Theorem elpaddatiN 39806

Description: Consequence of membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddatiN	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}))) → ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ∨ ,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑄,𝑝   𝑅,𝑝

Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddatiN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	elpaddat 39805	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)) → ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))
7	5, 6	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}) → ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
8	7	impr 454	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}))) → ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  lecple 17234  joincjn 18279  Latclat 18397  Atomscatm 39263  +_𝑃cpadd 39796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-lub 18312  df-join 18314  df-lat 18398  df-ats 39267  df-padd 39797

This theorem is referenced by:  osumcllem7N  39963  pexmidlem4N  39974