Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddat 38267
Description: Membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddat (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ,𝑝   ,𝑝   𝑆,𝑝   𝑄,𝑝
Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddat
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simpl2 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋𝐴)
3 simpl3 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑄𝐴)
43snssd 4769 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5 simpr 485 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
63snn0d 4736 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ≠ ∅)
7 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
8 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
117, 8, 9, 10elpaddn0 38263 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ {𝑄} ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟))))
121, 2, 4, 5, 6, 11syl32anc 1378 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟))))
13 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑄 → (𝑝 𝑟) = (𝑝 𝑄))
1413breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑝 𝑄)))
1514rexsng 4635 . . . . 5 (𝑄𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑝 𝑄)))
163, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑝 𝑄)))
1716rexbidv 3175 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄)))
1817anbi2d 629 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟)) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄))))
1912, 18bitrd 278 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  +𝑃cpadd 38258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-lub 18235  df-join 18237  df-lat 18321  df-ats 37729  df-padd 38259
This theorem is referenced by:  elpaddatiN  38268  elpadd2at  38269  pclfinclN  38413
  Copyright terms: Public domain W3C validator