Theorem pexmidlem4N 39974

Description: Lemma for pexmidN 39970. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   𝑀,𝑞   ⊥ ,𝑞   + ,𝑞   𝑋,𝑞   𝑞,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   + (𝑝)   ∨ (𝑞,𝑝)   𝐾(𝑝)   ≤ (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑝)   ⊥ (𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem pexmidlem4N

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39364	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		simpl3 1194	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
5		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ≠ ∅)
6		inss2 4204	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ 𝑀
7	6	sseli 3945	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ 𝑀)
8		pexmidlem.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
9	7, 8	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
10	9	ad2antll 729	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
11		pexmidlem.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		pexmidlem.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13		pexmidlem.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		pexmidlem.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
15	11, 12, 13, 14	elpaddatiN 39806	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))) → ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
16	2, 3, 4, 5, 10, 15	syl32anc 1380	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
17		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴))
18		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
19		inss1 4203	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)
20		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))
21	19, 20	sselid 3947	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))
22		simp3r 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
23		pexmidlem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
24	11, 12, 13, 14, 23, 8	pexmidlem3N 39973	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
25	17, 18, 21, 22, 24	syl121anc 1377	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
26	25	3expia 1121	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → ((𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
27	26	expd 415	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → (𝑟 ∈ 𝑋 → (𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))))
28	27	rexlimdv 3133	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → (∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
29	16, 28	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  lecple 17234  joincjn 18279  Latclat 18397  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  +_𝑃cpadd 39796  ⊥_𝑃cpolN 39903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-psubsp 39504  df-pmap 39505  df-padd 39797  df-polarityN 39904

This theorem is referenced by:  pexmidlem5N  39975