Theorem eliooord 13325

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13324	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13306	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  (,)cioo 13265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13269

This theorem is referenced by:  elioo4g  13326  iccssioo2  13339  qdensere  24717  zcld  24762  reconnlem2  24776  xrge0tsms  24783  ovolioo  25529  ioorcl2  25533  itgsplitioo  25799  dvferm1lem  25948  dvferm2lem  25950  dvferm  25952  dvlt0  25970  dvivthlem1  25973  lhop1lem  25978  lhop1  25979  lhop2  25980  dvcvx  25985  ftc1lem4  26006  itgsubstlem  26015  itgsubst  26016  pilem2  26422  pilem3  26423  pigt2lt4  26424  tangtx  26474  tanabsge  26475  cosne0  26498  cos0pilt1  26501  tanord  26507  tanregt0  26508  argimlt0  26582  logneg2  26584  divlogrlim  26604  logno1  26605  logcnlem3  26613  dvloglem  26617  logf1o2  26619  loglesqrt  26731  asinsin  26862  acoscos  26863  atanlogaddlem  26883  atanlogsub  26886  atantan  26893  atanbndlem  26895  scvxcvx  26956  lgamgulmlem2  27000  basellem8  27058  vmalogdivsum2  27509  vmalogdivsum  27510  2vmadivsumlem  27511  chpdifbndlem1  27524  selberg3lem1  27528  selberg3  27530  selberg4lem1  27531  selberg4  27532  selberg3r  27540  selberg4r  27541  selberg34r  27542  pntrlog2bndlem1  27548  pntrlog2bndlem2  27549  pntrlog2bndlem3  27550  pntrlog2bndlem4  27551  pntrlog2bndlem5  27552  pntrlog2bndlem6a  27553  pntrlog2bndlem6  27554  pntrlog2bnd  27555  pntpbnd1a  27556  pntpbnd1  27557  pntpbnd2  27558  pntpbnd  27559  pntibndlem2  27562  pntibndlem3  27563  pntibnd  27564  pntlemd  27565  pntlemb  27568  pntlemr  27573  pnt  27585  padicabv  27601  xrge0tsmsd  33157  fct2relem  34756  logdivsqrle  34809  knoppndvlem3  36716  iooelexlt  37569  relowlssretop  37570  poimir  37856  itg2gt0cn  37878  ftc1cnnclem  37894  aks4d1p1p5  42397  radcnvrat  44622  cncfiooicclem1  46204  itgioocnicc  46288  iblcncfioo  46289  amgmwlem  50114