Theorem elpadd2at 40600

Description: Membership in a projective subspace sum of two points. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpadd2at	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem elpadd2at

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4752	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
4		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		snnzg 4740	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
6	5	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → {𝑄} ≠ ∅)
7		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	7, 8, 9, 10	elpaddat 40598	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ {𝑄} ≠ ∅) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅))))
12	1, 3, 4, 6, 11	syl31anc 1400	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅))))
13		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑟 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
14	13	breq2d 5121	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
15	14	rexsng 4642	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
16	15	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
17	16	anbi2d 641	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
18	12, 17	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  lecple 17312  joincjn 18362  Latclat 18482  Atomscatm 40057  +_𝑃cpadd 40589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-lub 18395  df-join 18397  df-lat 18483  df-ats 40061  df-padd 40590

This theorem is referenced by:  elpadd2at2  40601