Theorem elpadd2at 35607

Description: Membership in a projective subspace sum of two points. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpadd2at	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem elpadd2at

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simp2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4473	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
4		simp3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		snnzg 4441	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
6	5	3ad2ant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → {𝑄} ≠ ∅)
7		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	7, 8, 9, 10	elpaddat 35605	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ {𝑄} ≠ ∅) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅))))
12	1, 3, 4, 6, 11	syl31anc 1478	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅))))
13		oveq1 6799	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑟 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
14	13	breq2d 4796	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
15	14	rexsng 4355	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
16	15	3ad2ant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
17	16	anbi2d 606	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
18	12, 17	bitrd 268	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  {csn 4314   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  lecple 16155  joincjn 17151  Latclat 17252  Atomscatm 35065  +_𝑃cpadd 35596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-lub 17181  df-join 17183  df-lat 17253  df-ats 35069  df-padd 35597

This theorem is referenced by:  elpadd2at2  35608