MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frgpadd 19725
Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpadd.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpadd.n + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgpadd ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
Proof of Theorem frgpadd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
2 simpr 483 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
3 frgpadd.w . . . . . . . 8 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
43efgrcl 19677 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
54adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
65simpld 493 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ V)
7 frgpadd.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
9 frgpadd.r . . . . . 6 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
107, 8, 9frgpval 19720 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
125simprd 494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
13 2on 8507 . . . . . . 7 2o ∈ On
14 xpexg 7758 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
156, 13, 14sylancl 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
16 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
178, 16frmdbas 18811 . . . . . 6 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1912, 18eqtr4d 2771 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
203, 9efger 19680 . . . . 5 ∼ Er π‘Š
2120a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ∼ Er π‘Š)
228frmdmnd 18818 . . . . 5 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
2315, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
24 eqid 2728 . . . . . 6 (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
257, 8, 9, 24frgpcpbl 19721 . . . . 5 ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑))
2625a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑)))
2723adantr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
28 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ π‘Š)
2919adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3028, 29eleqtrd 2831 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
31 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ π‘Š)
3231, 29eleqtrd 2831 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3316, 24mndcl 18709 . . . . . 6 (((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3534, 29eleqtrrd 2832 . . . 4 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ π‘Š)
36 frgpadd.n . . . 4 + = (+gβ€˜πΊ)
3711, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36qusaddval 17542 . . 3 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ )
381, 2, 37mpd3an23 1459 . 2 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ )
391, 19eleqtrd 2831 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
402, 19eleqtrd 2831 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
418, 16, 24frmdadd 18814 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡) = (𝐴 ++ 𝐡))
4239, 40, 41syl2anc 582 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡) = (𝐴 ++ 𝐡))
4342eceq1d 8770 . 2 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
4438, 43eqtrd 2768 1 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   I cid 5579   Γ— cxp 5680  Oncon0 6374  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  2oc2o 8487   Er wer 8728  [cec 8729  Word cword 14504   ++ cconcat 14560  Basecbs 17187  +gcplusg 17240   /s cqus 17494  Mndcmnd 18701  freeMndcfrmd 18806   ~FG cefg 19668  freeGrpcfrgp 19669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-splice 14740  df-s2 14839  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-frmd 18808  df-efg 19671  df-frgp 19672
This theorem is referenced by:  frgpinv  19726  frgpmhm  19727  frgpup1  19737  frgpnabllem1  19835
  Copyright terms: Public domain W3C validator