Theorem simpcntrab 47135

Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpcntrab.a	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpcntrab.b	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpcntrab.c	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
simpcntrab.d	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpcntrab	⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Proof of Theorem simpcntrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpcntrab.a	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpcntrab.b	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpcntrab.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	3	simpggrpd 20028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpcntrab.c	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
6	5	cntrnsg 19275	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
8	1, 2, 3, 7	simpgnsgeqd 20034	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵))
9	8	ancli 548	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)))
10		andi 1009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
11	10	biimpi 216	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) → ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) → 𝑍 = { 0 })
13	12	orim1i 909	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
14		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = 𝐵 → (𝐺 ↾s 𝑍) = (𝐺 ↾s 𝐵))
15	5	oveq2i 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑍) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺))
16	14, 15	eqtr3di 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = 𝐵 → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)))
18	1	ressid 17173	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
21	17, 20	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) = 𝐺)
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺))
23	22	cntrabl 19774	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
24	4, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
26	21, 25	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
27	26	orim2i 910	. 2 ⊢ ((𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))
28	9, 11, 13, 27	4syl 19	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18865  NrmSGrpcnsg 19053  Cntrccntr 19247  Abelcabl 19712  SimpGrpcsimpg 20023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-cntz 19248  df-cntr 19249  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-simpg 20024

This theorem is referenced by: (None)