Theorem eliooord 13305

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13304	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13286	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146  (,)cioo 13245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-ioo 13249

This theorem is referenced by:  elioo4g  13306  iccssioo2  13319  qdensere  24684  zcld  24729  reconnlem2  24743  xrge0tsms  24750  ovolioo  25496  ioorcl2  25500  itgsplitioo  25766  dvferm1lem  25915  dvferm2lem  25917  dvferm  25919  dvlt0  25937  dvivthlem1  25940  lhop1lem  25945  lhop1  25946  lhop2  25947  dvcvx  25952  ftc1lem4  25973  itgsubstlem  25982  itgsubst  25983  pilem2  26389  pilem3  26390  pigt2lt4  26391  tangtx  26441  tanabsge  26442  cosne0  26465  cos0pilt1  26468  tanord  26474  tanregt0  26475  argimlt0  26549  logneg2  26551  divlogrlim  26571  logno1  26572  logcnlem3  26580  dvloglem  26584  logf1o2  26586  loglesqrt  26698  asinsin  26829  acoscos  26830  atanlogaddlem  26850  atanlogsub  26853  atantan  26860  atanbndlem  26862  scvxcvx  26923  lgamgulmlem2  26967  basellem8  27025  vmalogdivsum2  27476  vmalogdivsum  27477  2vmadivsumlem  27478  chpdifbndlem1  27491  selberg3lem1  27495  selberg3  27497  selberg4lem1  27498  selberg4  27499  selberg3r  27507  selberg4r  27508  selberg34r  27509  pntrlog2bndlem1  27515  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem3  27517  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  pntrlog2bndlem6a  27520  pntrlog2bndlem6  27521  pntrlog2bnd  27522  pntpbnd1a  27523  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  pntpbnd  27526  pntibndlem2  27529  pntibndlem3  27530  pntibnd  27531  pntlemd  27532  pntlemb  27535  pntlemr  27540  pnt  27552  padicabv  27568  xrge0tsmsd  33042  fct2relem  34610  logdivsqrle  34663  knoppndvlem3  36558  iooelexlt  37406  relowlssretop  37407  poimir  37692  itg2gt0cn  37714  ftc1cnnclem  37730  aks4d1p1p5  42167  radcnvrat  44406  cncfiooicclem1  45990  itgioocnicc  46074  iblcncfioo  46075  amgmwlem  49902