Theorem elimph 30806

Description: Hypothesis elimination lemma for complex inner product spaces to assist weak deduction theorem. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
elimph.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
elimph.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
elimph.6	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
elimph	⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Proof of Theorem elimph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimph.1	. 2 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		elimph.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3		elimph.6	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 30802	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5	1, 2, 4	elimnv 30669	1 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4505  ‘cfv 6536  BaseSetcba 30572  0_veccn0v 30574  CPreHil_OLDccphlo 30798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-grpo 30479  df-gid 30480  df-ablo 30531  df-vc 30545  df-nv 30578  df-va 30581  df-ba 30582  df-sm 30583  df-0v 30584  df-nmcv 30586  df-ph 30799

This theorem is referenced by:  ipdiri  30816  ipassi  30827  sii  30840