Theorem pexmidlem4N 38839

Description: Lemma for pexmidN 38835. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   𝑀,𝑞   ⊥ ,𝑞   + ,𝑞   𝑋,𝑞   𝑞,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   + (𝑝)   ∨ (𝑞,𝑝)   𝐾(𝑝)   ≤ (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑝)   ⊥ (𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem pexmidlem4N

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 38229	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpl2 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		simpl3 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
5		simprl 769	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ≠ ∅)
6		inss2 4229	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ 𝑀
7	6	sseli 3978	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ 𝑀)
8		pexmidlem.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
9	7, 8	eleqtrdi 2843	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
10	9	ad2antll 727	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
11		pexmidlem.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		pexmidlem.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13		pexmidlem.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		pexmidlem.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
15	11, 12, 13, 14	elpaddatiN 38671	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))) → ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
16	2, 3, 4, 5, 10, 15	syl32anc 1378	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → ∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
17		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴))
18		simp3l 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
19		inss1 4228	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)
20		simp2r 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))
21	19, 20	sselid 3980	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))
22		simp3r 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))
23		pexmidlem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
24	11, 12, 13, 14, 23, 8	pexmidlem3N 38838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
25	17, 18, 21, 22, 24	syl121anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
26	25	3expia 1121	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → ((𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
27	26	expd 416	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → (𝑟 ∈ 𝑋 → (𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))))
28	27	rexlimdv 3153	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → (∃𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ (𝑟 ∨ 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
29	16, 28	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  lecple 17203  joincjn 18263  Latclat 18383  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  +_𝑃cpadd 38661  ⊥_𝑃cpolN 38768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-polarityN 38769

This theorem is referenced by:  pexmidlem5N  38840