Theorem elimph 30795

Description: Hypothesis elimination lemma for complex inner product spaces to assist weak deduction theorem. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
elimph.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
elimph.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
elimph.6	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
elimph	⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Proof of Theorem elimph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimph.1	. 2 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		elimph.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3		elimph.6	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 30791	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5	1, 2, 4	elimnv 30658	1 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4475  ‘cfv 6481  BaseSetcba 30561  0_veccn0v 30563  CPreHil_OLDccphlo 30787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-grpo 30468  df-gid 30469  df-ablo 30520  df-vc 30534  df-nv 30567  df-va 30570  df-ba 30571  df-sm 30572  df-0v 30573  df-nmcv 30575  df-ph 30788

This theorem is referenced by:  ipdiri  30805  ipassi  30816  sii  30829