Theorem nvzcl 30658

Description: Closure law for the zero vector of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvzcl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvzcl.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvzcl	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem nvzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
2		nvzcl.6	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	0vfval 30630	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)))
4	1	nvgrp 30641	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp)
5		nvzcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6	5, 1	bafval 30628	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
7		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)) = (GId‘( +𝑣 ‘𝑈))
8	6, 7	grpoidcl 30538	. . 3 ⊢ (( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp → (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)) ∈ 𝑋)
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)) ∈ 𝑋)
10	3, 9	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  GrpOpcgr 30513  GIdcgi 30514  NrmCVeccnv 30608   +_𝑣 cpv 30609  BaseSetcba 30610  0_veccn0v 30612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-nmcv 30624

This theorem is referenced by:  nvmeq0  30682  nvz0  30692  elimnv  30707  nvnd  30712  imsmetlem  30714  dip0r  30741  dip0l  30742  sspz  30759  lno0  30780  lnomul  30784  nvo00  30785  nmosetn0  30789  nmooge0  30791  0oo  30813  0lno  30814  nmoo0  30815  blocni  30829  ubthlem1  30894  minvecolem1  30898  hl0cl  30926  hhshsslem2  31292