Theorem eliooord 12994

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 12993	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 12976	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867  (,)cioo 12935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-ioo 12939

This theorem is referenced by:  elioo4g  12995  iccssioo2  13008  qdensere  23667  zcld  23710  reconnlem2  23724  xrge0tsms  23731  ovolioo  24465  ioorcl2  24469  itgsplitioo  24735  dvferm1lem  24881  dvferm2lem  24883  dvferm  24885  dvlt0  24902  dvivthlem1  24905  lhop1lem  24910  lhop1  24911  lhop2  24912  dvcvx  24917  ftc1lem4  24936  itgsubstlem  24945  itgsubst  24946  pilem2  25344  pilem3  25345  pigt2lt4  25346  tangtx  25395  tanabsge  25396  cosne0  25418  cos0pilt1  25421  tanord  25427  tanregt0  25428  argimlt0  25501  logneg2  25503  divlogrlim  25523  logno1  25524  logcnlem3  25532  dvloglem  25536  logf1o2  25538  loglesqrt  25644  asinsin  25775  acoscos  25776  atanlogaddlem  25796  atanlogsub  25799  atantan  25806  atanbndlem  25808  scvxcvx  25868  lgamgulmlem2  25912  basellem8  25970  vmalogdivsum2  26419  vmalogdivsum  26420  2vmadivsumlem  26421  chpdifbndlem1  26434  selberg3lem1  26438  selberg3  26440  selberg4lem1  26441  selberg4  26442  selberg3r  26450  selberg4r  26451  selberg34r  26452  pntrlog2bndlem1  26458  pntrlog2bndlem2  26459  pntrlog2bndlem3  26460  pntrlog2bndlem4  26461  pntrlog2bndlem5  26462  pntrlog2bndlem6a  26463  pntrlog2bndlem6  26464  pntrlog2bnd  26465  pntpbnd1a  26466  pntpbnd1  26467  pntpbnd2  26468  pntpbnd  26469  pntibndlem2  26472  pntibndlem3  26473  pntibnd  26474  pntlemd  26475  pntlemb  26478  pntlemr  26483  pnt  26495  padicabv  26511  xrge0tsmsd  31036  fct2relem  32289  logdivsqrle  32342  knoppndvlem3  34431  iooelexlt  35270  relowlssretop  35271  poimir  35547  itg2gt0cn  35569  ftc1cnnclem  35585  aks4d1p1p5  39816  radcnvrat  41605  cncfiooicclem1  43109  itgioocnicc  43193  iblcncfioo  43194  amgmwlem  46177