Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddatiN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddatiN 39807
Description: Consequence of membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddatiN (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}))) → ∃𝑝𝑋 𝑅 (𝑝 𝑄))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ,𝑝   ,𝑝   𝑄,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddatiN
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4elpaddat 39806 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑅𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑅 (𝑝 𝑄))))
6 simpr 484 . . 3 ((𝑅𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑅 (𝑝 𝑄)) → ∃𝑝𝑋 𝑅 (𝑝 𝑄))
75, 6biimtrdi 253 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}) → ∃𝑝𝑋 𝑅 (𝑝 𝑄)))
87impr 454 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ (𝑋 + {𝑄}))) → ∃𝑝𝑋 𝑅 (𝑝 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Latclat 18476  Atomscatm 39264  +𝑃cpadd 39797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-lub 18391  df-join 18393  df-lat 18477  df-ats 39268  df-padd 39798
This theorem is referenced by:  osumcllem7N  39964  pexmidlem4N  39975
  Copyright terms: Public domain W3C validator