Theorem tworepnotupword 46805

Description: Concatenation of identical singletons is never an increasing sequence. (Contributed by Ender Ting, 22-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
tworepnotupword.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
tworepnotupword	⊢ ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem tworepnotupword

Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7481	. 2 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ V
2		c0ex 11284	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
3	2	isseti 3506	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑘 𝑘 = 0
4		0z 12650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		ccat2s1len 14671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) = 2
6	5	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = (2 − 1)
7		2m1e1 12419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
8	6, 7	eqtri 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) = 1
9		1z 12673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
10	8, 9	eqeltri 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ
11		0lt1 11812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
12	11, 8	breqtrri 5193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)
13		fzolb 13722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
14	4, 10, 12, 13	mpbir3an 1341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
15		eleq1a 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
17		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (♯‘𝑏) = (♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)))
18	17	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((♯‘𝑏) − 1) = ((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))
19	18	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (0..^((♯‘𝑏) − 1)) = (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1)))
20	19	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0..^((♯‘(⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)) − 1))))
21	16, 20	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))))
22		et-ltneverrefl 46792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝐴 < 𝐴
23		fveq1 6919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0))
24		tworepnotupword.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ∈ V
25		ccat2s1p1 14677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = 𝐴
27	23, 26	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘0) = 𝐴)
28		fveq1 6919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)))
29		1e0p1 12800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
30	29	fveq2i 6923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1))
31		ccat2s1p2 14678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴)
32	24, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘1) = 𝐴
33	30, 32	eqtr3i 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + 1)) = 𝐴
34	28, 33	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏‘(0 + 1)) = 𝐴)
35	27, 34	breq12d 5179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ((𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) ↔ 𝐴 < 𝐴))
36	22, 35	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)))
37		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘0))
38		fvoveq1 7471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏‘(𝑘 + 1)) = (𝑏‘(0 + 1)))
39	37, 38	breq12d 5179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
40	39	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) → (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1))))
41	40	con3d 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (¬ (𝑏‘0) < (𝑏‘(0 + 1)) → ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
42	36, 41	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
43	21, 42	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
44	43	eximdv 1916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (∃𝑘 𝑘 = 0 → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))))
45	3, 44	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
46		nfre1 3291	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))
47		rspe 3255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
48	46, 47	exlimi 2218	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘(𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ∧ ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
49	45, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
50		rexnal 3106	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1)) ¬ (𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
51	49, 50	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
52		df-upword 46798	. . . . . 6 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))}
53	52	eqabri 2888	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1))))
54	53	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑏) − 1))(𝑏‘𝑘) < (𝑏‘(𝑘 + 1)))
55	51, 54	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ 𝑏 ∈ UpWord 𝑆)
56		eleq1 2832	. . 3 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → (𝑏 ∈ UpWord 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆))
57	55, 56	mtbid 324	. 2 ⊢ (𝑏 = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) → ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆)
58	1, 57	vtocle 3567	1 ⊢ ¬ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   − cmin 11520  2c2 12348  ℤcz 12639  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562   ++ cconcat 14618  ⟨“cs1 14643  UpWord cupword 46797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-upword 46798

This theorem is referenced by: (None)