Theorem fct2relem 31978

Description: Lemma for ftc2re 31979. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc2re.e	⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
ftc2re.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
ftc2re.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fct2relem	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem fct2relem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc2re.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
2		ftc2re.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
3	1, 2	eleqtrdi 2900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷))
4		eliooxr 12783	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*))
6	5	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	5	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
8		eliooord 12784	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷))
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷))
10	9	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐴)
11		ftc2re.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12	11, 2	eleqtrdi 2900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷))
13		eliooord 12784	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐷))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐷))
15	14	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
16		iccssioo 12794	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
17	6, 7, 10, 15, 16	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
18	17, 2	sseqtrrdi 3966	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12730  df-icc 12733

This theorem is referenced by:  ftc2re  31979  fdvposlt  31980  fdvneggt  31981  fdvposle  31982  fdvnegge  31983  logdivsqrle  32031