MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliooord 12786
Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliooord (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord
StepHypRef Expression
1 eliooxr 12785 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
2 elioo2 12769 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
43ibi 268 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
5 3simpc 1142 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
64, 5syl 17 1 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5058  (class class class)co 7145  cr 10525  *cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12732
This theorem is referenced by:  elioo4g  12787  iccssioo2  12799  qdensere  23307  zcld  23350  reconnlem2  23364  xrge0tsms  23371  ovolioo  24098  ioorcl2  24102  itgsplitioo  24367  dvferm1lem  24510  dvferm2lem  24512  dvferm  24514  dvlt0  24531  dvivthlem1  24534  lhop1lem  24539  lhop1  24540  lhop2  24541  dvcvx  24546  ftc1lem4  24565  itgsubstlem  24574  itgsubst  24575  pilem2  24969  pilem3  24970  pigt2lt4  24971  tangtx  25020  tanabsge  25021  cosne0  25041  tanord  25049  tanregt0  25050  argimlt0  25123  logneg2  25125  divlogrlim  25145  logno1  25146  logcnlem3  25154  dvloglem  25158  logf1o2  25160  loglesqrt  25266  asinsin  25397  acoscos  25398  atanlogaddlem  25418  atanlogsub  25421  atantan  25428  atanbndlem  25430  scvxcvx  25491  lgamgulmlem2  25535  basellem8  25593  vmalogdivsum2  26042  vmalogdivsum  26043  2vmadivsumlem  26044  chpdifbndlem1  26057  selberg3lem1  26061  selberg3  26063  selberg4lem1  26064  selberg4  26065  selberg3r  26073  selberg4r  26074  selberg34r  26075  pntrlog2bndlem1  26081  pntrlog2bndlem2  26082  pntrlog2bndlem3  26083  pntrlog2bndlem4  26084  pntrlog2bndlem5  26085  pntrlog2bndlem6a  26086  pntrlog2bndlem6  26087  pntrlog2bnd  26088  pntpbnd1a  26089  pntpbnd1  26090  pntpbnd2  26091  pntpbnd  26092  pntibndlem2  26095  pntibndlem3  26096  pntibnd  26097  pntlemd  26098  pntlemb  26101  pntlemr  26106  pnt  26118  padicabv  26134  xrge0tsmsd  30620  fct2relem  31768  logdivsqrle  31821  knoppndvlem3  33751  iooelexlt  34526  relowlssretop  34527  poimir  34807  itg2gt0cn  34829  ftc1cnnclem  34847  radcnvrat  40526  cncfiooicclem1  42056  itgioocnicc  42142  iblcncfioo  42143  amgmwlem  44801
  Copyright terms: Public domain W3C validator