Theorem eliooord 12788

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 12787	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 12771	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  ℝ^*cxr 10666   < clt 10667  (,)cioo 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12734

This theorem is referenced by:  elioo4g  12789  iccssioo2  12801  qdensere  23370  zcld  23413  reconnlem2  23427  xrge0tsms  23434  ovolioo  24161  ioorcl2  24165  itgsplitioo  24430  dvferm1lem  24573  dvferm2lem  24575  dvferm  24577  dvlt0  24594  dvivthlem1  24597  lhop1lem  24602  lhop1  24603  lhop2  24604  dvcvx  24609  ftc1lem4  24628  itgsubstlem  24637  itgsubst  24638  pilem2  25032  pilem3  25033  pigt2lt4  25034  tangtx  25083  tanabsge  25084  cosne0  25106  tanord  25114  tanregt0  25115  argimlt0  25188  logneg2  25190  divlogrlim  25210  logno1  25211  logcnlem3  25219  dvloglem  25223  logf1o2  25225  loglesqrt  25331  asinsin  25462  acoscos  25463  atanlogaddlem  25483  atanlogsub  25486  atantan  25493  atanbndlem  25495  scvxcvx  25555  lgamgulmlem2  25599  basellem8  25657  vmalogdivsum2  26106  vmalogdivsum  26107  2vmadivsumlem  26108  chpdifbndlem1  26121  selberg3lem1  26125  selberg3  26127  selberg4lem1  26128  selberg4  26129  selberg3r  26137  selberg4r  26138  selberg34r  26139  pntrlog2bndlem1  26145  pntrlog2bndlem2  26146  pntrlog2bndlem3  26147  pntrlog2bndlem4  26148  pntrlog2bndlem5  26149  pntrlog2bndlem6a  26150  pntrlog2bndlem6  26151  pntrlog2bnd  26152  pntpbnd1a  26153  pntpbnd1  26154  pntpbnd2  26155  pntpbnd  26156  pntibndlem2  26159  pntibndlem3  26160  pntibnd  26161  pntlemd  26162  pntlemb  26165  pntlemr  26170  pnt  26182  padicabv  26198  xrge0tsmsd  30685  fct2relem  31861  logdivsqrle  31914  knoppndvlem3  33846  iooelexlt  34635  relowlssretop  34636  poimir  34917  itg2gt0cn  34939  ftc1cnnclem  34957  radcnvrat  40636  cncfiooicclem1  42165  itgioocnicc  42251  iblcncfioo  42252  amgmwlem  44893