Theorem eliooord 13491

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13472	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  ℝcr 11156  ℝ^*cxr 11299   < clt 11300  (,)cioo 13431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-ioo 13435

This theorem is used by:  elioo4g  13492  iccssioo2  13505  qdensere  25035  zcld  25080  reconnlem2  25094  xrge0tsms  25101  ovolioo  25836  ioorcl2  25840  itgsplitioo  26105  dvferm1lem  26251  dvferm2lem  26253  dvferm  26255  dvlt0  26272  dvivthlem1  26275  lhop1lem  26280  lhop1  26281  lhop2  26282  dvcvx  26287  ftc1lem4  26306  itgsubstlem  26315  itgsubst  26316  pilem2  26728  pilem3  26729  pigt2lt4  26730  tangtx  26783  tanabsge  26784  cosne0  26806  cos0pilt1  26809  tanord  26815  tanregt0  26816  argimlt0  26890  logneg2  26892  divlogrlim  26912  logno1  26913  logcnlem3  26921  dvloglem  26925  logf1o2  26927  loglesqrt  27038  asinsin  27169  acoscos  27170  atanlogaddlem  27190  atanlogsub  27193  atantan  27200  atanbndlem  27202  scvxcvx  27262  lgamgulmlem2  27306  basellem8  27364  vmalogdivsum2  27814  vmalogdivsum  27815  2vmadivsumlem  27816  chpdifbndlem1  27829  selberg3lem1  27833  selberg3  27835  selberg4lem1  27836  selberg4  27837  selberg3r  27845  selberg4r  27846  selberg34r  27847  pntrlog2bndlem1  27853  pntrlog2bndlem2  27854  pntrlog2bndlem3  27855  pntrlog2bndlem4  27856  pntrlog2bndlem5  27857  pntrlog2bndlem6a  27858  pntrlog2bndlem6  27859  pntrlog2bnd  27860  pntpbnd1a  27861  pntpbnd1  27862  pntpbnd2  27863  pntpbnd  27864  pntibndlem2  27867  pntibndlem3  27868  pntibnd  27869  pntlemd  27870  pntlemb  27873  pntlemr  27878  pnt  27890  padicabv  27906  xrge0tsmsd  33553  fct2relem  35146  logdivsqrle  35199  knoppndvlem3  37296  iooelexlt  38199  relowlssretop  38200  poimir  38485  itg2gt0cn  38507  ftc1cnnclem  38523  aks4d1p1p5  43039  radcnvrat  45236  cncfiooicclem1  46819  itgioocnicc  46903  iblcncfioo  46904  amgmwlem  50903