MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorinv2 25454
Description: The function 𝐹 is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorinv2 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem ioorinv2
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorebas 13431 . . 3 (𝐴(,)𝐡) ∈ ran (,)
2 ioorf.1 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ ran (,) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(π‘₯, ℝ*, < ), sup(π‘₯, ℝ*, < )⟩))
32ioorval 25453 . . 3 ((𝐴(,)𝐡) ∈ ran (,) β†’ (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩))
41, 3ax-mp 5 . 2 (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩)
5 ifnefalse 4535 . . 3 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩) = ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩)
6 n0 4341 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
7 eliooxr 13385 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
87exlimiv 1925 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
96, 8sylbi 216 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
109simpld 494 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
119simprd 495 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
12 id 22 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…)
13 df-ioo 13331 . . . . . 6 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
14 idd 24 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 < 𝐡 β†’ 𝑀 < 𝐡))
15 xrltle 13131 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 < 𝐡 β†’ 𝑀 ≀ 𝐡))
16 idd 24 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝑀 β†’ 𝐴 < 𝑀))
17 xrltle 13131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝑀 β†’ 𝐴 ≀ 𝑀))
1813, 14, 15, 16, 17ixxlb 13349 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…) β†’ inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐴)
1910, 11, 12, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐴)
2013, 14, 15, 16, 17ixxub 13348 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…) β†’ sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐡)
2110, 11, 12, 20syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ) = 𝐡)
2219, 21opeq12d 4876 . . 3 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩ = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
235, 22eqtrd 2766 . 2 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ if((𝐴(,)𝐡) = βˆ…, ⟨0, 0⟩, ⟨inf((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < ), sup((𝐴(,)𝐡), ℝ*, < )⟩) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
244, 23eqtrid 2778 1 ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… β†’ (πΉβ€˜(𝐴(,)𝐡)) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  supcsup 9434  infcinf 9435  0cc0 11109  β„*cxr 11248   < clt 11249  (,)cioo 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-ioo 13331
This theorem is referenced by:  ioorinv  25455  ioorcl  25456
  Copyright terms: Public domain W3C validator