Users' Mathboxes Mathbox for Ender Ting < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  et-ltneverrefl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem et-ltneverrefl 46886
Description: Less-than class is never reflexive. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.) Prefer to specify theorem domain and then apply ltnri 11370. (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
et-ltneverrefl ¬ 𝐴 < 𝐴

Proof of Theorem et-ltneverrefl
StepHypRef Expression
1 xrltnr 13161 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 opelxp1 5727 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32con3i 154 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4 ltrelxr 11322 . . . . 5 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
54sseli 3979 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < → ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
63, 5nsyl 140 . . 3 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < )
7 df-br 5144 . . 3 (𝐴 < 𝐴 ↔ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < )
86, 7sylnibr 329 . 2 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
91, 8pm2.61i 182 1 ¬ 𝐴 < 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2108  cop 4632   class class class wbr 5143   × cxp 5683  *cxr 11294   < clt 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300
This theorem is referenced by:  tworepnotupword  46901
  Copyright terms: Public domain W3C validator