Theorem osumcllem7N 40717

Description: Lemma for osumclN 40722. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem7N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   𝑀,𝑞   ⊥ ,𝑞   + ,𝑞   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞   𝑞,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝐶(𝑞,𝑝)   + (𝑝)   𝑈(𝑞,𝑝)   ∨ (𝑞,𝑝)   𝐾(𝑝)   ≤ (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑝)   ⊥ (𝑝)   𝑋(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem osumcllem7N

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1222	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 40119	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp12 1223	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		simp23 1227	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
5		simp22 1226	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑋 ≠ ∅)
6		inss2 4191	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∩ 𝑀) ⊆ 𝑀
7	6	sseli 3934	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ 𝑀)
8	7	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑞 ∈ 𝑀)
9		osumcllem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
10	8, 9	eleqtrdi 2873	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
11		osumcllem.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		osumcllem.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13		osumcllem.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		osumcllem.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
15	11, 12, 13, 14	elpaddatiN 40560	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))) → ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
16	2, 3, 4, 5, 10, 15	syl32anc 1405	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
17		simp11 1222	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴))
18		simp121 1324	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
19		simp123 1326	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
20		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑟 ∈ 𝑋)
21		inss1 4190	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∩ 𝑀) ⊆ 𝑌
22		simp13 1224	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀))
23	21, 22	sselid 3936	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑞 ∈ 𝑌)
24		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
25		osumcllem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
26		osumcllem.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
27		osumcllem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
28	11, 12, 13, 14, 25, 26, 9, 27	osumcllem6N 40716	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
29	17, 18, 19, 20, 23, 24, 28	syl123anc 1414	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
30	29	rexlimdv3a 3170	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → (∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
31	16, 30	mpd 16	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌 ∩ 𝑀)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  lecple 17318  joincjn 18368  Latclat 18488  Atomscatm 40018  HLchlt 40105  +_𝑃cpadd 40550  ⊥_𝑃cpolN 40657  PSubClcpscN 40689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39931  df-ol 39933  df-oml 39934  df-covers 40021  df-ats 40022  df-atl 40053  df-cvlat 40077  df-hlat 40106  df-pmap 40259  df-padd 40551  df-polarityN 40658

This theorem is referenced by:  osumcllem8N  40718