Theorem eliooord 13379

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13378	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13361	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 266	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13324

This theorem is referenced by:  elioo4g  13380  iccssioo2  13393  qdensere  24277  zcld  24320  reconnlem2  24334  xrge0tsms  24341  ovolioo  25076  ioorcl2  25080  itgsplitioo  25346  dvferm1lem  25492  dvferm2lem  25494  dvferm  25496  dvlt0  25513  dvivthlem1  25516  lhop1lem  25521  lhop1  25522  lhop2  25523  dvcvx  25528  ftc1lem4  25547  itgsubstlem  25556  itgsubst  25557  pilem2  25955  pilem3  25956  pigt2lt4  25957  tangtx  26006  tanabsge  26007  cosne0  26029  cos0pilt1  26032  tanord  26038  tanregt0  26039  argimlt0  26112  logneg2  26114  divlogrlim  26134  logno1  26135  logcnlem3  26143  dvloglem  26147  logf1o2  26149  loglesqrt  26255  asinsin  26386  acoscos  26387  atanlogaddlem  26407  atanlogsub  26410  atantan  26417  atanbndlem  26419  scvxcvx  26479  lgamgulmlem2  26523  basellem8  26581  vmalogdivsum2  27030  vmalogdivsum  27031  2vmadivsumlem  27032  chpdifbndlem1  27045  selberg3lem1  27049  selberg3  27051  selberg4lem1  27052  selberg4  27053  selberg3r  27061  selberg4r  27062  selberg34r  27063  pntrlog2bndlem1  27069  pntrlog2bndlem2  27070  pntrlog2bndlem3  27071  pntrlog2bndlem4  27072  pntrlog2bndlem5  27073  pntrlog2bndlem6a  27074  pntrlog2bndlem6  27075  pntrlog2bnd  27076  pntpbnd1a  27077  pntpbnd1  27078  pntpbnd2  27079  pntpbnd  27080  pntibndlem2  27083  pntibndlem3  27084  pntibnd  27085  pntlemd  27086  pntlemb  27089  pntlemr  27094  pnt  27106  padicabv  27122  xrge0tsmsd  32196  fct2relem  33597  logdivsqrle  33650  knoppndvlem3  35378  iooelexlt  36231  relowlssretop  36232  poimir  36509  itg2gt0cn  36531  ftc1cnnclem  36547  aks4d1p1p5  40928  radcnvrat  43058  cncfiooicclem1  44595  itgioocnicc  44679  iblcncfioo  44680  amgmwlem  47802