Theorem eliooord 13460

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13459	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13441	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270  (,)cioo 13400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ioo 13404

This theorem is used by:  elioo4g  13461  iccssioo2  13474  qdensere  24996  zcld  25041  reconnlem2  25055  xrge0tsms  25062  ovolioo  25797  ioorcl2  25801  itgsplitioo  26067  dvferm1lem  26213  dvferm2lem  26215  dvferm  26217  dvlt0  26234  dvivthlem1  26237  lhop1lem  26242  lhop1  26243  lhop2  26244  dvcvx  26249  ftc1lem4  26268  itgsubstlem  26277  itgsubst  26278  pilem2  26685  pilem3  26686  pigt2lt4  26687  tangtx  26740  tanabsge  26741  cosne0  26764  cos0pilt1  26767  tanord  26773  tanregt0  26774  argimlt0  26848  logneg2  26850  divlogrlim  26870  logno1  26871  logcnlem3  26879  dvloglem  26883  logf1o2  26885  loglesqrt  26996  asinsin  27127  acoscos  27128  atanlogaddlem  27148  atanlogsub  27151  atantan  27158  atanbndlem  27160  scvxcvx  27220  lgamgulmlem2  27264  basellem8  27322  vmalogdivsum2  27772  vmalogdivsum  27773  2vmadivsumlem  27774  chpdifbndlem1  27787  selberg3lem1  27791  selberg3  27793  selberg4lem1  27794  selberg4  27795  selberg3r  27803  selberg4r  27804  selberg34r  27805  pntrlog2bndlem1  27811  pntrlog2bndlem2  27812  pntrlog2bndlem3  27813  pntrlog2bndlem4  27814  pntrlog2bndlem5  27815  pntrlog2bndlem6a  27816  pntrlog2bndlem6  27817  pntrlog2bnd  27818  pntpbnd1a  27819  pntpbnd1  27820  pntpbnd2  27821  pntpbnd  27822  pntibndlem2  27825  pntibndlem3  27826  pntibnd  27827  pntlemd  27828  pntlemb  27831  pntlemr  27836  pnt  27848  padicabv  27864  xrge0tsmsd  33500  fct2relem  35092  logdivsqrle  35145  knoppndvlem3  37198  iooelexlt  38103  relowlssretop  38104  poimir  38389  itg2gt0cn  38411  ftc1cnnclem  38427  aks4d1p1p5  42928  radcnvrat  45125  cncfiooicclem1  46708  itgioocnicc  46792  iblcncfioo  46793  amgmwlem  50807