Theorem eliooord 13353

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13334	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1157	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174  (,)cioo 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-ioo 13297

This theorem is referenced by:  elioo4g  13354  iccssioo2  13367  qdensere  24756  zcld  24801  reconnlem2  24815  xrge0tsms  24822  ovolioo  25557  ioorcl2  25561  itgsplitioo  25827  dvferm1lem  25973  dvferm2lem  25975  dvferm  25977  dvlt0  25994  dvivthlem1  25997  lhop1lem  26002  lhop1  26003  lhop2  26004  dvcvx  26009  ftc1lem4  26028  itgsubstlem  26037  itgsubst  26038  pilem2  26439  pilem3  26440  pigt2lt4  26441  tangtx  26491  tanabsge  26492  cosne0  26515  cos0pilt1  26518  tanord  26524  tanregt0  26525  argimlt0  26599  logneg2  26601  divlogrlim  26621  logno1  26622  logcnlem3  26630  dvloglem  26634  logf1o2  26636  loglesqrt  26747  asinsin  26878  acoscos  26879  atanlogaddlem  26899  atanlogsub  26902  atantan  26909  atanbndlem  26911  scvxcvx  26971  lgamgulmlem2  27015  basellem8  27073  vmalogdivsum2  27523  vmalogdivsum  27524  2vmadivsumlem  27525  chpdifbndlem1  27538  selberg3lem1  27542  selberg3  27544  selberg4lem1  27545  selberg4  27546  selberg3r  27554  selberg4r  27555  selberg34r  27556  pntrlog2bndlem1  27562  pntrlog2bndlem2  27563  pntrlog2bndlem3  27564  pntrlog2bndlem4  27565  pntrlog2bndlem5  27566  pntrlog2bndlem6a  27567  pntrlog2bndlem6  27568  pntrlog2bnd  27569  pntpbnd1a  27570  pntpbnd1  27571  pntpbnd2  27572  pntpbnd  27573  pntibndlem2  27576  pntibndlem3  27577  pntibnd  27578  pntlemd  27579  pntlemb  27582  pntlemr  27587  pnt  27599  padicabv  27615  xrge0tsmsd  33158  fct2relem  34793  logdivsqrle  34846  knoppndvlem3  36835  iooelexlt  37739  relowlssretop  37740  poimir  38035  itg2gt0cn  38057  ftc1cnnclem  38073  aks4d1p1p5  42575  radcnvrat  44773  cncfiooicclem1  46350  itgioocnicc  46434  iblcncfioo  46435  amgmwlem  50306