Theorem eliooord 13437

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13419	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 266	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  ℝ^*cxr 11297   < clt 11298  (,)cioo 13378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-ioo 13382

This theorem is referenced by:  elioo4g  13438  iccssioo2  13451  qdensere  24777  zcld  24820  reconnlem2  24834  xrge0tsms  24841  ovolioo  25588  ioorcl2  25592  itgsplitioo  25858  dvferm1lem  26007  dvferm2lem  26009  dvferm  26011  dvlt0  26029  dvivthlem1  26032  lhop1lem  26037  lhop1  26038  lhop2  26039  dvcvx  26044  ftc1lem4  26065  itgsubstlem  26074  itgsubst  26075  pilem2  26482  pilem3  26483  pigt2lt4  26484  tangtx  26533  tanabsge  26534  cosne0  26556  cos0pilt1  26559  tanord  26565  tanregt0  26566  argimlt0  26640  logneg2  26642  divlogrlim  26662  logno1  26663  logcnlem3  26671  dvloglem  26675  logf1o2  26677  loglesqrt  26789  asinsin  26920  acoscos  26921  atanlogaddlem  26941  atanlogsub  26944  atantan  26951  atanbndlem  26953  scvxcvx  27014  lgamgulmlem2  27058  basellem8  27116  vmalogdivsum2  27567  vmalogdivsum  27568  2vmadivsumlem  27569  chpdifbndlem1  27582  selberg3lem1  27586  selberg3  27588  selberg4lem1  27589  selberg4  27590  selberg3r  27598  selberg4r  27599  selberg34r  27600  pntrlog2bndlem1  27606  pntrlog2bndlem2  27607  pntrlog2bndlem3  27608  pntrlog2bndlem4  27609  pntrlog2bndlem5  27610  pntrlog2bndlem6a  27611  pntrlog2bndlem6  27612  pntrlog2bnd  27613  pntpbnd1a  27614  pntpbnd1  27615  pntpbnd2  27616  pntpbnd  27617  pntibndlem2  27620  pntibndlem3  27621  pntibnd  27622  pntlemd  27623  pntlemb  27626  pntlemr  27631  pnt  27643  padicabv  27659  xrge0tsmsd  32926  fct2relem  34443  logdivsqrle  34496  knoppndvlem3  36217  iooelexlt  37069  relowlssretop  37070  poimir  37354  itg2gt0cn  37376  ftc1cnnclem  37392  aks4d1p1p5  41774  radcnvrat  43988  cncfiooicclem1  45514  itgioocnicc  45598  iblcncfioo  45599  amgmwlem  48550