Theorem ioorinv2 25715

Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorinv2	⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv2

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorebas 13479	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
2		ioorf.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
3	2	ioorval 25714	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,) → (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩)
5		ifnefalse 4500	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩) = ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩)
6		n0 4308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
7		eliooxr 13432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
8	7	exlimiv 1960	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
9	6, 8	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
10	9	simpld 499	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	9	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		id 23	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
13		df-ioo 13377	. . . . . 6 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
14		idd 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 < 𝐵))
15		xrltle 13175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
16		idd 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 < 𝑤))
17		xrltle 13175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
18	13, 14, 15, 16, 17	ixxlb 13395	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
19	10, 11, 12, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
20	13, 14, 15, 16, 17	ixxub 13394	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
21	10, 11, 12, 20	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
22	19, 21	opeq12d 4847	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
23	5, 22	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
24	4, 23	eqtrid 2810	1 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287  ifcif 4488  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  supcsup 9401  infcinf 9402  0cc0 11101  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-ioo 13377

This theorem is referenced by:  ioorinv  25716  ioorcl  25717