Theorem ioorebas 13367

Description: Open intervals are elements of the set of all open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ioorebas	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)

Proof of Theorem ioorebas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
2		iooid 13289	. . . 4 ⊢ (0(,)0) = ∅
3		ioof 13363	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4		ffn 6662	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6		0xr 11179	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		fnovrn 7533	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0(,)0) ∈ ran (,))
8	5, 6, 6, 7	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
9	2, 8	eqeltrri 2833	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ran (,)
10	1, 9	eqeltrdi 2844	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
11		n0 4305	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12		eliooxr 13320	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
13		fnovrn 7533	. . . . . 6 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
14	5, 13	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
16	15	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
17	11, 16	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
18	10, 17	pm2.61ine 3015	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554   × cxp 5622  ran crn 5625   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  ℝ^*cxr 11165  (,)cioo 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-ioo 13265

This theorem is referenced by:  iooordt  23161  iooretop  24709  blssioo  24739  xrtgioo  24751  ioorinv2  25532  ioorinv  25533  uniioombllem2a  25539  ismbf  25585