Theorem tworepnotupword 46195

Description: Concatenation of identical singletons is never an increasing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
tworepnotupword.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tworepnotupword	⊢ ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem tworepnotupword

Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7447	. 2 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ V
2		c0ex 11230	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
3	2	isseti 3485	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑘 𝑘 = 0
4		0z 12591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		ccat2s1len 14597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) = 2
6	5	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = (2 − 1)
7		2m1e1 12360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
8	6, 7	eqtri 2755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = 1
9		1z 12614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
10	8, 9	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ
11		0lt1 11758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12	11, 8	breqtrri 5169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)
13		fzolb 13662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
14	4, 10, 12, 13	mpbir3an 1339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
15		eleq1a 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
17		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (♯‘𝑏) = (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)))
18	17	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((♯‘𝑏) − 1) = ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
19	18	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (0..^((♯‘𝑏) − 1)) = (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
20	19	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
21	16, 20	imbitrrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))))
22		et-ltneverrefl 46182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴
23		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0))
24		tworepnotupword.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ∈ V
25		ccat2s1p1 14603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴
27	23, 26	eqtrdi 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = 𝐴)
28		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)))
29		1e0p1 12741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
30	29	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1))
31		ccat2s1p2 14604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴)
32	24, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴
33	30, 32	eqtr3i 2757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)) = 𝐴
34	28, 33	eqtrdi 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = 𝐴)
35	27, 34	breq12d 5155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) ↔ 𝐴 < 𝐴))
36	22, 35	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)))
37		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘0))
38		fvoveq1 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏‘(𝑘 + 1)) = (𝑏‘(0 + 1)))
39	37, 38	breq12d 5155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
40	39	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) → (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
41	40	con3d 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) → ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
42	36, 41	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
43	21, 42	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
44	43	eximdv 1913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (∃𝑘 𝑘 = 0 → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
45	3, 44	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
46		nfre1 3277	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))
47		rspe 3241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
48	46, 47	exlimi 2203	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
49	45, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
50		rexnal 3095	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
51	49, 50	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
52		df-upword 46188	. . . . . 6 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))}
53	52	eqabri 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
54	53	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
55	51, 54	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ 𝑏 ∈ UpWord 𝑆)
56		eleq1 2816	. . 3 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆))
57	55, 56	mtbid 324	. 2 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆)
58	1, 57	vtocle 3539	1 ⊢ ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   − cmin 11466  2c2 12289  ℤcz 12580  ..^cfzo 13651  ♯chash 14313  Word cword 14488   ++ cconcat 14544  ⟨“cs1 14569  UpWord cupword 46187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-upword 46188

This theorem is referenced by: (None)