Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddatiN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddatiN 38297
Description: Consequence of membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddfval.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddfval.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddfval.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
elpaddatiN (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ∨ ,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑄,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddatiN
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 paddfval.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 paddfval.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4elpaddat 38296 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))))
6 simpr 486 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))
75, 6syl6bi 253 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄)))
87impr 456 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  lecple 17147  joincjn 18207  Latclat 18327  Atomscatm 37754  +𝑃cpadd 38287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-lub 18242  df-join 18244  df-lat 18328  df-ats 37758  df-padd 38288
This theorem is referenced by:  osumcllem7N  38454  pexmidlem4N  38465
  Copyright terms: Public domain W3C validator