Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddat 39317
Description: Membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddfval.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddfval.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddfval.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
elpaddat (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑆 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ∨ ,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑆,𝑝   𝑄,𝑝
Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddat
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 simpl2 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
3 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
43snssd 4817 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ {𝑄} βŠ† 𝐴)
5 simpr 483 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
63snn0d 4784 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ {𝑄} β‰  βˆ…)
7 paddfval.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 paddfval.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
10 paddfval.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
117, 8, 9, 10elpaddn0 39313 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ {𝑄} βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ {𝑄} β‰  βˆ…)) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ {𝑄}𝑆 ≀ (𝑝 ∨ π‘Ÿ))))
121, 2, 4, 5, 6, 11syl32anc 1375 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ {𝑄}𝑆 ≀ (𝑝 ∨ π‘Ÿ))))
13 oveq2 7434 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑄 β†’ (𝑝 ∨ π‘Ÿ) = (𝑝 ∨ 𝑄))
1413breq2d 5164 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑄 β†’ (𝑆 ≀ (𝑝 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑆 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄)))
1514rexsng 4683 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ {𝑄}𝑆 ≀ (𝑝 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑆 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄)))
163, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ {𝑄}𝑆 ≀ (𝑝 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑆 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄)))
1716rexbidv 3176 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ {𝑄}𝑆 ≀ (𝑝 ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑆 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄)))
1817anbi2d 628 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ {𝑄}𝑆 ≀ (𝑝 ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑆 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))))
1912, 18bitrd 278 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑋 𝑆 ≀ (𝑝 ∨ 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  {csn 4632   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  lecple 17249  joincjn 18312  Latclat 18432  Atomscatm 38775  +𝑃cpadd 39308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-lub 18347  df-join 18349  df-lat 18433  df-ats 38779  df-padd 39309
This theorem is referenced by:  elpaddatiN  39318  elpadd2at  39319  pclfinclN  39463
  Copyright terms: Public domain W3C validator