MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpadd 19552
Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpadd.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpadd.n + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgpadd ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )

Proof of Theorem frgpadd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
2 simpr 486 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
3 frgpadd.w . . . . . . . 8 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
43efgrcl 19504 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
54adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
65simpld 496 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ V)
7 frgpadd.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
9 frgpadd.r . . . . . 6 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
107, 8, 9frgpval 19547 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
125simprd 497 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
13 2on 8431 . . . . . . 7 2o ∈ On
14 xpexg 7689 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
156, 13, 14sylancl 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
178, 16frmdbas 18669 . . . . . 6 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1912, 18eqtr4d 2780 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
203, 9efger 19507 . . . . 5 ∼ Er π‘Š
2120a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ∼ Er π‘Š)
228frmdmnd 18676 . . . . 5 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
2315, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
24 eqid 2737 . . . . . 6 (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
257, 8, 9, 24frgpcpbl 19548 . . . . 5 ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑))
2625a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑)))
2723adantr 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
28 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ π‘Š)
2919adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3028, 29eleqtrd 2840 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
31 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ π‘Š)
3231, 29eleqtrd 2840 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3316, 24mndcl 18571 . . . . . 6 (((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3534, 29eleqtrrd 2841 . . . 4 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝑏 ∈ π‘Š ∧ 𝑑 ∈ π‘Š)) β†’ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑) ∈ π‘Š)
36 frgpadd.n . . . 4 + = (+gβ€˜πΊ)
3711, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36qusaddval 17442 . . 3 (((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ )
381, 2, 37mpd3an23 1464 . 2 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ )
391, 19eleqtrd 2840 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
402, 19eleqtrd 2840 . . . 4 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
418, 16, 24frmdadd 18672 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡) = (𝐴 ++ 𝐡))
4239, 40, 41syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡) = (𝐴 ++ 𝐡))
4342eceq1d 8694 . 2 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ [(𝐴(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝐡)] ∼ = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
4438, 43eqtrd 2777 1 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ([𝐴] ∼ + [𝐡] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐡)] ∼ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   I cid 5535   Γ— cxp 5636  Oncon0 6322  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  2oc2o 8411   Er wer 8652  [cec 8653  Word cword 14409   ++ cconcat 14465  Basecbs 17090  +gcplusg 17140   /s cqus 17394  Mndcmnd 18563  freeMndcfrmd 18664   ~FG cefg 19495  freeGrpcfrgp 19496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645  df-s2 14744  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-frmd 18666  df-efg 19498  df-frgp 19499
This theorem is referenced by:  frgpinv  19553  frgpmhm  19554  frgpup1  19564  frgpnabllem1  19658
  Copyright terms: Public domain W3C validator