Theorem elimnv 28718

Description: Hypothesis elimination lemma for normed complex vector spaces to assist weak deduction theorem. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
elimnv.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
elimnv.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
elimnv.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
elimnv	⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Proof of Theorem elimnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimnv.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		elimnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		elimnv.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 28669	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
6	5	elimel 4494	1 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ifcif 4425  ‘cfv 6358  NrmCVeccnv 28619  BaseSetcba 28621  0_veccn0v 28623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-grpo 28528  df-gid 28529  df-ablo 28580  df-vc 28594  df-nv 28627  df-va 28630  df-ba 28631  df-sm 28632  df-0v 28633  df-nmcv 28635

This theorem is referenced by:  elimph  28855