Theorem elpaddat 39805

Description: Membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddat	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ∨ ,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑆,𝑝   𝑄,𝑝

Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddat

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4776	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6	3	snn0d 4742	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ≠ ∅)
7		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	7, 8, 9, 10	elpaddn0 39801	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ {𝑄} ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟))))
12	1, 2, 4, 5, 6, 11	syl32anc 1380	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟))))
13		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑝 ∨ 𝑟) = (𝑝 ∨ 𝑄))
14	13	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
15	14	rexsng 4643	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
16	3, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
17	16	rexbidv 3158	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
18	17	anbi2d 630	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))))
19	12, 18	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  lecple 17234  joincjn 18279  Latclat 18397  Atomscatm 39263  +_𝑃cpadd 39796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-lub 18312  df-join 18314  df-lat 18398  df-ats 39267  df-padd 39797

This theorem is referenced by:  elpaddatiN  39806  elpadd2at  39807  pclfinclN  39951