MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioo4g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioo4g 13448
Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elioo4g (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo4g
StepHypRef Expression
1 eliooxr 13446 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2 elioore 13418 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
31, 2jca 511 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
4 df-3an 1088 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
53, 4sylibr 234 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ))
6 eliooord 13447 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
75, 6jca 511 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
8 rexr 11308 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
983anim3i 1154 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
109anim1i 615 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
11 elioo3g 13417 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
1210, 11sylibr 234 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
137, 12impbii 209 1 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  cr 11155  *cxr 11295   < clt 11296  (,)cioo 13388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-ioo 13392
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  45913  fourierdlem89  46215  fourierdlem90  46216  fourierdlem91  46217  fourierdlem100  46226
  Copyright terms: Public domain W3C validator