Theorem ioorebas 13477

Description: Open intervals are elements of the set of all open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ioorebas	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)

Proof of Theorem ioorebas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
2		iooid 13401	. . . 4 ⊢ (0(,)0) = ∅
3		ioof 13473	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4		ffn 6727	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6		0xr 11307	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		fnovrn 7600	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0(,)0) ∈ ran (,))
8	5, 6, 6, 7	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
9	2, 8	eqeltrri 2822	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ran (,)
10	1, 9	eqeltrdi 2833	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
11		n0 4348	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12		eliooxr 13431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
13		fnovrn 7600	. . . . . 6 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
14	5, 13	mp3an1 1444	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
16	15	exlimiv 1925	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
17	11, 16	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
18	10, 17	pm2.61ine 3014	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∅c0 4324  𝒫 cpw 4606   × cxp 5679  ran crn 5682   Fn wfn 6548  ⟶wf 6549  (class class class)co 7423  ℝcr 11153  0cc0 11154  ℝ^*cxr 11293  (,)cioo 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9481  df-inf 9482  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-q 12980  df-ioo 13377

This theorem is referenced by:  iooordt  23204  iooretop  24765  blssioo  24794  xrtgioo  24805  ioorinv2  25587  ioorinv  25588  uniioombllem2a  25594  ismbf  25640