Theorem elimnv 29024

Description: Hypothesis elimination lemma for normed complex vector spaces to assist weak deduction theorem. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
elimnv.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
elimnv.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
elimnv.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
elimnv	⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Proof of Theorem elimnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimnv.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		elimnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		elimnv.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 28975	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
6	5	elimel 4533	1 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ifcif 4464  ‘cfv 6430  NrmCVeccnv 28925  BaseSetcba 28927  0_veccn0v 28929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-grpo 28834  df-gid 28835  df-ablo 28886  df-vc 28900  df-nv 28933  df-va 28936  df-ba 28937  df-sm 28938  df-0v 28939  df-nmcv 28941

This theorem is referenced by:  elimph  29161