Theorem eliooord 13446

Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eliooord	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 13445	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
2		elioo2 13428	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
5		3simpc 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295  (,)cioo 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391

This theorem is referenced by:  elioo4g  13447  iccssioo2  13460  qdensere  24790  zcld  24835  reconnlem2  24849  xrge0tsms  24856  ovolioo  25603  ioorcl2  25607  itgsplitioo  25873  dvferm1lem  26022  dvferm2lem  26024  dvferm  26026  dvlt0  26044  dvivthlem1  26047  lhop1lem  26052  lhop1  26053  lhop2  26054  dvcvx  26059  ftc1lem4  26080  itgsubstlem  26089  itgsubst  26090  pilem2  26496  pilem3  26497  pigt2lt4  26498  tangtx  26547  tanabsge  26548  cosne0  26571  cos0pilt1  26574  tanord  26580  tanregt0  26581  argimlt0  26655  logneg2  26657  divlogrlim  26677  logno1  26678  logcnlem3  26686  dvloglem  26690  logf1o2  26692  loglesqrt  26804  asinsin  26935  acoscos  26936  atanlogaddlem  26956  atanlogsub  26959  atantan  26966  atanbndlem  26968  scvxcvx  27029  lgamgulmlem2  27073  basellem8  27131  vmalogdivsum2  27582  vmalogdivsum  27583  2vmadivsumlem  27584  chpdifbndlem1  27597  selberg3lem1  27601  selberg3  27603  selberg4lem1  27604  selberg4  27605  selberg3r  27613  selberg4r  27614  selberg34r  27615  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem3  27623  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6a  27626  pntrlog2bndlem6  27627  pntrlog2bnd  27628  pntpbnd1a  27629  pntpbnd1  27630  pntpbnd2  27631  pntpbnd  27632  pntibndlem2  27635  pntibndlem3  27636  pntibnd  27637  pntlemd  27638  pntlemb  27641  pntlemr  27646  pnt  27658  padicabv  27674  xrge0tsmsd  33065  fct2relem  34612  logdivsqrle  34665  knoppndvlem3  36515  iooelexlt  37363  relowlssretop  37364  poimir  37660  itg2gt0cn  37682  ftc1cnnclem  37698  aks4d1p1p5  42076  radcnvrat  44333  cncfiooicclem1  45908  itgioocnicc  45992  iblcncfioo  45993  amgmwlem  49321