Theorem eliooxr 13431

Description: A nonempty open interval spans an interval of extended reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eliooxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))

Proof of Theorem eliooxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4302	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵(,)𝐶) ≠ ∅)
2		ndmioo 13399	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) = ∅)
3	2	necon1ai 2991	. 2 ⊢ ((𝐵(,)𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294  (class class class)co 7411  ℝ^*cxr 11242  (,)cioo 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-xr 11247  df-ioo 13376

This theorem is referenced by:  eliooord  13432  elioo4g  13433  ioorebas  13478  tgioo  24922  ioorcl2  25700  ioorinv2  25703  fct2relem  34929  iooelexlt  37930