Theorem tworepnotupword 45586

Description: Concatenation of identical singletons is never an increasing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
tworepnotupword.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tworepnotupword	⊢ ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem tworepnotupword

Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7438	. 2 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ V
2		c0ex 11204	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
3	2	isseti 3489	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑘 𝑘 = 0
4		0z 12565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		ccat2s1len 14569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) = 2
6	5	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = (2 − 1)
7		2m1e1 12334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
8	6, 7	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = 1
9		1z 12588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
10	8, 9	eqeltri 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ
11		0lt1 11732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12	11, 8	breqtrri 5174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)
13		fzolb 13634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
14	4, 10, 12, 13	mpbir3an 1341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
15		eleq1a 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
17		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (♯‘𝑏) = (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)))
18	17	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((♯‘𝑏) − 1) = ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
19	18	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (0..^((♯‘𝑏) − 1)) = (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
20	19	eleq2d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
21	16, 20	imbitrrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))))
22		et-ltneverrefl 45573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴
23		fveq1 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0))
24		tworepnotupword.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ∈ V
25		ccat2s1p1 14575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴
27	23, 26	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = 𝐴)
28		fveq1 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)))
29		1e0p1 12715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
30	29	fveq2i 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1))
31		ccat2s1p2 14576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴)
32	24, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴
33	30, 32	eqtr3i 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)) = 𝐴
34	28, 33	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = 𝐴)
35	27, 34	breq12d 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) ↔ 𝐴 < 𝐴))
36	22, 35	mtbiri 326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)))
37		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘0))
38		fvoveq1 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏‘(𝑘 + 1)) = (𝑏‘(0 + 1)))
39	37, 38	breq12d 5160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
40	39	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) → (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
41	40	con3d 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) → ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
42	36, 41	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
43	21, 42	jcad 513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
44	43	eximdv 1920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (∃𝑘 𝑘 = 0 → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
45	3, 44	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
46		nfre1 3282	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))
47		rspe 3246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
48	46, 47	exlimi 2210	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
49	45, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
50		rexnal 3100	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
51	49, 50	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
52		df-upword 45579	. . . . . 6 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))}
53	52	eqabri 2877	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
54	53	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
55	51, 54	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ 𝑏 ∈ UpWord 𝑆)
56		eleq1 2821	. . 3 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆))
57	55, 56	mtbid 323	. 2 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆)
58	1, 57	vtocle 3575	1 ⊢ ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   − cmin 11440  2c2 12263  ℤcz 12554  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  ⟨“cs1 14541  UpWord cupword 45578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-upword 45579

This theorem is referenced by: (None)