Theorem elpadd2at 38025

Description: Membership in a projective subspace sum of two points. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpadd2at	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem elpadd2at

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4754	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
4		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		snnzg 4720	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
6	5	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → {𝑄} ≠ ∅)
7		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	7, 8, 9, 10	elpaddat 38023	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ {𝑄} ≠ ∅) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅))))
12	1, 3, 4, 6, 11	syl31anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅))))
13		oveq1 7322	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑟 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
14	13	breq2d 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
15	14	rexsng 4620	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
16	15	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
17	16	anbi2d 629	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑟 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
18	12, 17	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3897  ∅c0 4267  {csn 4571   class class class wbr 5087  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  lecple 17039  joincjn 18099  Latclat 18219  Atomscatm 37481  +_𝑃cpadd 38014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-lub 18134  df-join 18136  df-lat 18220  df-ats 37485  df-padd 38015

This theorem is referenced by:  elpadd2at2  38026