Theorem elpaddatriN 40545

Description: Condition implying membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 1-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddatriN	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))

Proof of Theorem elpaddatriN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1208	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simpl2 1209	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simpl3 1210	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4751	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5		simpr1 1211	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑅 ∈ 𝑋)
6		snidg 4625	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ {𝑄})
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑄 ∈ {𝑄})
8		simpr2 1212	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
9		simpr3 1213	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))
10		paddfval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		paddfval.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		paddfval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13		paddfval.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
14	10, 11, 12, 13	elpaddri 40544	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ {𝑄}) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))
15	1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 14	syl322anc 1423	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  lecple 17316  joincjn 18366  Latclat 18486  Atomscatm 40005  +_𝑃cpadd 40537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-lub 18399  df-join 18401  df-lat 18487  df-ats 40009  df-padd 40538

This theorem is referenced by: (None)