Theorem fct2relem 35226

Description: Lemma for ftc2re 35227. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc2re.e	⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
ftc2re.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
ftc2re.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
fct2relem	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem fct2relem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc2re.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
2		ftc2re.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
3	1, 2	eleqtrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷))
4		eliooxr 13535	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*))
6	5	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	5	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
8		eliooord 13536	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷))
9	3, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷))
10	9	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐴)
11		ftc2re.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
12	11, 2	eleqtrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷))
13		eliooord 13536	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐷))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐷))
15	14	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
16		iccssioo 13546	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 < 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
17	6, 7, 10, 15, 16	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
18	17, 2	sseqtrrdi 3972	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343  (,)cioo 13476  [,]cicc 13479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-ioo 13480  df-icc 13483

This theorem is used by:  ftc2re  35227  fdvposlt  35228  fdvneggt  35229  fdvposle  35230  fdvnegge  35231  logdivsqrle  35279