MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliooord 13329
Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliooord (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord
StepHypRef Expression
1 eliooxr 13328 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
2 elioo2 13311 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
43ibi 267 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
5 3simpc 1151 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
64, 5syl 17 1 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11055  *cxr 11193   < clt 11194  (,)cioo 13270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ioo 13274
This theorem is referenced by:  elioo4g  13330  iccssioo2  13343  qdensere  24149  zcld  24192  reconnlem2  24206  xrge0tsms  24213  ovolioo  24948  ioorcl2  24952  itgsplitioo  25218  dvferm1lem  25364  dvferm2lem  25366  dvferm  25368  dvlt0  25385  dvivthlem1  25388  lhop1lem  25393  lhop1  25394  lhop2  25395  dvcvx  25400  ftc1lem4  25419  itgsubstlem  25428  itgsubst  25429  pilem2  25827  pilem3  25828  pigt2lt4  25829  tangtx  25878  tanabsge  25879  cosne0  25901  cos0pilt1  25904  tanord  25910  tanregt0  25911  argimlt0  25984  logneg2  25986  divlogrlim  26006  logno1  26007  logcnlem3  26015  dvloglem  26019  logf1o2  26021  loglesqrt  26127  asinsin  26258  acoscos  26259  atanlogaddlem  26279  atanlogsub  26282  atantan  26289  atanbndlem  26291  scvxcvx  26351  lgamgulmlem2  26395  basellem8  26453  vmalogdivsum2  26902  vmalogdivsum  26903  2vmadivsumlem  26904  chpdifbndlem1  26917  selberg3lem1  26921  selberg3  26923  selberg4lem1  26924  selberg4  26925  selberg3r  26933  selberg4r  26934  selberg34r  26935  pntrlog2bndlem1  26941  pntrlog2bndlem2  26942  pntrlog2bndlem3  26943  pntrlog2bndlem4  26944  pntrlog2bndlem5  26945  pntrlog2bndlem6a  26946  pntrlog2bndlem6  26947  pntrlog2bnd  26948  pntpbnd1a  26949  pntpbnd1  26950  pntpbnd2  26951  pntpbnd  26952  pntibndlem2  26955  pntibndlem3  26956  pntibnd  26957  pntlemd  26958  pntlemb  26961  pntlemr  26966  pnt  26978  padicabv  26994  xrge0tsmsd  31948  fct2relem  33267  logdivsqrle  33320  knoppndvlem3  35023  iooelexlt  35879  relowlssretop  35880  poimir  36157  itg2gt0cn  36179  ftc1cnnclem  36195  aks4d1p1p5  40578  radcnvrat  42682  cncfiooicclem1  44220  itgioocnicc  44304  iblcncfioo  44305  amgmwlem  47335
  Copyright terms: Public domain W3C validator