Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem4N 36554
Description: Lemma for pexmidN 36550. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   𝑀,𝑞   ,𝑞   + ,𝑞   𝑋,𝑞   𝑞,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   + (𝑝)   (𝑞,𝑝)   𝐾(𝑝)   (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑝)   (𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem pexmidlem4N
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1171 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 35945 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl2 1172 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋𝐴)
4 simpl3 1173 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝𝐴)
5 simprl 758 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ≠ ∅)
6 inss2 4087 . . . . . 6 (( 𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ 𝑀
76sseli 3848 . . . . 5 (𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞𝑀)
8 pexmidlem.m . . . . 5 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
97, 8syl6eleq 2870 . . . 4 (𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
109ad2antll 716 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
11 pexmidlem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
12 pexmidlem.j . . . 4 = (join‘𝐾)
13 pexmidlem.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 pexmidlem.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
1511, 12, 13, 14elpaddatiN 36386 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))) → ∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝))
162, 3, 4, 5, 10, 15syl32anc 1358 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → ∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝))
17 simp1 1116 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴))
18 simp3l 1181 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑟𝑋)
19 inss1 4086 . . . . . . 7 (( 𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ ( 𝑋)
20 simp2r 1180 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))
2119, 20sseldi 3850 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 ∈ ( 𝑋))
22 simp3r 1182 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 (𝑟 𝑝))
23 pexmidlem.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
2411, 12, 13, 14, 23, 8pexmidlem3N 36553 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋)) ∧ 𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
2517, 18, 21, 22, 24syl121anc 1355 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
26253expia 1101 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → ((𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
2726expd 408 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → (𝑟𝑋 → (𝑞 (𝑟 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))))
2827rexlimdv 3222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → (∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
2916, 28mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  wrex 3083  cin 3822  wss 3823  c0 4172  {csn 4435   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  lecple 16422  joincjn 17406  Latclat 17507  Atomscatm 35844  HLchlt 35931  +𝑃cpadd 36376  𝑃cpolN 36483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-riotaBAD 35534
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5306  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-undef 7736  df-proset 17390  df-poset 17408  df-plt 17420  df-lub 17436  df-glb 17437  df-join 17438  df-meet 17439  df-p0 17501  df-p1 17502  df-lat 17508  df-clat 17570  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-polarityN 36484
This theorem is referenced by:  pexmidlem5N  36555
  Copyright terms: Public domain W3C validator