Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fct2relem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fct2relem 31942
Description: Lemma for ftc2re 31943. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2re.e 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
ftc2re.a (𝜑𝐴𝐸)
ftc2re.b (𝜑𝐵𝐸)
Assertion
Ref Expression
fct2relem (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem fct2relem
StepHypRef Expression
1 ftc2re.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐸)
2 ftc2re.e . . . . . 6 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
31, 2eleqtrdi 2924 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷))
4 eliooxr 12783 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*))
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*))
65simpld 498 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
75simprd 499 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
8 eliooord 12784 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐴𝐴 < 𝐷))
93, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 < 𝐴𝐴 < 𝐷))
109simpld 498 . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐴)
11 ftc2re.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐸)
1211, 2eleqtrdi 2924 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷))
13 eliooord 12784 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐷))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐷))
1514simprd 499 . . 3 (𝜑𝐵 < 𝐷)
16 iccssioo 12794 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 < 𝐴𝐵 < 𝐷)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
176, 7, 10, 15, 16syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
1817, 2sseqtrrdi 3993 1 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wss 3908   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  *cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12730  df-icc 12733
This theorem is referenced by:  ftc2re  31943  fdvposlt  31944  fdvneggt  31945  fdvposle  31946  fdvnegge  31947  logdivsqrle  31995
  Copyright terms: Public domain W3C validator