Theorem elpadd2at 40863

Description: Membership in a projective subspace sum of two points. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpadd2at	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem elpadd2at

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4747	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
4		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		snnzg 4735	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
6	5	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → {𝑄} ≠ ∅)
7		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	7, 8, 9, 10	elpaddat 40861	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ {𝑄} ≠ ∅) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅))))
12	1, 3, 4, 6, 11	syl31anc 1400	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅))))
13		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑟 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
14	13	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
15	14	rexsng 4637	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
16	15	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
17	16	anbi2d 642	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
18	12, 17	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  lecple 17435  joincjn 18485  Latclat 18605  Atomscatm 40320  +_𝑃cpadd 40852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-lub 18518  df-join 18520  df-lat 18606  df-ats 40324  df-padd 40853

This theorem is used by:  elpadd2at2  40864