Theorem nvzcl 30997

Description: Closure law for the zero vector of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvzcl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvzcl.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvzcl	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem nvzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
2		nvzcl.6	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	0vfval 30969	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)))
4	1	nvgrp 30980	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp)
5		nvzcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6	5, 1	bafval 30967	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)) = (GId‘( +𝑣 ‘𝑈))
8	6, 7	grpoidcl 30877	. . 3 ⊢ (( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp → (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)) ∈ 𝑋)
9	4, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)) ∈ 𝑋)
10	3, 9	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  GrpOpcgr 30852  GIdcgi 30853  NrmCVeccnv 30947   +_𝑣 cpv 30948  BaseSetcba 30949  0_veccn0v 30951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-grpo 30856  df-gid 30857  df-ablo 30908  df-vc 30922  df-nv 30955  df-va 30958  df-ba 30959  df-sm 30960  df-0v 30961  df-nmcv 30963

This theorem is used by:  nvmeq0  31021  nvz0  31031  elimnv  31046  nvnd  31051  imsmetlem  31053  dip0r  31080  dip0l  31081  sspz  31098  lno0  31119  lnomul  31123  nvo00  31124  nmosetn0  31128  nmooge0  31130  0oo  31152  0lno  31153  nmoo0  31154  blocni  31168  ubthlem1  31233  minvecolem1  31237  hl0cl  31265  hhshsslem2  31631