Theorem eliooord 13560

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13559	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13541	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367  (,)cioo 13500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-ioo 13504

This theorem is used by:  elioo4g  13561  iccssioo2  13574  qdensere  25115  zcld  25160  reconnlem2  25174  xrge0tsms  25181  ovolioo  25916  ioorcl2  25920  itgsplitioo  26185  dvferm1lem  26331  dvferm2lem  26333  dvferm  26335  dvlt0  26352  dvivthlem1  26355  lhop1lem  26360  lhop1  26361  lhop2  26362  dvcvx  26367  ftc1lem4  26386  itgsubstlem  26395  itgsubst  26396  pilem2  26806  pilem3  26807  pigt2lt4  26808  tangtx  26861  tanabsge  26862  cosne0  26884  cos0pilt1  26887  tanord  26893  tanregt0  26894  argimlt0  26968  logneg2  26970  divlogrlim  26990  logno1  26991  logcnlem3  26999  dvloglem  27003  logf1o2  27005  loglesqrt  27116  asinsin  27247  acoscos  27248  atanlogaddlem  27268  atanlogsub  27271  atantan  27278  atanbndlem  27280  scvxcvx  27340  lgamgulmlem2  27384  basellem8  27442  vmalogdivsum2  27892  vmalogdivsum  27893  2vmadivsumlem  27894  chpdifbndlem1  27907  selberg3lem1  27911  selberg3  27913  selberg4lem1  27914  selberg4  27915  selberg3r  27923  selberg4r  27924  selberg34r  27925  pntrlog2bndlem1  27931  pntrlog2bndlem2  27932  pntrlog2bndlem3  27933  pntrlog2bndlem4  27934  pntrlog2bndlem5  27935  pntrlog2bndlem6a  27936  pntrlog2bndlem6  27937  pntrlog2bnd  27938  pntpbnd1a  27939  pntpbnd1  27940  pntpbnd2  27941  pntpbnd  27942  pntibndlem2  27945  pntibndlem3  27946  pntibnd  27947  pntlemd  27948  pntlemb  27951  pntlemr  27956  pnt  27968  padicabv  27984  xrge0tsmsd  33701  fct2relem  35293  logdivsqrle  35346  knoppndvlem3  37557  iooelexlt  38476  relowlssretop  38477  poimir  38762  itg2gt0cn  38784  ftc1cnnclem  38800  aks4d1p1p5  43316  radcnvrat  45488  cncfiooicclem1  47106  itgioocnicc  47190  iblcncfioo  47191  amgmwlem  51265