![]() |
Mathbox for Saveliy Skresanov |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > simpcntrab | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
simpcntrab.a | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
simpcntrab.b | โข 0 = (0gโ๐บ) |
simpcntrab.c | โข ๐ = (Cntrโ๐บ) |
simpcntrab.d | โข (๐ โ ๐บ โ SimpGrp) |
Ref | Expression |
---|---|
simpcntrab | โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpcntrab.a | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
2 | simpcntrab.b | . . . . 5 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
3 | simpcntrab.d | . . . . 5 โข (๐ โ ๐บ โ SimpGrp) | |
4 | 3 | simpggrpd 20054 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐บ โ Grp) |
5 | simpcntrab.c | . . . . . . 7 โข ๐ = (Cntrโ๐บ) | |
6 | 5 | cntrnsg 19297 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Grp โ ๐ โ (NrmSGrpโ๐บ)) |
7 | 4, 6 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (NrmSGrpโ๐บ)) |
8 | 1, 2, 3, 7 | simpgnsgeqd 20060 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) |
9 | 8 | ancli 547 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต))) |
10 | andi 1005 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) โ ((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) | |
11 | 10 | biimpi 215 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) โ ((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
12 | simpr 483 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = { 0 }) โ ๐ = { 0 }) | |
13 | 12 | orim1i 907 | . . 3 โข (((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต)) โ (๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
14 | 9, 11, 13 | 3syl 18 | . 2 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
15 | oveq2 7423 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ต โ (๐บ โพs ๐) = (๐บ โพs ๐ต)) | |
16 | 5 | oveq2i 7426 | . . . . . . 7 โข (๐บ โพs ๐) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) |
17 | 15, 16 | eqtr3di 2780 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ต โ (๐บ โพs ๐ต) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ))) |
18 | 17 | adantl 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs ๐ต) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ))) |
19 | 1 | ressid 17222 | . . . . . . 7 โข (๐บ โ Grp โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
20 | 4, 19 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
21 | 20 | adantr 479 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
22 | 18, 21 | eqtr3d 2767 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) = ๐บ) |
23 | eqid 2725 | . . . . . . 7 โข (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) | |
24 | 23 | cntrabl 19800 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Grp โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
25 | 4, 24 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
26 | 25 | adantr 479 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
27 | 22, 26 | eqeltrrd 2826 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐บ โ Abel) |
28 | 27 | orim2i 908 | . 2 โข ((๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต)) โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
29 | 14, 28 | syl 17 | 1 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โจ wo 845 = wceq 1533 โ wcel 2098 {csn 4624 โcfv 6542 (class class class)co 7415 Basecbs 17177 โพs cress 17206 0gc0g 17418 Grpcgrp 18892 NrmSGrpcnsg 19078 Cntrccntr 19269 Abelcabl 19738 SimpGrpcsimpg 20049 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-cnex 11192 ax-resscn 11193 ax-1cn 11194 ax-icn 11195 ax-addcl 11196 ax-addrcl 11197 ax-mulcl 11198 ax-mulrcl 11199 ax-mulcom 11200 ax-addass 11201 ax-mulass 11202 ax-distr 11203 ax-i2m1 11204 ax-1ne0 11205 ax-1rid 11206 ax-rnegex 11207 ax-rrecex 11208 ax-cnre 11209 ax-pre-lttri 11210 ax-pre-lttrn 11211 ax-pre-ltadd 11212 ax-pre-mulgt0 11213 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3960 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-om 7868 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-1o 8483 df-2o 8484 df-er 8721 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-fin 8964 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-sub 11474 df-neg 11475 df-nn 12241 df-2 12303 df-sets 17130 df-slot 17148 df-ndx 17160 df-base 17178 df-ress 17207 df-plusg 17243 df-0g 17420 df-mgm 18597 df-sgrp 18676 df-mnd 18692 df-submnd 18738 df-grp 18895 df-minusg 18896 df-sbg 18897 df-subg 19080 df-nsg 19081 df-cntz 19270 df-cntr 19271 df-cmn 19739 df-abl 19740 df-simpg 20050 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |