Theorem simpcntrab 46866

Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpcntrab.a	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpcntrab.b	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpcntrab.c	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
simpcntrab.d	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpcntrab	⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Proof of Theorem simpcntrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpcntrab.a	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpcntrab.b	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpcntrab.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	3	simpggrpd 20083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpcntrab.c	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
6	5	cntrnsg 19332	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
8	1, 2, 3, 7	simpgnsgeqd 20089	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵))
9	8	ancli 548	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)))
10		andi 1009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
11	10	biimpi 216	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) → ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) → 𝑍 = { 0 })
13	12	orim1i 909	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
14		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = 𝐵 → (𝐺 ↾s 𝑍) = (𝐺 ↾s 𝐵))
15	5	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑍) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺))
16	14, 15	eqtr3di 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = 𝐵 → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)))
18	1	ressid 17270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
21	17, 20	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) = 𝐺)
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺))
23	22	cntrabl 19829	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
24	4, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
26	21, 25	eqeltrrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
27	26	orim2i 910	. 2 ⊢ ((𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))
28	9, 11, 13, 27	4syl 19	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  NrmSGrpcnsg 19109  Cntrccntr 19304  Abelcabl 19767  SimpGrpcsimpg 20078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-nsg 19112  df-cntz 19305  df-cntr 19306  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-simpg 20079

This theorem is referenced by: (None)