Theorem fct2relem 34756

Description: Lemma for ftc2re 34757. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc2re.e	⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
ftc2re.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
ftc2re.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fct2relem	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem fct2relem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc2re.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
2		ftc2re.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
3	1, 2	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷))
4		eliooxr 13324	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*))
6	5	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
8		eliooord 13325	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷))
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷))
10	9	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐴)
11		ftc2re.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12	11, 2	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷))
13		eliooord 13325	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐷))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐷))
15	14	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
16		iccssioo 13335	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
17	6, 7, 10, 15, 16	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
18	17, 2	sseqtrrdi 3976	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  (,)cioo 13265  [,]cicc 13268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13269  df-icc 13272

This theorem is referenced by:  ftc2re  34757  fdvposlt  34758  fdvneggt  34759  fdvposle  34760  fdvnegge  34761  logdivsqrle  34809