Theorem elpaddat 36932

Description: Membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddat	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ∨ ,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑆,𝑝   𝑄,𝑝

Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddat

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1186	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simpl2 1187	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simpl3 1188	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4734	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5		simpr 487	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6		snnzg 4702	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ≠ ∅)
8		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
12	8, 9, 10, 11	elpaddn0 36928	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ {𝑄} ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟))))
13	1, 2, 4, 5, 7, 12	syl32anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟))))
14		oveq2 7156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑝 ∨ 𝑟) = (𝑝 ∨ 𝑄))
15	14	breq2d 5069	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
16	15	rexsng 4606	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
17	3, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
18	17	rexbidv 3295	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
19	18	anbi2d 630	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))))
20	13, 19	bitrd 281	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∃wrex 3137   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  {csn 4559   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  lecple 16564  joincjn 17546  Latclat 17647  Atomscatm 36391  +_𝑃cpadd 36923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-lub 17576  df-join 17578  df-lat 17648  df-ats 36395  df-padd 36924

This theorem is referenced by:  elpaddatiN  36933  elpadd2at  36934  pclfinclN  37078