Theorem elpaddatriN 40605

Description: Condition implying membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 1-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddatriN	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))

Proof of Theorem elpaddatriN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1209	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simpl2 1210	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simpl3 1211	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4751	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5		simpr1 1212	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑅 ∈ 𝑋)
6		snidg 4625	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ {𝑄})
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑄 ∈ {𝑄})
8		simpr2 1213	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
9		simpr3 1214	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))
10		paddfval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		paddfval.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		paddfval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13		paddfval.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
14	10, 11, 12, 13	elpaddri 40604	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ {𝑄}) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))
15	1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 14	syl322anc 1424	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  lecple 17323  joincjn 18373  Latclat 18493  Atomscatm 40065  +_𝑃cpadd 40597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-lub 18406  df-join 18408  df-lat 18494  df-ats 40069  df-padd 40598

This theorem is used by: (None)