Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fct2relem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fct2relem 34229
Description: Lemma for ftc2re 34230. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2re.e 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
ftc2re.a (𝜑𝐴𝐸)
ftc2re.b (𝜑𝐵𝐸)
Assertion
Ref Expression
fct2relem (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem fct2relem
StepHypRef Expression
1 ftc2re.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐸)
2 ftc2re.e . . . . . 6 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
31, 2eleqtrdi 2839 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷))
4 eliooxr 13414 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*))
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*))
65simpld 494 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
75simprd 495 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
8 eliooord 13415 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐴𝐴 < 𝐷))
93, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 < 𝐴𝐴 < 𝐷))
109simpld 494 . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐴)
11 ftc2re.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐸)
1211, 2eleqtrdi 2839 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷))
13 eliooord 13415 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐷))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐷))
1514simprd 495 . . 3 (𝜑𝐵 < 𝐷)
16 iccssioo 13425 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 < 𝐴𝐵 < 𝐷)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
176, 7, 10, 15, 16syl22anc 838 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
1817, 2sseqtrrdi 4031 1 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  *cxr 11277   < clt 11278  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-ioo 13360  df-icc 13363
This theorem is referenced by:  ftc2re  34230  fdvposlt  34231  fdvneggt  34232  fdvposle  34233  fdvnegge  34234  logdivsqrle  34282
  Copyright terms: Public domain W3C validator