Theorem simpcntrab 47056

Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpcntrab.a	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpcntrab.b	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpcntrab.c	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
simpcntrab.d	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpcntrab	⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Proof of Theorem simpcntrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpcntrab.a	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpcntrab.b	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpcntrab.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	3	simpggrpd 20024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpcntrab.c	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
6	5	cntrnsg 19271	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
8	1, 2, 3, 7	simpgnsgeqd 20030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵))
9	8	ancli 548	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)))
10		andi 1009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
11	10	biimpi 216	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) → ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) → 𝑍 = { 0 })
13	12	orim1i 909	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
14		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = 𝐵 → (𝐺 ↾s 𝑍) = (𝐺 ↾s 𝐵))
15	5	oveq2i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑍) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺))
16	14, 15	eqtr3di 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = 𝐵 → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)))
18	1	ressid 17169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
21	17, 20	eqtr3d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) = 𝐺)
22		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺))
23	22	cntrabl 19770	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
24	4, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
26	21, 25	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
27	26	orim2i 910	. 2 ⊢ ((𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))
28	9, 11, 13, 27	4syl 19	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4578  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  NrmSGrpcnsg 19049  Cntrccntr 19243  Abelcabl 19708  SimpGrpcsimpg 20019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-nsg 19052  df-cntz 19244  df-cntr 19245  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-simpg 20020

This theorem is referenced by: (None)