MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnnvm 30505
Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvm.6 π‘ˆ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cnnvm βˆ’ = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)

Proof of Theorem cnnvm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulm1 11686 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (-1 Β· 𝑦) = -𝑦)
21adantl 481 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (-1 Β· 𝑦) = -𝑦)
32oveq2d 7436 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)) = (π‘₯ + -𝑦))
4 negsub 11539 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + -𝑦) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
53, 4eqtr2d 2769 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) = (π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)))
65mpoeq3ia 7498 . 2 (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)))
7 subf 11493 . . . 4 βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
8 ffn 6722 . . . 4 ( βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ βˆ’ Fn (β„‚ Γ— β„‚))
97, 8ax-mp 5 . . 3 βˆ’ Fn (β„‚ Γ— β„‚)
10 fnov 7552 . . 3 ( βˆ’ Fn (β„‚ Γ— β„‚) ↔ βˆ’ = (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
119, 10mpbi 229 . 2 βˆ’ = (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
12 cnnvm.6 . . . 4 π‘ˆ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
1312cnnv 30500 . . 3 π‘ˆ ∈ NrmCVec
1412cnnvba 30502 . . . 4 β„‚ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
1512cnnvg 30501 . . . 4 + = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
1612cnnvs 30503 . . . 4 Β· = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
17 eqid 2728 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
1814, 15, 16, 17nvmfval 30467 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ + (-1 Β· 𝑦))))
1913, 18ax-mp 5 . 2 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)))
206, 11, 193eqtr4i 2766 1 βˆ’ = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5676   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  β„‚cc 11137  1c1 11140   + caddc 11142   Β· cmul 11144   βˆ’ cmin 11475  -cneg 11476  abscabs 15214  NrmCVeccnv 30407   βˆ’π‘£ cnsb 30412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ginv 30318  df-gdiv 30319  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-vs 30422  df-nmcv 30423
This theorem is referenced by:  cnims  30516
  Copyright terms: Public domain W3C validator