Theorem eliooord 13323

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13322	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13304	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  (,)cioo 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioo 13267

This theorem is referenced by:  elioo4g  13324  iccssioo2  13337  qdensere  24715  zcld  24760  reconnlem2  24774  xrge0tsms  24781  ovolioo  25527  ioorcl2  25531  itgsplitioo  25797  dvferm1lem  25946  dvferm2lem  25948  dvferm  25950  dvlt0  25968  dvivthlem1  25971  lhop1lem  25976  lhop1  25977  lhop2  25978  dvcvx  25983  ftc1lem4  26004  itgsubstlem  26013  itgsubst  26014  pilem2  26420  pilem3  26421  pigt2lt4  26422  tangtx  26472  tanabsge  26473  cosne0  26496  cos0pilt1  26499  tanord  26505  tanregt0  26506  argimlt0  26580  logneg2  26582  divlogrlim  26602  logno1  26603  logcnlem3  26611  dvloglem  26615  logf1o2  26617  loglesqrt  26729  asinsin  26860  acoscos  26861  atanlogaddlem  26881  atanlogsub  26884  atantan  26891  atanbndlem  26893  scvxcvx  26954  lgamgulmlem2  26998  basellem8  27056  vmalogdivsum2  27507  vmalogdivsum  27508  2vmadivsumlem  27509  chpdifbndlem1  27522  selberg3lem1  27526  selberg3  27528  selberg4lem1  27529  selberg4  27530  selberg3r  27538  selberg4r  27539  selberg34r  27540  pntrlog2bndlem1  27546  pntrlog2bndlem2  27547  pntrlog2bndlem3  27548  pntrlog2bndlem4  27549  pntrlog2bndlem5  27550  pntrlog2bndlem6a  27551  pntrlog2bndlem6  27552  pntrlog2bnd  27553  pntpbnd1a  27554  pntpbnd1  27555  pntpbnd2  27556  pntpbnd  27557  pntibndlem2  27560  pntibndlem3  27561  pntibnd  27562  pntlemd  27563  pntlemb  27566  pntlemr  27571  pnt  27583  padicabv  27599  xrge0tsmsd  33134  fct2relem  34733  logdivsqrle  34786  knoppndvlem3  36687  iooelexlt  37536  relowlssretop  37537  poimir  37823  itg2gt0cn  37845  ftc1cnnclem  37861  aks4d1p1p5  42364  radcnvrat  44592  cncfiooicclem1  46174  itgioocnicc  46258  iblcncfioo  46259  amgmwlem  50084