Theorem eliooxr 13460

Description: A nonempty open interval spans an interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eliooxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))

Proof of Theorem eliooxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵(,)𝐶) ≠ ∅)
2		ndmioo 13428	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) = ∅)
3	2	necon1ai 2982	. 2 ⊢ ((𝐵(,)𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11269  (,)cioo 13401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-xr 11274  df-ioo 13405

This theorem is used by:  eliooord  13461  elioo4g  13462  ioorebas  13507  tgioo  25025  ioorcl2  25803  ioorinv2  25806  fct2relem  35108  iooelexlt  38119