Theorem eliooord 13432

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13431	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13413	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243  (,)cioo 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-ioo 13376

This theorem is referenced by:  elioo4g  13433  iccssioo2  13446  qdensere  24895  zcld  24940  reconnlem2  24954  xrge0tsms  24961  ovolioo  25696  ioorcl2  25700  itgsplitioo  25966  dvferm1lem  26112  dvferm2lem  26114  dvferm  26116  dvlt0  26133  dvivthlem1  26136  lhop1lem  26141  lhop1  26142  lhop2  26143  dvcvx  26148  ftc1lem4  26167  itgsubstlem  26176  itgsubst  26177  pilem2  26581  pilem3  26582  pigt2lt4  26583  tangtx  26636  tanabsge  26637  cosne0  26660  cos0pilt1  26663  tanord  26669  tanregt0  26670  argimlt0  26744  logneg2  26746  divlogrlim  26766  logno1  26767  logcnlem3  26775  dvloglem  26779  logf1o2  26781  loglesqrt  26892  asinsin  27023  acoscos  27024  atanlogaddlem  27044  atanlogsub  27047  atantan  27054  atanbndlem  27056  scvxcvx  27116  lgamgulmlem2  27160  basellem8  27218  vmalogdivsum2  27668  vmalogdivsum  27669  2vmadivsumlem  27670  chpdifbndlem1  27683  selberg3lem1  27687  selberg3  27689  selberg4lem1  27690  selberg4  27691  selberg3r  27699  selberg4r  27700  selberg34r  27701  pntrlog2bndlem1  27707  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem3  27709  pntrlog2bndlem4  27710  pntrlog2bndlem5  27711  pntrlog2bndlem6a  27712  pntrlog2bndlem6  27713  pntrlog2bnd  27714  pntpbnd1a  27715  pntpbnd1  27716  pntpbnd2  27717  pntpbnd  27718  pntibndlem2  27721  pntibndlem3  27722  pntibnd  27723  pntlemd  27724  pntlemb  27727  pntlemr  27732  pnt  27744  padicabv  27760  xrge0tsmsd  33334  fct2relem  34929  logdivsqrle  34982  knoppndvlem3  37026  iooelexlt  37931  relowlssretop  37932  poimir  38227  itg2gt0cn  38249  ftc1cnnclem  38265  aks4d1p1p5  42767  radcnvrat  44951  cncfiooicclem1  46534  itgioocnicc  46618  iblcncfioo  46619  amgmwlem  50511