Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem4N 38465
Description: Lemma for pexmidN 38461. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pexmidlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pexmidlem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
pexmidlem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐾,π‘ž   𝑀,π‘ž   βŠ₯ ,π‘ž   + ,π‘ž   𝑋,π‘ž   π‘ž,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   + (𝑝)   ∨ (π‘ž,𝑝)   𝐾(𝑝)   ≀ (π‘ž,𝑝)   𝑀(𝑝)   βŠ₯ (𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem pexmidlem4N
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37855 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl2 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
4 simpl3 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
5 simprl 770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6 inss2 4194 . . . . . 6 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) βŠ† 𝑀
76sseli 3945 . . . . 5 (π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) β†’ π‘ž ∈ 𝑀)
8 pexmidlem.m . . . . 5 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
97, 8eleqtrdi 2848 . . . 4 (π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) β†’ π‘ž ∈ (𝑋 + {𝑝}))
109ad2antll 728 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ π‘ž ∈ (𝑋 + {𝑝}))
11 pexmidlem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 pexmidlem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
13 pexmidlem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
14 pexmidlem.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
1511, 12, 13, 14elpaddatiN 38297 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (𝑋 + {𝑝}))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))
162, 3, 4, 5, 10, 15syl32anc 1379 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))
17 simp1 1137 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴))
18 simp3l 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋)
19 inss1 4193 . . . . . . 7 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)
20 simp2r 1201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))
2119, 20sselid 3947 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
22 simp3r 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))
23 pexmidlem.o . . . . . . 7 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
2411, 12, 13, 14, 23, 8pexmidlem3N 38464 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
2517, 18, 21, 22, 24syl121anc 1376 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
26253expia 1122 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2726expd 417 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 β†’ (π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))))
2827rexlimdv 3151 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2916, 28mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  lecple 17147  joincjn 18207  Latclat 18327  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  +𝑃cpadd 38287  βŠ₯𝑃cpolN 38394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-polarityN 38395
This theorem is referenced by:  pexmidlem5N  38466
  Copyright terms: Public domain W3C validator