Theorem ioorebas 13180

Description: Open intervals are elements of the set of all open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ioorebas	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)

Proof of Theorem ioorebas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
2		iooid 13104	. . . 4 ⊢ (0(,)0) = ∅
3		ioof 13176	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4		ffn 6597	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6		0xr 11021	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		fnovrn 7439	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0(,)0) ∈ ran (,))
8	5, 6, 6, 7	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
9	2, 8	eqeltrri 2838	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ran (,)
10	1, 9	eqeltrdi 2849	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
11		n0 4286	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12		eliooxr 13134	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
13		fnovrn 7439	. . . . . 6 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
14	5, 13	mp3an1 1447	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
16	15	exlimiv 1937	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
17	11, 16	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,))
18	10, 17	pm2.61ine 3030	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∅c0 4262  𝒫 cpw 4539   × cxp 5587  ran crn 5590   Fn wfn 6426  ⟶wf 6427  (class class class)co 7269  ℝcr 10869  0cc0 10870  ℝ^*cxr 11007  (,)cioo 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-sup 9177  df-inf 9178  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-q 12686  df-ioo 13080

This theorem is referenced by:  iooordt  22364  iooretop  23925  blssioo  23954  xrtgioo  23965  ioorinv2  24735  ioorinv  24736  uniioombllem2a  24742  ismbf  24788