Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddatiN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddatiN 38676
Description: Consequence of membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddfval.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddfval.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddfval.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
elpaddatiN (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ∨ ,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑄,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddatiN
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 paddfval.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 paddfval.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4elpaddat 38675 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))))
6 simpr 486 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))
75, 6syl6bi 253 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄)))
87impr 456 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑅 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  Latclat 18384  Atomscatm 38133  +𝑃cpadd 38666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-lub 18299  df-join 18301  df-lat 18385  df-ats 38137  df-padd 38667
This theorem is referenced by:  osumcllem7N  38833  pexmidlem4N  38844
  Copyright terms: Public domain W3C validator