Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem7N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem7N 37277
 Description: Lemma for osumclN 37282. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem7N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   𝑀,𝑞   ,𝑞   + ,𝑞   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞   𝑞,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝐶(𝑞,𝑝)   + (𝑝)   𝑈(𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)   𝐾(𝑝)   (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑝)   (𝑝)   𝑋(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem osumcllem7N
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 36679 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp12 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝑋𝐴)
4 simp23 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝑝𝐴)
5 simp22 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝑋 ≠ ∅)
6 inss2 4156 . . . . . 6 (𝑌𝑀) ⊆ 𝑀
76sseli 3911 . . . . 5 (𝑞 ∈ (𝑌𝑀) → 𝑞𝑀)
873ad2ant3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝑞𝑀)
9 osumcllem.m . . . 4 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
108, 9eleqtrdi 2900 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
11 osumcllem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
12 osumcllem.j . . . 4 = (join‘𝐾)
13 osumcllem.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 osumcllem.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
1511, 12, 13, 14elpaddatiN 37120 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))) → ∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝))
162, 3, 4, 5, 10, 15syl32anc 1375 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → ∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝))
17 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) ∧ 𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴))
18 simp121 1302 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) ∧ 𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
19 simp123 1304 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) ∧ 𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑝𝐴)
20 simp2 1134 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) ∧ 𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑟𝑋)
21 inss1 4155 . . . . 5 (𝑌𝑀) ⊆ 𝑌
22 simp13 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) ∧ 𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑞 ∈ (𝑌𝑀))
2321, 22sseldi 3913 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) ∧ 𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑞𝑌)
24 simp3 1135 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) ∧ 𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑞 (𝑟 𝑝))
25 osumcllem.o . . . . 5 = (⊥𝑃𝐾)
26 osumcllem.c . . . . 5 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
27 osumcllem.u . . . . 5 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
2811, 12, 13, 14, 25, 26, 9, 27osumcllem6N 37276 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
2917, 18, 19, 20, 23, 24, 28syl123anc 1384 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) ∧ 𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
3029rexlimdv3a 3245 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → (∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
3116, 30mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ∈ (𝑌𝑀)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  lecple 16567  joincjn 17549  Latclat 17650  Atomscatm 36578  HLchlt 36665  +𝑃cpadd 37110  ⊥𝑃cpolN 37217  PSubClcpscN 37249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-riotaBAD 36268 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-undef 7925  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36491  df-ol 36493  df-oml 36494  df-covers 36581  df-ats 36582  df-atl 36613  df-cvlat 36637  df-hlat 36666  df-pmap 36819  df-padd 37111  df-polarityN 37218 This theorem is referenced by:  osumcllem8N  37278
 Copyright terms: Public domain W3C validator