Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd2at Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpadd2at 39429
Description: Membership in a projective subspace sum of two points. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpadd2at ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem elpadd2at
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝑄𝐴)
32snssd 4814 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
4 simp3 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝑅𝐴)
5 snnzg 4780 . . . 4 (𝑄𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
653ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → {𝑄} ≠ ∅)
7 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
8 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
117, 8, 9, 10elpaddat 39427 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴𝑅𝐴) ∧ {𝑄} ≠ ∅) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅))))
121, 3, 4, 6, 11syl31anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅))))
13 oveq1 7426 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑄 → (𝑟 𝑅) = (𝑄 𝑅))
1413breq2d 5161 . . . . 5 (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
1514rexsng 4680 . . . 4 (𝑄𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
16153ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
1716anbi2d 628 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅)) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
1812, 17bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  wss 3944  c0 4322  {csn 4630   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  lecple 17259  joincjn 18322  Latclat 18442  Atomscatm 38885  +𝑃cpadd 39418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-lub 18357  df-join 18359  df-lat 18443  df-ats 38889  df-padd 39419
This theorem is referenced by:  elpadd2at2  39430
  Copyright terms: Public domain W3C validator