Theorem fct2relem 34790

Description: Lemma for ftc2re 34791. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc2re.e	⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
ftc2re.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
ftc2re.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fct2relem	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem fct2relem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc2re.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
2		ftc2re.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
3	1, 2	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷))
4		eliooxr 13349	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*))
6	5	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	5	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
8		eliooord 13350	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷))
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷))
10	9	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐴)
11		ftc2re.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12	11, 2	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷))
13		eliooord 13350	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐷))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐷))
15	14	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
16		iccssioo 13360	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
17	6, 7, 10, 15, 16	syl22anc 844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
18	17, 2	sseqtrrdi 3956	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171  (,)cioo 13290  [,]cicc 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-ioo 13294  df-icc 13297

This theorem is referenced by:  ftc2re  34791  fdvposlt  34792  fdvneggt  34793  fdvposle  34794  fdvnegge  34795  logdivsqrle  34843