Theorem eliooord 13442

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13424	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292  (,)cioo 13383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ioo 13387

This theorem is referenced by:  elioo4g  13443  iccssioo2  13456  qdensere  24805  zcld  24848  reconnlem2  24862  xrge0tsms  24869  ovolioo  25616  ioorcl2  25620  itgsplitioo  25887  dvferm1lem  26036  dvferm2lem  26038  dvferm  26040  dvlt0  26058  dvivthlem1  26061  lhop1lem  26066  lhop1  26067  lhop2  26068  dvcvx  26073  ftc1lem4  26094  itgsubstlem  26103  itgsubst  26104  pilem2  26510  pilem3  26511  pigt2lt4  26512  tangtx  26561  tanabsge  26562  cosne0  26585  cos0pilt1  26588  tanord  26594  tanregt0  26595  argimlt0  26669  logneg2  26671  divlogrlim  26691  logno1  26692  logcnlem3  26700  dvloglem  26704  logf1o2  26706  loglesqrt  26818  asinsin  26949  acoscos  26950  atanlogaddlem  26970  atanlogsub  26973  atantan  26980  atanbndlem  26982  scvxcvx  27043  lgamgulmlem2  27087  basellem8  27145  vmalogdivsum2  27596  vmalogdivsum  27597  2vmadivsumlem  27598  chpdifbndlem1  27611  selberg3lem1  27615  selberg3  27617  selberg4lem1  27618  selberg4  27619  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntrlog2bndlem1  27635  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6a  27640  pntrlog2bndlem6  27641  pntrlog2bnd  27642  pntpbnd1a  27643  pntpbnd1  27644  pntpbnd2  27645  pntpbnd  27646  pntibndlem2  27649  pntibndlem3  27650  pntibnd  27651  pntlemd  27652  pntlemb  27655  pntlemr  27660  pnt  27672  padicabv  27688  xrge0tsmsd  33047  fct2relem  34590  logdivsqrle  34643  knoppndvlem3  36496  iooelexlt  37344  relowlssretop  37345  poimir  37639  itg2gt0cn  37661  ftc1cnnclem  37677  aks4d1p1p5  42056  radcnvrat  44309  cncfiooicclem1  45848  itgioocnicc  45932  iblcncfioo  45933  amgmwlem  49032