Theorem eliooxr 13352

Description: A nonempty open interval spans an interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eliooxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))

Proof of Theorem eliooxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵(,)𝐶) ≠ ∅)
2		ndmioo 13320	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) = ∅)
3	2	necon1ai 2963	. 2 ⊢ ((𝐵(,)𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∅c0 4264  (class class class)co 7360  ℝ^*cxr 11173  (,)cioo 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-xr 11178  df-ioo 13297

This theorem is referenced by:  eliooord  13353  elioo4g  13354  ioorebas  13399  tgioo  24783  ioorcl2  25561  ioorinv2  25564  fct2relem  34793  iooelexlt  37739