Theorem ioorinv2 25457

Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorinv2	⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ioorinv2

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorebas 13342	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
2		ioorf.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
3	2	ioorval 25456	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,) → (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩)
5		ifnefalse 4484	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩) = ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩)
6		n0 4300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
7		eliooxr 13295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
8	7	exlimiv 1930	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
9	6, 8	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
10	9	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	9	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
13		df-ioo 13240	. . . . . 6 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
14		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 < 𝐵))
15		xrltle 13039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
16		idd 24	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 < 𝑤))
17		xrltle 13039	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
18	13, 14, 15, 16, 17	ixxlb 13258	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
19	10, 11, 12, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐴)
20	13, 14, 15, 16, 17	ixxub 13257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅) → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
21	10, 11, 12, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ) = 𝐵)
22	19, 21	opeq12d 4830	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
23	5, 22	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → if((𝐴(,)𝐵) = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐵), ℝ*, < )⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
24	4, 23	eqtrid 2776	1 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐹‘(𝐴(,)𝐵)) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4280  ifcif 4472  ⟨cop 4579   class class class wbr 5088   ↦ cmpt 5169  ran crn 5614  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  supcsup 9318  infcinf 9319  0cc0 10997  ℝ^*cxr 11136   < clt 11137  (,)cioo 13236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-q 12838  df-ioo 13240

This theorem is referenced by:  ioorinv  25458  ioorcl  25459