMndβ(πΌ Γ 2o)))π΅)] βΌ = [(π΄ ++ π΅)] βΌ ) |
44 | 38, 43 | eqtrd 2777 |
1
β’ ((π΄ β π β§ π΅ β π) β ([π΄] βΌ + [π΅] βΌ ) = [(π΄ ++ π΅)] βΌ ) |