Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem4N 38844
Description: Lemma for pexmidN 38840. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pexmidlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pexmidlem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
pexmidlem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐾,π‘ž   𝑀,π‘ž   βŠ₯ ,π‘ž   + ,π‘ž   𝑋,π‘ž   π‘ž,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   + (𝑝)   ∨ (π‘ž,𝑝)   𝐾(𝑝)   ≀ (π‘ž,𝑝)   𝑀(𝑝)   βŠ₯ (𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem pexmidlem4N
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38234 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl2 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
4 simpl3 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
5 simprl 770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6 inss2 4230 . . . . . 6 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) βŠ† 𝑀
76sseli 3979 . . . . 5 (π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) β†’ π‘ž ∈ 𝑀)
8 pexmidlem.m . . . . 5 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
97, 8eleqtrdi 2844 . . . 4 (π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) β†’ π‘ž ∈ (𝑋 + {𝑝}))
109ad2antll 728 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ π‘ž ∈ (𝑋 + {𝑝}))
11 pexmidlem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 pexmidlem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
13 pexmidlem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
14 pexmidlem.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
1511, 12, 13, 14elpaddatiN 38676 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (𝑋 + {𝑝}))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))
162, 3, 4, 5, 10, 15syl32anc 1379 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))
17 simp1 1137 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴))
18 simp3l 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋)
19 inss1 4229 . . . . . . 7 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)
20 simp2r 1201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))
2119, 20sselid 3981 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
22 simp3r 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))
23 pexmidlem.o . . . . . . 7 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
2411, 12, 13, 14, 23, 8pexmidlem3N 38843 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
2517, 18, 21, 22, 24syl121anc 1376 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
26253expia 1122 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2726expd 417 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 β†’ (π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))))
2827rexlimdv 3154 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2916, 28mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  +𝑃cpadd 38666  βŠ₯𝑃cpolN 38773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-polarityN 38774
This theorem is referenced by:  pexmidlem5N  38845
  Copyright terms: Public domain W3C validator