MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorebas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorebas 12829
Description: Open intervals are elements of the set of all open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ioorebas (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)

Proof of Theorem ioorebas
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
2 iooid 12756 . . . 4 (0(,)0) = ∅
3 ioof 12825 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4 ffn 6508 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6 0xr 10677 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
7 fnovrn 7312 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0(,)0) ∈ ran (,))
85, 6, 6, 7mp3an 1452 . . . 4 (0(,)0) ∈ ran (,)
92, 8eqeltrri 2910 . . 3 ∅ ∈ ran (,)
101, 9syl6eqel 2921 . 2 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
11 n0 4309 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12 eliooxr 12785 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
13 fnovrn 7312 . . . . . 6 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
145, 13mp3an1 1439 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
1512, 14syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
1615exlimiv 1922 . . 3 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
1711, 16sylbi 218 . 2 ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
1810, 17pm2.61ine 3100 1 (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3016  c0 4290  𝒫 cpw 4537   × cxp 5547  ran crn 5550   Fn wfn 6344  wf 6345  (class class class)co 7145  cr 10525  0cc0 10526  *cxr 10663  (,)cioo 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-ioo 12732
This theorem is referenced by:  iooordt  21755  iooretop  23303  blssioo  23332  xrtgioo  23343  ioorinv2  24105  ioorinv  24106  uniioombllem2a  24112  ismbf  24158
  Copyright terms: Public domain W3C validator