Theorem tworepnotupword 46877

Description: Concatenation of identical singletons is never an increasing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
tworepnotupword.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tworepnotupword	⊢ ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem tworepnotupword

Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7402	. 2 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ V
2		c0ex 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
3	2	isseti 3462	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑘 𝑘 = 0
4		0z 12516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		ccat2s1len 14564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) = 2
6	5	oveq1i 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = (2 − 1)
7		2m1e1 12283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
8	6, 7	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = 1
9		1z 12539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
10	8, 9	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ
11		0lt1 11676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12	11, 8	breqtrri 5129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)
13		fzolb 13602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
14	4, 10, 12, 13	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
15		eleq1a 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
17		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (♯‘𝑏) = (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)))
18	17	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((♯‘𝑏) − 1) = ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
19	18	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (0..^((♯‘𝑏) − 1)) = (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
20	19	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
21	16, 20	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))))
22		et-ltneverrefl 46862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴
23		fveq1 6839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0))
24		tworepnotupword.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ∈ V
25		ccat2s1p1 14570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴
27	23, 26	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = 𝐴)
28		fveq1 6839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)))
29		1e0p1 12667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
30	29	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1))
31		ccat2s1p2 14571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴)
32	24, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴
33	30, 32	eqtr3i 2754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)) = 𝐴
34	28, 33	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = 𝐴)
35	27, 34	breq12d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) ↔ 𝐴 < 𝐴))
36	22, 35	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)))
37		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘0))
38		fvoveq1 7392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏‘(𝑘 + 1)) = (𝑏‘(0 + 1)))
39	37, 38	breq12d 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
40	39	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) → (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
41	40	con3d 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) → ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
42	36, 41	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
43	21, 42	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
44	43	eximdv 1917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (∃𝑘 𝑘 = 0 → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
45	3, 44	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
46		nfre1 3260	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))
47		rspe 3225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
48	46, 47	exlimi 2218	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
49	45, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
50		rexnal 3082	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
51	49, 50	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
52		df-upword 46870	. . . . . 6 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))}
53	52	eqabri 2871	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
54	53	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
55	51, 54	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ 𝑏 ∈ UpWord 𝑆)
56		eleq1 2816	. . 3 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆))
57	55, 56	mtbid 324	. 2 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆)
58	1, 57	vtocle 3518	1 ⊢ ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   − cmin 11381  2c2 12217  ℤcz 12505  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454   ++ cconcat 14511  ⟨“cs1 14536  UpWord cupword 46869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-upword 46870

This theorem is referenced by: (None)