Theorem elimnv 31312

Description: Hypothesis elimination lemma for normed complex vector spaces to assist weak deduction theorem. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
elimnv.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
elimnv.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
elimnv.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
elimnv	⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Proof of Theorem elimnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimnv.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		elimnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		elimnv.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 31263	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
6	5	elimel 4555	1 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  ‘cfv 6555  NrmCVeccnv 31213  BaseSetcba 31215  0_veccn0v 31217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-grpo 31122  df-gid 31123  df-ablo 31174  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-nmcv 31229

This theorem is used by:  elimph  31449