Theorem nvzcl 30570

Description: Closure law for the zero vector of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvzcl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvzcl.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvzcl	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem nvzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
2		nvzcl.6	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	0vfval 30542	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)))
4	1	nvgrp 30553	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp)
5		nvzcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6	5, 1	bafval 30540	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)) = (GId‘( +𝑣 ‘𝑈))
8	6, 7	grpoidcl 30450	. . 3 ⊢ (( +𝑣 ‘𝑈) ∈ GrpOp → (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)) ∈ 𝑋)
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (GId‘( +𝑣 ‘𝑈)) ∈ 𝑋)
10	3, 9	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  GrpOpcgr 30425  GIdcgi 30426  NrmCVeccnv 30520   +_𝑣 cpv 30521  BaseSetcba 30522  0_veccn0v 30524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-nmcv 30536

This theorem is referenced by:  nvmeq0  30594  nvz0  30604  elimnv  30619  nvnd  30624  imsmetlem  30626  dip0r  30653  dip0l  30654  sspz  30671  lno0  30692  lnomul  30696  nvo00  30697  nmosetn0  30701  nmooge0  30703  0oo  30725  0lno  30726  nmoo0  30727  blocni  30741  ubthlem1  30806  minvecolem1  30810  hl0cl  30838  hhshsslem2  31204