Theorem cnnvm 30430

Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvm.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvm	⊢ − = ( −𝑣 ‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1 11654	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
3	2	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
4		negsub 11507	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
5	3, 4	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
6	5	mpoeq3ia 7480	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
7		subf 11461	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8		ffn 6708	. . . 4 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
10		fnov 7533	. . 3 ⊢ ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)))
11	9, 10	mpbi 229	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦))
12		cnnvm.6	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
13	12	cnnv 30425	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
14	12	cnnvba 30427	. . . 4 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)
15	12	cnnvg 30426	. . . 4 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝑈)
16	12	cnnvs 30428	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
18	14, 15, 16, 17	nvmfval 30392	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦))))
19	13, 18	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
20	6, 11, 19	3eqtr4i 2762	1 ⊢ − = ( −𝑣 ‘𝑈)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4627   × cxp 5665   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ∈ cmpo 7404  ℂcc 11105  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   − cmin 11443  -cneg 11444  abscabs 15183  NrmCVeccnv 30332   −_𝑣 cnsb 30337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-grpo 30241  df-gid 30242  df-ginv 30243  df-gdiv 30244  df-ablo 30293  df-vc 30307  df-nv 30340  df-va 30343  df-ba 30344  df-sm 30345  df-0v 30346  df-vs 30347  df-nmcv 30348

This theorem is referenced by:  cnims  30441