MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv2 25524
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv2 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ioorinv2
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorebas 13468 . . 3 (𝐴(,)𝐡) ∈ ran (,)
2 ioorf.1 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
32ioorval 25523 . . 3 ((𝐴(,)𝐡) ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩))
41, 3ax-mp 5 . 2 (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩)
5 ifnefalse 4544 . . 3 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩) = ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩)
6 n0 4350 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
7 eliooxr 13422 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
87exlimiv 1925 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
96, 8sylbi 216 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
109simpld 493 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
119simprd 494 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
12 id 22 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…)
13 df-ioo 13368 . . . . . 6 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
14 idd 24 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 < 𝐡 β†’ 𝑀 < 𝐡))
15 xrltle 13168 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 < 𝐡 β†’ 𝑀 ≀ 𝐡))
16 idd 24 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝑀 β†’ 𝐴 < 𝑀))
17 xrltle 13168 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝑀 β†’ 𝐴 ≀ 𝑀))
1813, 14, 15, 16, 17ixxlb 13386 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…) β†’ inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐴)
1910, 11, 12, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐴)
2013, 14, 15, 16, 17ixxub 13385 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…) β†’ sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐡)
2110, 11, 12, 20syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐡)
2219, 21opeq12d 4886 . . 3 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩ = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
235, 22eqtrd 2768 . 2 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
244, 23eqtrid 2780 1 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4326  ifcif 4532  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9471  infcinf 9472  0cc0 11146  β„*cxr 11285   < clt 11286  (,)cioo 13364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-ioo 13368
This theorem is referenced by:  ioorinv  25525  ioorcl  25526
  Copyright terms: Public domain W3C validator