Theorem eliooord 13335

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13334	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13316	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  ℝ^*cxr 11179   < clt 11180  (,)cioo 13275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-ioo 13279

This theorem is referenced by:  elioo4g  13336  iccssioo2  13349  qdensere  24730  zcld  24775  reconnlem2  24789  xrge0tsms  24796  ovolioo  25542  ioorcl2  25546  itgsplitioo  25812  dvferm1lem  25961  dvferm2lem  25963  dvferm  25965  dvlt0  25983  dvivthlem1  25986  lhop1lem  25991  lhop1  25992  lhop2  25993  dvcvx  25998  ftc1lem4  26019  itgsubstlem  26028  itgsubst  26029  pilem2  26435  pilem3  26436  pigt2lt4  26437  tangtx  26487  tanabsge  26488  cosne0  26511  cos0pilt1  26514  tanord  26520  tanregt0  26521  argimlt0  26595  logneg2  26597  divlogrlim  26617  logno1  26618  logcnlem3  26626  dvloglem  26630  logf1o2  26632  loglesqrt  26744  asinsin  26875  acoscos  26876  atanlogaddlem  26896  atanlogsub  26899  atantan  26906  atanbndlem  26908  scvxcvx  26969  lgamgulmlem2  27013  basellem8  27071  vmalogdivsum2  27522  vmalogdivsum  27523  2vmadivsumlem  27524  chpdifbndlem1  27537  selberg3lem1  27541  selberg3  27543  selberg4lem1  27544  selberg4  27545  selberg3r  27553  selberg4r  27554  selberg34r  27555  pntrlog2bndlem1  27561  pntrlog2bndlem2  27562  pntrlog2bndlem3  27563  pntrlog2bndlem4  27564  pntrlog2bndlem5  27565  pntrlog2bndlem6a  27566  pntrlog2bndlem6  27567  pntrlog2bnd  27568  pntpbnd1a  27569  pntpbnd1  27570  pntpbnd2  27571  pntpbnd  27572  pntibndlem2  27575  pntibndlem3  27576  pntibnd  27577  pntlemd  27578  pntlemb  27581  pntlemr  27586  pnt  27598  padicabv  27614  xrge0tsmsd  33173  fct2relem  34781  logdivsqrle  34834  knoppndvlem3  36742  iooelexlt  37644  relowlssretop  37645  poimir  37933  itg2gt0cn  37955  ftc1cnnclem  37971  aks4d1p1p5  42474  radcnvrat  44699  cncfiooicclem1  46280  itgioocnicc  46364  iblcncfioo  46365  amgmwlem  50190