Theorem eliooord 13138

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13137	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13120	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 266	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  (,)cioo 13079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ioo 13083

This theorem is referenced by:  elioo4g  13139  iccssioo2  13152  qdensere  23933  zcld  23976  reconnlem2  23990  xrge0tsms  23997  ovolioo  24732  ioorcl2  24736  itgsplitioo  25002  dvferm1lem  25148  dvferm2lem  25150  dvferm  25152  dvlt0  25169  dvivthlem1  25172  lhop1lem  25177  lhop1  25178  lhop2  25179  dvcvx  25184  ftc1lem4  25203  itgsubstlem  25212  itgsubst  25213  pilem2  25611  pilem3  25612  pigt2lt4  25613  tangtx  25662  tanabsge  25663  cosne0  25685  cos0pilt1  25688  tanord  25694  tanregt0  25695  argimlt0  25768  logneg2  25770  divlogrlim  25790  logno1  25791  logcnlem3  25799  dvloglem  25803  logf1o2  25805  loglesqrt  25911  asinsin  26042  acoscos  26043  atanlogaddlem  26063  atanlogsub  26066  atantan  26073  atanbndlem  26075  scvxcvx  26135  lgamgulmlem2  26179  basellem8  26237  vmalogdivsum2  26686  vmalogdivsum  26687  2vmadivsumlem  26688  chpdifbndlem1  26701  selberg3lem1  26705  selberg3  26707  selberg4lem1  26708  selberg4  26709  selberg3r  26717  selberg4r  26718  selberg34r  26719  pntrlog2bndlem1  26725  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem3  26727  pntrlog2bndlem4  26728  pntrlog2bndlem5  26729  pntrlog2bndlem6a  26730  pntrlog2bndlem6  26731  pntrlog2bnd  26732  pntpbnd1a  26733  pntpbnd1  26734  pntpbnd2  26735  pntpbnd  26736  pntibndlem2  26739  pntibndlem3  26740  pntibnd  26741  pntlemd  26742  pntlemb  26745  pntlemr  26750  pnt  26762  padicabv  26778  xrge0tsmsd  31317  fct2relem  32577  logdivsqrle  32630  knoppndvlem3  34694  iooelexlt  35533  relowlssretop  35534  poimir  35810  itg2gt0cn  35832  ftc1cnnclem  35848  aks4d1p1p5  40083  radcnvrat  41932  cncfiooicclem1  43434  itgioocnicc  43518  iblcncfioo  43519  amgmwlem  46506