Theorem pexmidlem4N 39930

Description: Lemma for pexmidN 39926. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   𝑀,𝑞   ⊥ ,𝑞   + ,𝑞   𝑋,𝑞   𝑞,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   + (𝑝)   ∨ (𝑞,𝑝)   𝐾(𝑝)   ≤ (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑝)   ⊥ (𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem pexmidlem4N

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39320	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpl2 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		simpl3 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
5		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ≠ ∅)
6		inss2 4259	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ 𝑀
7	6	sseli 4004	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ 𝑀)
8		pexmidlem.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
9	7, 8	eleqtrdi 2854	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
10	9	ad2antll 728	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
11		pexmidlem.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		pexmidlem.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13		pexmidlem.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		pexmidlem.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
15	11, 12, 13, 14	elpaddatiN 39762	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))) → ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
16	2, 3, 4, 5, 10, 15	syl32anc 1378	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
17		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴))
18		simp3l 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
19		inss1 4258	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)
20		simp2r 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))
21	19, 20	sselid 4006	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))
22		simp3r 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
23		pexmidlem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
24	11, 12, 13, 14, 23, 8	pexmidlem3N 39929	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
25	17, 18, 21, 22, 24	syl121anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
26	25	3expia 1121	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → ((𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
27	26	expd 415	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → (𝑟 ∈ 𝑋 → (𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))))
28	27	rexlimdv 3159	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → (∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
29	16, 28	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  lecple 17318  joincjn 18381  Latclat 18501  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  +_𝑃cpadd 39752  ⊥_𝑃cpolN 39859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-polarityN 39860

This theorem is referenced by:  pexmidlem5N  39931