MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnnvm 28471
Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvm.6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cnnvm − = ( −𝑣𝑈)

Proof of Theorem cnnvm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulm1 11079 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
21adantl 485 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
32oveq2d 7165 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
4 negsub 10932 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥𝑦))
53, 4eqtr2d 2860 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
65mpoeq3ia 7225 . 2 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
7 subf 10886 . . . 4 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8 ffn 6503 . . . 4 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
97, 8ax-mp 5 . . 3 − Fn (ℂ × ℂ)
10 fnov 7275 . . 3 ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦)))
119, 10mpbi 233 . 2 − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑦))
12 cnnvm.6 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
1312cnnv 28466 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
1412cnnvba 28468 . . . 4 ℂ = (BaseSet‘𝑈)
1512cnnvg 28467 . . . 4 + = ( +𝑣𝑈)
1612cnnvs 28469 . . . 4 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
17 eqid 2824 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
1814, 15, 16, 17nvmfval 28433 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣𝑈) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦))))
1913, 18ax-mp 5 . 2 ( −𝑣𝑈) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
206, 11, 193eqtr4i 2857 1 − = ( −𝑣𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cop 4556   × cxp 5540   Fn wfn 6338  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  cmpo 7151  cc 10533  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  cmin 10868  -cneg 10869  abscabs 14593  NrmCVeccnv 28373  𝑣 cnsb 28378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-grpo 28282  df-gid 28283  df-ginv 28284  df-gdiv 28285  df-ablo 28334  df-vc 28348  df-nv 28381  df-va 28384  df-ba 28385  df-sm 28386  df-0v 28387  df-vs 28388  df-nmcv 28389
This theorem is referenced by:  cnims  28482
  Copyright terms: Public domain W3C validator