Theorem et-ltneverrefl 47533

Description: Less-than class is never reflexive. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.) Prefer to specify theorem domain and then apply ltnri 11318. (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
et-ltneverrefl	⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴

Proof of Theorem et-ltneverrefl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 13143	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		opelxp1 5703	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	2	con3i 155	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4		ltrelxr 11269	. . . . 5 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5	4	sseli 3932	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < → ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
6	3, 5	nsyl 141	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < )
7		df-br 5109	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐴 ↔ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < )
8	6, 7	sylnibr 332	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
9	1, 8	pm2.61i 184	1 ⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2141  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   × cxp 5659  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247

This theorem is referenced by: (None)