![]() |
Mathbox for Saveliy Skresanov |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > simpcntrab | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
simpcntrab.a | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
simpcntrab.b | โข 0 = (0gโ๐บ) |
simpcntrab.c | โข ๐ = (Cntrโ๐บ) |
simpcntrab.d | โข (๐ โ ๐บ โ SimpGrp) |
Ref | Expression |
---|---|
simpcntrab | โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpcntrab.a | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
2 | simpcntrab.b | . . . . 5 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
3 | simpcntrab.d | . . . . 5 โข (๐ โ ๐บ โ SimpGrp) | |
4 | 3 | simpggrpd 19865 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐บ โ Grp) |
5 | simpcntrab.c | . . . . . . 7 โข ๐ = (Cntrโ๐บ) | |
6 | 5 | cntrnsg 19113 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Grp โ ๐ โ (NrmSGrpโ๐บ)) |
7 | 4, 6 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (NrmSGrpโ๐บ)) |
8 | 1, 2, 3, 7 | simpgnsgeqd 19871 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) |
9 | 8 | ancli 549 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต))) |
10 | andi 1006 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) โ ((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) | |
11 | 10 | biimpi 215 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) โ ((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
12 | simpr 485 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = { 0 }) โ ๐ = { 0 }) | |
13 | 12 | orim1i 908 | . . 3 โข (((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต)) โ (๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
14 | 9, 11, 13 | 3syl 18 | . 2 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
15 | oveq2 7361 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ต โ (๐บ โพs ๐) = (๐บ โพs ๐ต)) | |
16 | 5 | oveq2i 7364 | . . . . . . 7 โข (๐บ โพs ๐) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) |
17 | 15, 16 | eqtr3di 2791 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ต โ (๐บ โพs ๐ต) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ))) |
18 | 17 | adantl 482 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs ๐ต) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ))) |
19 | 1 | ressid 17117 | . . . . . . 7 โข (๐บ โ Grp โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
20 | 4, 19 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
21 | 20 | adantr 481 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
22 | 18, 21 | eqtr3d 2778 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) = ๐บ) |
23 | eqid 2736 | . . . . . . 7 โข (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) | |
24 | 23 | cntrabl 19612 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Grp โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
25 | 4, 24 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
26 | 25 | adantr 481 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
27 | 22, 26 | eqeltrrd 2839 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐บ โ Abel) |
28 | 27 | orim2i 909 | . 2 โข ((๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต)) โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
29 | 14, 28 | syl 17 | 1 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โจ wo 845 = wceq 1541 โ wcel 2106 {csn 4584 โcfv 6493 (class class class)co 7353 Basecbs 17075 โพs cress 17104 0gc0g 17313 Grpcgrp 18740 NrmSGrpcnsg 18914 Cntrccntr 19087 Abelcabl 19554 SimpGrpcsimpg 19860 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5240 ax-sep 5254 ax-nul 5261 ax-pow 5318 ax-pr 5382 ax-un 7668 ax-cnex 11103 ax-resscn 11104 ax-1cn 11105 ax-icn 11106 ax-addcl 11107 ax-addrcl 11108 ax-mulcl 11109 ax-mulrcl 11110 ax-mulcom 11111 ax-addass 11112 ax-mulass 11113 ax-distr 11114 ax-i2m1 11115 ax-1ne0 11116 ax-1rid 11117 ax-rnegex 11118 ax-rrecex 11119 ax-cnre 11120 ax-pre-lttri 11121 ax-pre-lttrn 11122 ax-pre-ltadd 11123 ax-pre-mulgt0 11124 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3445 df-sbc 3738 df-csb 3854 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3927 df-nul 4281 df-if 4485 df-pw 4560 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4864 df-iun 4954 df-br 5104 df-opab 5166 df-mpt 5187 df-tr 5221 df-id 5529 df-eprel 5535 df-po 5543 df-so 5544 df-fr 5586 df-we 5588 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6251 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6445 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-riota 7309 df-ov 7356 df-oprab 7357 df-mpo 7358 df-om 7799 df-1st 7917 df-2nd 7918 df-frecs 8208 df-wrecs 8239 df-recs 8313 df-rdg 8352 df-1o 8408 df-2o 8409 df-er 8644 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-pnf 11187 df-mnf 11188 df-xr 11189 df-ltxr 11190 df-le 11191 df-sub 11383 df-neg 11384 df-nn 12150 df-2 12212 df-sets 17028 df-slot 17046 df-ndx 17058 df-base 17076 df-ress 17105 df-plusg 17138 df-0g 17315 df-mgm 18489 df-sgrp 18538 df-mnd 18549 df-submnd 18594 df-grp 18743 df-minusg 18744 df-sbg 18745 df-subg 18916 df-nsg 18917 df-cntz 19088 df-cntr 19089 df-cmn 19555 df-abl 19556 df-simpg 19861 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |