Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddat 36492
Description: Membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddat (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ,𝑝   ,𝑝   𝑆,𝑝   𝑄,𝑝
Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddat
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1184 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simpl2 1185 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋𝐴)
3 simpl3 1186 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑄𝐴)
43snssd 4655 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5 simpr 485 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6 snnzg 4623 . . . 4 (𝑄𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
73, 6syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ≠ ∅)
8 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
9 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
10 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
128, 9, 10, 11elpaddn0 36488 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ {𝑄} ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟))))
131, 2, 4, 5, 7, 12syl32anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟))))
14 oveq2 7031 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑄 → (𝑝 𝑟) = (𝑝 𝑄))
1514breq2d 4980 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑝 𝑄)))
1615rexsng 4527 . . . . 5 (𝑄𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑝 𝑄)))
173, 16syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑝 𝑄)))
1817rexbidv 3262 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄)))
1918anbi2d 628 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟)) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄))))
2013, 19bitrd 280 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wrex 3108  wss 3865  c0 4217  {csn 4478   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  lecple 16405  joincjn 17387  Latclat 17488  Atomscatm 35951  +𝑃cpadd 36483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-lub 17417  df-join 17419  df-lat 17489  df-ats 35955  df-padd 36484
This theorem is referenced by:  elpaddatiN  36493  elpadd2at  36494  pclfinclN  36638
  Copyright terms: Public domain W3C validator