Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddatriN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddatriN 39805
Description: Condition implying membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 1-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddatriN (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))

Proof of Theorem elpaddatriN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simpl2 1193 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑋𝐴)
3 simpl3 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑄𝐴)
43snssd 4809 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5 simpr1 1195 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑅𝑋)
6 snidg 4660 . . 3 (𝑄𝐴𝑄 ∈ {𝑄})
73, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑄 ∈ {𝑄})
8 simpr2 1196 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆𝐴)
9 simpr3 1197 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 (𝑅 𝑄))
10 paddfval.l . . 3 = (le‘𝐾)
11 paddfval.j . . 3 = (join‘𝐾)
12 paddfval.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 paddfval.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
1410, 11, 12, 13elpaddri 39804 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑄 ∈ {𝑄}) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))
151, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 14syl322anc 1400 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Latclat 18476  Atomscatm 39264  +𝑃cpadd 39797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-lub 18391  df-join 18393  df-lat 18477  df-ats 39268  df-padd 39798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator