Theorem ndmioo 13370

Description: The open interval function's value is empty outside of its domain. (Contributed by NM, 21-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ndmioo	⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmioo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13347	. . . 4 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	ixxf 13353	. . 3 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
3	2	fdmi 6698	. 2 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
4	3	ndmov 7575	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552   × cxp 5641  (class class class)co 7391  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210  (,)cioo 13343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-xr 11214  df-ioo 13347

This theorem is referenced by:  iooid  13371  eliooxr  13402  iccssioo2  13417  ioombl  25615  mbfima  25680  dvferm1lem  26034  dvferm2lem  26036  dvferm  26038  dvivthlem1  26058