Theorem cnnvm 29922

Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvm.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvm	⊢ − = ( −𝑣 ‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1 11651	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
2	1	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
3	2	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
4		negsub 11504	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
5	3, 4	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
6	5	mpoeq3ia 7483	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
7		subf 11458	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8		ffn 6714	. . . 4 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
10		fnov 7536	. . 3 ⊢ ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)))
11	9, 10	mpbi 229	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦))
12		cnnvm.6	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
13	12	cnnv 29917	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
14	12	cnnvba 29919	. . . 4 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)
15	12	cnnvg 29918	. . . 4 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝑈)
16	12	cnnvs 29920	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
18	14, 15, 16, 17	nvmfval 29884	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦))))
19	13, 18	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
20	6, 11, 19	3eqtr4i 2770	1 ⊢ − = ( −𝑣 ‘𝑈)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4633   × cxp 5673   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℂcc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11440  -cneg 11441  abscabs 15177  NrmCVeccnv 29824   −_𝑣 cnsb 29829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840

This theorem is referenced by:  cnims  29933