Theorem eliooord 13420

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13401	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  (,)cioo 13360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ioo 13364

This theorem is referenced by:  elioo4g  13421  iccssioo2  13434  qdensere  24706  zcld  24751  reconnlem2  24765  xrge0tsms  24772  ovolioo  25519  ioorcl2  25523  itgsplitioo  25789  dvferm1lem  25938  dvferm2lem  25940  dvferm  25942  dvlt0  25960  dvivthlem1  25963  lhop1lem  25968  lhop1  25969  lhop2  25970  dvcvx  25975  ftc1lem4  25996  itgsubstlem  26005  itgsubst  26006  pilem2  26412  pilem3  26413  pigt2lt4  26414  tangtx  26464  tanabsge  26465  cosne0  26488  cos0pilt1  26491  tanord  26497  tanregt0  26498  argimlt0  26572  logneg2  26574  divlogrlim  26594  logno1  26595  logcnlem3  26603  dvloglem  26607  logf1o2  26609  loglesqrt  26721  asinsin  26852  acoscos  26853  atanlogaddlem  26873  atanlogsub  26876  atantan  26883  atanbndlem  26885  scvxcvx  26946  lgamgulmlem2  26990  basellem8  27048  vmalogdivsum2  27499  vmalogdivsum  27500  2vmadivsumlem  27501  chpdifbndlem1  27514  selberg3lem1  27518  selberg3  27520  selberg4lem1  27521  selberg4  27522  selberg3r  27530  selberg4r  27531  selberg34r  27532  pntrlog2bndlem1  27538  pntrlog2bndlem2  27539  pntrlog2bndlem3  27540  pntrlog2bndlem4  27541  pntrlog2bndlem5  27542  pntrlog2bndlem6a  27543  pntrlog2bndlem6  27544  pntrlog2bnd  27545  pntpbnd1a  27546  pntpbnd1  27547  pntpbnd2  27548  pntpbnd  27549  pntibndlem2  27552  pntibndlem3  27553  pntibnd  27554  pntlemd  27555  pntlemb  27558  pntlemr  27563  pnt  27575  padicabv  27591  xrge0tsmsd  33002  fct2relem  34575  logdivsqrle  34628  knoppndvlem3  36478  iooelexlt  37326  relowlssretop  37327  poimir  37623  itg2gt0cn  37645  ftc1cnnclem  37661  aks4d1p1p5  42034  radcnvrat  44286  cncfiooicclem1  45870  itgioocnicc  45954  iblcncfioo  45955  amgmwlem  49614