Theorem pexmidlem4N 39992

Description: Lemma for pexmidN 39988. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   𝑀,𝑞   ⊥ ,𝑞   + ,𝑞   𝑋,𝑞   𝑞,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   + (𝑝)   ∨ (𝑞,𝑝)   𝐾(𝑝)   ≤ (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑝)   ⊥ (𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem pexmidlem4N

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39382	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		simpl3 1194	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
5		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ≠ ∅)
6		inss2 4213	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ 𝑀
7	6	sseli 3954	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ 𝑀)
8		pexmidlem.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
9	7, 8	eleqtrdi 2844	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
10	9	ad2antll 729	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
11		pexmidlem.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		pexmidlem.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13		pexmidlem.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		pexmidlem.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
15	11, 12, 13, 14	elpaddatiN 39824	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))) → ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
16	2, 3, 4, 5, 10, 15	syl32anc 1380	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
17		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴))
18		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
19		inss1 4212	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)
20		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))
21	19, 20	sselid 3956	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))
22		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
23		pexmidlem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
24	11, 12, 13, 14, 23, 8	pexmidlem3N 39991	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
25	17, 18, 21, 22, 24	syl121anc 1377	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
26	25	3expia 1121	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → ((𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
27	26	expd 415	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → (𝑟 ∈ 𝑋 → (𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))))
28	27	rexlimdv 3139	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → (∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
29	16, 28	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  lecple 17278  joincjn 18323  Latclat 18441  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  +_𝑃cpadd 39814  ⊥_𝑃cpolN 39921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-polarityN 39922

This theorem is referenced by:  pexmidlem5N  39993