Theorem cnnvm 28230

Description: The vector subtraction operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvm.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvm	⊢ − = ( −𝑣 ‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1 10878	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
2	1	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
3	2	oveq2d 6990	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
4		negsub 10731	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
5	3, 4	eqtr2d 2812	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
6	5	mpoeq3ia 7048	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
7		subf 10684	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8		ffn 6342	. . . 4 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
10		fnov 7096	. . 3 ⊢ ( − Fn (ℂ × ℂ) ↔ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)))
11	9, 10	mpbi 222	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦))
12		cnnvm.6	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
13	12	cnnv 28225	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
14	12	cnnvba 28227	. . . 4 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)
15	12	cnnvg 28226	. . . 4 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝑈)
16	12	cnnvs 28228	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17		eqid 2775	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
18	14, 15, 16, 17	nvmfval 28192	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦))))
19	13, 18	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
20	6, 11, 19	3eqtr4i 2809	1 ⊢ − = ( −𝑣 ‘𝑈)

Syntax hints:   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ⟨cop 4445   × cxp 5402   Fn wfn 6181  ⟶wf 6182  ‘cfv 6186  (class class class)co 6974   ∈ cmpo 6976  ℂcc 10329  1c1 10332   + caddc 10334   · cmul 10336   − cmin 10666  -cneg 10667  abscabs 14448  NrmCVeccnv 28132   −_𝑣 cnsb 28137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409  ax-addf 10410  ax-mulf 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-er 8085  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-sup 8697  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-n0 11705  df-z 11791  df-uz 12056  df-rp 12202  df-seq 13182  df-exp 13242  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-grpo 28041  df-gid 28042  df-ginv 28043  df-gdiv 28044  df-ablo 28093  df-vc 28107  df-nv 28140  df-va 28143  df-ba 28144  df-sm 28145  df-0v 28146  df-vs 28147  df-nmcv 28148

This theorem is referenced by:  cnims  28241