Theorem eliooord 13438

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13437	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13419	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249  (,)cioo 13378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ioo 13382

This theorem is used by:  elioo4g  13439  iccssioo2  13452  qdensere  24937  zcld  24982  reconnlem2  24996  xrge0tsms  25003  ovolioo  25738  ioorcl2  25742  itgsplitioo  26008  dvferm1lem  26154  dvferm2lem  26156  dvferm  26158  dvlt0  26175  dvivthlem1  26178  lhop1lem  26183  lhop1  26184  lhop2  26185  dvcvx  26190  ftc1lem4  26209  itgsubstlem  26218  itgsubst  26219  pilem2  26626  pilem3  26627  pigt2lt4  26628  tangtx  26681  tanabsge  26682  cosne0  26705  cos0pilt1  26708  tanord  26714  tanregt0  26715  argimlt0  26789  logneg2  26791  divlogrlim  26811  logno1  26812  logcnlem3  26820  dvloglem  26824  logf1o2  26826  loglesqrt  26937  asinsin  27068  acoscos  27069  atanlogaddlem  27089  atanlogsub  27092  atantan  27099  atanbndlem  27101  scvxcvx  27161  lgamgulmlem2  27205  basellem8  27263  vmalogdivsum2  27713  vmalogdivsum  27714  2vmadivsumlem  27715  chpdifbndlem1  27728  selberg3lem1  27732  selberg3  27734  selberg4lem1  27735  selberg4  27736  selberg3r  27744  selberg4r  27745  selberg34r  27746  pntrlog2bndlem1  27752  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem3  27754  pntrlog2bndlem4  27755  pntrlog2bndlem5  27756  pntrlog2bndlem6a  27757  pntrlog2bndlem6  27758  pntrlog2bnd  27759  pntpbnd1a  27760  pntpbnd1  27761  pntpbnd2  27762  pntpbnd  27763  pntibndlem2  27766  pntibndlem3  27767  pntibnd  27768  pntlemd  27769  pntlemb  27772  pntlemr  27777  pnt  27789  padicabv  27805  xrge0tsmsd  33402  fct2relem  34993  logdivsqrle  35046  knoppndvlem3  37131  iooelexlt  38036  relowlssretop  38037  poimir  38332  itg2gt0cn  38354  ftc1cnnclem  38370  aks4d1p1p5  42870  radcnvrat  45052  cncfiooicclem1  46635  itgioocnicc  46719  iblcncfioo  46720  amgmwlem  50677