Theorem eliooord 13536

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13535	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13517	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343  (,)cioo 13476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-ioo 13480

This theorem is used by:  elioo4g  13537  iccssioo2  13550  qdensere  25088  zcld  25133  reconnlem2  25147  xrge0tsms  25154  ovolioo  25889  ioorcl2  25893  itgsplitioo  26158  dvferm1lem  26304  dvferm2lem  26306  dvferm  26308  dvlt0  26325  dvivthlem1  26328  lhop1lem  26333  lhop1  26334  lhop2  26335  dvcvx  26340  ftc1lem4  26359  itgsubstlem  26368  itgsubst  26369  pilem2  26779  pilem3  26780  pigt2lt4  26781  tangtx  26834  tanabsge  26835  cosne0  26857  cos0pilt1  26860  tanord  26866  tanregt0  26867  argimlt0  26941  logneg2  26943  divlogrlim  26963  logno1  26964  logcnlem3  26972  dvloglem  26976  logf1o2  26978  loglesqrt  27089  asinsin  27220  acoscos  27221  atanlogaddlem  27241  atanlogsub  27244  atantan  27251  atanbndlem  27253  scvxcvx  27313  lgamgulmlem2  27357  basellem8  27415  vmalogdivsum2  27865  vmalogdivsum  27866  2vmadivsumlem  27867  chpdifbndlem1  27880  selberg3lem1  27884  selberg3  27886  selberg4lem1  27887  selberg4  27888  selberg3r  27896  selberg4r  27897  selberg34r  27898  pntrlog2bndlem1  27904  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem3  27906  pntrlog2bndlem4  27907  pntrlog2bndlem5  27908  pntrlog2bndlem6a  27909  pntrlog2bndlem6  27910  pntrlog2bnd  27911  pntpbnd1a  27912  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  pntpbnd  27915  pntibndlem2  27918  pntibndlem3  27919  pntibnd  27920  pntlemd  27921  pntlemb  27924  pntlemr  27929  pnt  27941  padicabv  27957  xrge0tsmsd  33634  fct2relem  35226  logdivsqrle  35279  knoppndvlem3  37380  iooelexlt  38286  relowlssretop  38287  poimir  38572  itg2gt0cn  38594  ftc1cnnclem  38610  aks4d1p1p5  43126  radcnvrat  45298  cncfiooicclem1  46903  itgioocnicc  46987  iblcncfioo  46988  amgmwlem  50987