Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddatriN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddatriN 37825
Description: Condition implying membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 1-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddatriN (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))

Proof of Theorem elpaddatriN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simpl2 1191 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑋𝐴)
3 simpl3 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑄𝐴)
43snssd 4742 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5 simpr1 1193 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑅𝑋)
6 snidg 4595 . . 3 (𝑄𝐴𝑄 ∈ {𝑄})
73, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑄 ∈ {𝑄})
8 simpr2 1194 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆𝐴)
9 simpr3 1195 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 (𝑅 𝑄))
10 paddfval.l . . 3 = (le‘𝐾)
11 paddfval.j . . 3 = (join‘𝐾)
12 paddfval.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 paddfval.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
1410, 11, 12, 13elpaddri 37824 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑄 ∈ {𝑄}) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))
151, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 14syl322anc 1397 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝑋𝑆𝐴𝑆 (𝑅 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3886  {csn 4561   class class class wbr 5073  cfv 6426  (class class class)co 7267  lecple 16979  joincjn 18039  Latclat 18159  Atomscatm 37285  +𝑃cpadd 37817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-lub 18074  df-join 18076  df-lat 18160  df-ats 37289  df-padd 37818
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator