Theorem et-ltneverrefl 46397

Description: Less-than class is never reflexive. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.) Prefer to specify theorem domain and then apply ltnri 11355. (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
et-ltneverrefl	⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴

Proof of Theorem et-ltneverrefl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 13134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		opelxp1 5720	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	2	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4		ltrelxr 11307	. . . . 5 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5	4	sseli 3972	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < → ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
6	3, 5	nsyl 140	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < )
7		df-br 5150	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐴 ↔ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < )
8	6, 7	sylnibr 328	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
9	1, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4636   class class class wbr 5149   × cxp 5676  ℝ^*cxr 11279   < clt 11280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285

This theorem is referenced by:  tworepnotupword  46410