Theorem elimph 31301

Description: Hypothesis elimination lemma for complex inner product spaces to assist weak deduction theorem. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
elimph.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
elimph.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
elimph.6	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
elimph	⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

Proof of Theorem elimph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimph.1	. 2 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		elimph.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3		elimph.6	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 31297	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5	1, 2, 4	elimnv 31164	1 ⊢ if(𝐴 ∈ 𝑋, 𝐴, 𝑍) ∈ 𝑋

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  ‘cfv 6533  BaseSetcba 31067  0_veccn0v 31069  CPreHil_OLDccphlo 31293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-grpo 30974  df-gid 30975  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-sm 31078  df-0v 31079  df-nmcv 31081  df-ph 31294

This theorem is used by:  ipdiri  31311  ipassi  31322  sii  31335