Theorem tworepnotupword 46335

Description: Concatenation of identical singletons is never an increasing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
tworepnotupword.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tworepnotupword	⊢ ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem tworepnotupword

Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7450	. 2 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ V
2		c0ex 11238	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
3	2	isseti 3479	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑘 𝑘 = 0
4		0z 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		ccat2s1len 14605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) = 2
6	5	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = (2 − 1)
7		2m1e1 12368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
8	6, 7	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = 1
9		1z 12622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
10	8, 9	eqeltri 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ
11		0lt1 11766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12	11, 8	breqtrri 5175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)
13		fzolb 13670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
14	4, 10, 12, 13	mpbir3an 1338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
15		eleq1a 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
17		fveq2 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (♯‘𝑏) = (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)))
18	17	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((♯‘𝑏) − 1) = ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
19	18	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (0..^((♯‘𝑏) − 1)) = (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
20	19	eleq2d 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
21	16, 20	imbitrrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))))
22		et-ltneverrefl 46322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴
23		fveq1 6893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0))
24		tworepnotupword.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ∈ V
25		ccat2s1p1 14611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴
27	23, 26	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = 𝐴)
28		fveq1 6893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)))
29		1e0p1 12749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
30	29	fveq2i 6897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1))
31		ccat2s1p2 14612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴)
32	24, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴
33	30, 32	eqtr3i 2755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)) = 𝐴
34	28, 33	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = 𝐴)
35	27, 34	breq12d 5161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) ↔ 𝐴 < 𝐴))
36	22, 35	mtbiri 326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)))
37		fveq2 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘0))
38		fvoveq1 7440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏‘(𝑘 + 1)) = (𝑏‘(0 + 1)))
39	37, 38	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
40	39	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) → (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
41	40	con3d 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) → ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
42	36, 41	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
43	21, 42	jcad 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
44	43	eximdv 1912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (∃𝑘 𝑘 = 0 → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
45	3, 44	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
46		nfre1 3273	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))
47		rspe 3237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
48	46, 47	exlimi 2205	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
49	45, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
50		rexnal 3090	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
51	49, 50	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
52		df-upword 46328	. . . . . 6 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))}
53	52	eqabri 2869	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
54	53	simprbi 495	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
55	51, 54	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ 𝑏 ∈ UpWord 𝑆)
56		eleq1 2813	. . 3 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆))
57	55, 56	mtbid 323	. 2 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆)
58	1, 57	vtocle 3534	1 ⊢ ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3463   class class class wbr 5148  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   − cmin 11474  2c2 12297  ℤcz 12588  ..^cfzo 13659  ♯chash 14321  Word cword 14496   ++ cconcat 14552  ⟨“cs1 14577  UpWord cupword 46327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-upword 46328

This theorem is referenced by: (None)