Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd2at Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpadd2at 35607
 Description: Membership in a projective subspace sum of two points. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpadd2at ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem elpadd2at
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝑄𝐴)
32snssd 4473 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
4 simp3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝑅𝐴)
5 snnzg 4441 . . . 4 (𝑄𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
653ad2ant2 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → {𝑄} ≠ ∅)
7 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
8 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
117, 8, 9, 10elpaddat 35605 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴𝑅𝐴) ∧ {𝑄} ≠ ∅) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅))))
121, 3, 4, 6, 11syl31anc 1478 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅))))
13 oveq1 6799 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑄 → (𝑟 𝑅) = (𝑄 𝑅))
1413breq2d 4796 . . . . 5 (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
1514rexsng 4355 . . . 4 (𝑄𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
16153ad2ant2 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
1716anbi2d 606 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅)) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
1812, 17bitrd 268 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  {csn 4314   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  lecple 16155  joincjn 17151  Latclat 17252  Atomscatm 35065  +𝑃cpadd 35596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-lub 17181  df-join 17183  df-lat 17253  df-ats 35069  df-padd 35597 This theorem is referenced by:  elpadd2at2  35608
 Copyright terms: Public domain W3C validator