Users' Mathboxes Mathbox for Ender Ting < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  et-ltneverrefl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem et-ltneverrefl 45186
Description: Less-than class is never reflexive. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.) Prefer to specify theorem domain and then apply ltnri 11271. (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
et-ltneverrefl ¬ 𝐴 < 𝐴

Proof of Theorem et-ltneverrefl
StepHypRef Expression
1 xrltnr 13047 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 opelxp1 5679 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32con3i 154 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4 ltrelxr 11223 . . . . 5 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
54sseli 3945 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < → ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
63, 5nsyl 140 . . 3 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < )
7 df-br 5111 . . 3 (𝐴 < 𝐴 ↔ ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∈ < )
86, 7sylnibr 329 . 2 𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
91, 8pm2.61i 182 1 ¬ 𝐴 < 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2107  cop 4597   class class class wbr 5110   × cxp 5636  *cxr 11195   < clt 11196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  tworepnotupword  45199
  Copyright terms: Public domain W3C validator