MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliooxr 13276
Description: A nonempty open interval spans an interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
eliooxr (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))

Proof of Theorem eliooxr
StepHypRef Expression
1 ne0i 4292 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵(,)𝐶) ≠ ∅)
2 ndmioo 13245 . . 3 (¬ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) = ∅)
32necon1ai 2969 . 2 ((𝐵(,)𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
41, 3syl 17 1 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wne 2941  c0 4280  (class class class)co 7351  *cxr 11146  (,)cioo 13218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-xr 11151  df-ioo 13222
This theorem is referenced by:  eliooord  13277  elioo4g  13278  ioorebas  13322  tgioo  24110  ioorcl2  24887  ioorinv2  24890  fct2relem  33013  iooelexlt  35764
  Copyright terms: Public domain W3C validator