Theorem eliooord 13411

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13410	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13392	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  ℝ^*cxr 11217   < clt 11218  (,)cioo 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-ioo 13355

This theorem is referenced by:  elioo4g  13412  iccssioo2  13425  qdensere  24831  zcld  24876  reconnlem2  24890  xrge0tsms  24897  ovolioo  25632  ioorcl2  25636  itgsplitioo  25902  dvferm1lem  26048  dvferm2lem  26050  dvferm  26052  dvlt0  26069  dvivthlem1  26072  lhop1lem  26077  lhop1  26078  lhop2  26079  dvcvx  26084  ftc1lem4  26103  itgsubstlem  26112  itgsubst  26113  pilem2  26517  pilem3  26518  pigt2lt4  26519  tangtx  26572  tanabsge  26573  cosne0  26596  cos0pilt1  26599  tanord  26605  tanregt0  26606  argimlt0  26680  logneg2  26682  divlogrlim  26702  logno1  26703  logcnlem3  26711  dvloglem  26715  logf1o2  26717  loglesqrt  26828  asinsin  26959  acoscos  26960  atanlogaddlem  26980  atanlogsub  26983  atantan  26990  atanbndlem  26992  scvxcvx  27052  lgamgulmlem2  27096  basellem8  27154  vmalogdivsum2  27604  vmalogdivsum  27605  2vmadivsumlem  27606  chpdifbndlem1  27619  selberg3lem1  27623  selberg3  27625  selberg4lem1  27626  selberg4  27627  selberg3r  27635  selberg4r  27636  selberg34r  27637  pntrlog2bndlem1  27643  pntrlog2bndlem2  27644  pntrlog2bndlem3  27645  pntrlog2bndlem4  27646  pntrlog2bndlem5  27647  pntrlog2bndlem6a  27648  pntrlog2bndlem6  27649  pntrlog2bnd  27650  pntpbnd1a  27651  pntpbnd1  27652  pntpbnd2  27653  pntpbnd  27654  pntibndlem2  27657  pntibndlem3  27658  pntibnd  27659  pntlemd  27660  pntlemb  27663  pntlemr  27668  pnt  27680  padicabv  27696  xrge0tsmsd  33255  fct2relem  34893  logdivsqrle  34946  knoppndvlem3  36957  iooelexlt  37861  relowlssretop  37862  poimir  38157  itg2gt0cn  38179  ftc1cnnclem  38195  aks4d1p1p5  42697  radcnvrat  44895  cncfiooicclem1  46472  itgioocnicc  46556  iblcncfioo  46557  amgmwlem  50428