Theorem elimnv 30772

Description: Hypothesis elimination lemma for normed complex vector spaces to assist weak deduction theorem. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
elimnv.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
elimnv.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
elimnv.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
elimnv	⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Proof of Theorem elimnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimnv.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		elimnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		elimnv.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 30723	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑍 ∈ 𝑋
6	5	elimel 4537	1 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467  ‘cfv 6493  NrmCVeccnv 30673  BaseSetcba 30675  0_veccn0v 30677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689

This theorem is referenced by:  elimph  30909