Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem4N 39147
Description: Lemma for pexmidN 39143. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pexmidlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pexmidlem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
pexmidlem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐾,π‘ž   𝑀,π‘ž   βŠ₯ ,π‘ž   + ,π‘ž   𝑋,π‘ž   π‘ž,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   + (𝑝)   ∨ (π‘ž,𝑝)   𝐾(𝑝)   ≀ (π‘ž,𝑝)   𝑀(𝑝)   βŠ₯ (𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem pexmidlem4N
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38537 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl2 1190 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
4 simpl3 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
5 simprl 767 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6 inss2 4228 . . . . . 6 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) βŠ† 𝑀
76sseli 3977 . . . . 5 (π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) β†’ π‘ž ∈ 𝑀)
8 pexmidlem.m . . . . 5 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
97, 8eleqtrdi 2841 . . . 4 (π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) β†’ π‘ž ∈ (𝑋 + {𝑝}))
109ad2antll 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ π‘ž ∈ (𝑋 + {𝑝}))
11 pexmidlem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 pexmidlem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
13 pexmidlem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
14 pexmidlem.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
1511, 12, 13, 14elpaddatiN 38979 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (𝑋 + {𝑝}))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))
162, 3, 4, 5, 10, 15syl32anc 1376 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))
17 simp1 1134 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴))
18 simp3l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑋)
19 inss1 4227 . . . . . . 7 (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀) βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)
20 simp2r 1198 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))
2119, 20sselid 3979 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
22 simp3r 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))
23 pexmidlem.o . . . . . . 7 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
2411, 12, 13, 14, 23, 8pexmidlem3N 39146 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
2517, 18, 21, 22, 24syl121anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
26253expia 1119 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝)) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2726expd 414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑋 β†’ (π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))))
2827rexlimdv 3151 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑋 π‘ž ≀ (π‘Ÿ ∨ 𝑝) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
2916, 28mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  βˆ… ∧ π‘ž ∈ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ 𝑀))) β†’ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  lecple 17208  joincjn 18268  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  +𝑃cpadd 38969  βŠ₯𝑃cpolN 39076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-polarityN 39077
This theorem is referenced by:  pexmidlem5N  39148
  Copyright terms: Public domain W3C validator