MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorebas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorebas 13477
Description: Open intervals are elements of the set of all open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorebas (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)

Proof of Theorem ioorebas
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
2 iooid 13401 . . . 4 (0(,)0) = ∅
3 ioof 13473 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4 ffn 6727 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6 0xr 11307 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
7 fnovrn 7600 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0(,)0) ∈ ran (,))
85, 6, 6, 7mp3an 1457 . . . 4 (0(,)0) ∈ ran (,)
92, 8eqeltrri 2822 . . 3 ∅ ∈ ran (,)
101, 9eqeltrdi 2833 . 2 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
11 n0 4348 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12 eliooxr 13431 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
13 fnovrn 7600 . . . . . 6 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
145, 13mp3an1 1444 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
1512, 14syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
1615exlimiv 1925 . . 3 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
1711, 16sylbi 216 . 2 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
1810, 17pm2.61ine 3014 1 (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  c0 4324  𝒫 cpw 4606   × cxp 5679  ran crn 5682   Fn wfn 6548  wf 6549  (class class class)co 7423  cr 11153  0cc0 11154  *cxr 11293  (,)cioo 13373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9481  df-inf 9482  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-q 12980  df-ioo 13377
This theorem is referenced by:  iooordt  23204  iooretop  24765  blssioo  24794  xrtgioo  24805  ioorinv2  25587  ioorinv  25588  uniioombllem2a  25594  ismbf  25640
  Copyright terms: Public domain W3C validator