MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv2 24962
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv2 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ioorinv2
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorebas 13377 . . 3 (𝐴(,)𝐡) ∈ ran (,)
2 ioorf.1 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
32ioorval 24961 . . 3 ((𝐴(,)𝐡) ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩))
41, 3ax-mp 5 . 2 (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩)
5 ifnefalse 4502 . . 3 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩) = ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩)
6 n0 4310 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
7 eliooxr 13331 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
87exlimiv 1934 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
96, 8sylbi 216 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
109simpld 496 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
119simprd 497 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
12 id 22 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…)
13 df-ioo 13277 . . . . . 6 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
14 idd 24 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 < 𝐡 β†’ 𝑀 < 𝐡))
15 xrltle 13077 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 < 𝐡 β†’ 𝑀 ≀ 𝐡))
16 idd 24 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝑀 β†’ 𝐴 < 𝑀))
17 xrltle 13077 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝑀 β†’ 𝐴 ≀ 𝑀))
1813, 14, 15, 16, 17ixxlb 13295 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…) β†’ inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐴)
1910, 11, 12, 18syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐴)
2013, 14, 15, 16, 17ixxub 13294 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…) β†’ sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐡)
2110, 11, 12, 20syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐡)
2219, 21opeq12d 4842 . . 3 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩ = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
235, 22eqtrd 2773 . 2 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
244, 23eqtrid 2785 1 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  infcinf 9385  0cc0 11059  β„*cxr 11196   < clt 11197  (,)cioo 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-ioo 13277
This theorem is referenced by:  ioorinv  24963  ioorcl  24964
  Copyright terms: Public domain W3C validator