Users' Mathboxes Mathbox for Ender Ting < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tworepnotupword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tworepnotupword 46840
Description: Concatenation of identical singletons is never an increasing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
tworepnotupword.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
tworepnotupword ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem tworepnotupword
Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7464 . 2 (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ V
2 c0ex 11253 . . . . . . . 8 0 ∈ V
32isseti 3496 . . . . . . 7 𝑘 𝑘 = 0
4 0z 12622 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
5 ccat2s1len 14658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) = 2
65oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = (2 − 1)
7 2m1e1 12390 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
86, 7eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = 1
9 1z 12645 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
108, 9eqeltri 2835 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ
11 0lt1 11783 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
1211, 8breqtrri 5175 . . . . . . . . . . . 12 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)
13 fzolb 13702 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
144, 10, 12, 13mpbir3an 1340 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
15 eleq1a 2834 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
17 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (♯‘𝑏) = (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)))
1817oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((♯‘𝑏) − 1) = ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
1918oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (0..^((♯‘𝑏) − 1)) = (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
2019eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
2116, 20imbitrrid 246 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))))
22 et-ltneverrefl 46827 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝐴 < 𝐴
23 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0))
24 tworepnotupword.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ∈ V
25 ccat2s1p1 14664 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴
2723, 26eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = 𝐴)
28 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)))
29 1e0p1 12773 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
3029fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1))
31 ccat2s1p2 14665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴)
3224, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴
3330, 32eqtr3i 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)) = 𝐴
3428, 33eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = 𝐴)
3527, 34breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) ↔ 𝐴 < 𝐴))
3622, 35mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)))
37 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑏𝑘) = (𝑏‘0))
38 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑏‘(𝑘 + 1)) = (𝑏‘(0 + 1)))
3937, 38breq12d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
4039biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) → (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
4140con3d 152 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) → ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
4236, 41syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
4321, 42jcad 512 . . . . . . . 8 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
4443eximdv 1915 . . . . . . 7 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (∃𝑘 𝑘 = 0 → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
453, 44mpi 20 . . . . . 6 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
46 nfre1 3283 . . . . . . 7 𝑘𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))
47 rspe 3247 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
4846, 47exlimi 2215 . . . . . 6 (∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
4945, 48syl 17 . . . . 5 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
50 rexnal 3098 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
5149, 50sylib 218 . . . 4 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
52 df-upword 46833 . . . . . 6 UpWord 𝑆 = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))}
5352eqabri 2883 . . . . 5 (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
5453simprbi 496 . . . 4 (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
5551, 54nsyl 140 . . 3 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ 𝑏 ∈ UpWord 𝑆)
56 eleq1 2827 . . 3 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆))
5755, 56mtbid 324 . 2 (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆)
581, 57vtocle 3555 1 ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cmin 11490  2c2 12319  cz 12611  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630  UpWord cupword 46832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-upword 46833
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator