Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  simpcntrab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem simpcntrab 46826
Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
simpcntrab.a 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpcntrab.b 0 = (0g𝐺)
simpcntrab.c 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
simpcntrab.d (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
simpcntrab (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Proof of Theorem simpcntrab
StepHypRef Expression
1 simpcntrab.a . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 simpcntrab.b . . . 4 0 = (0g𝐺)
3 simpcntrab.d . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
43simpggrpd 20130 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5 simpcntrab.c . . . . . 6 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
65cntrnsg 19375 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
81, 2, 3, 7simpgnsgeqd 20136 . . 3 (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵))
98ancli 548 . 2 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)))
10 andi 1009 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) ↔ ((𝜑𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑𝑍 = 𝐵)))
1110biimpi 216 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) → ((𝜑𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑𝑍 = 𝐵)))
12 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑍 = { 0 }) → 𝑍 = { 0 })
1312orim1i 909 . 2 (((𝜑𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑𝑍 = 𝐵)))
14 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑍 = 𝐵 → (𝐺s 𝑍) = (𝐺s 𝐵))
155oveq2i 7442 . . . . . . 7 (𝐺s 𝑍) = (𝐺s (Cntr‘𝐺))
1614, 15eqtr3di 2790 . . . . . 6 (𝑍 = 𝐵 → (𝐺s 𝐵) = (𝐺s (Cntr‘𝐺)))
1716adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑍 = 𝐵) → (𝐺s 𝐵) = (𝐺s (Cntr‘𝐺)))
181ressid 17290 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺s 𝐵) = 𝐺)
194, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺s 𝐵) = 𝐺)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑍 = 𝐵) → (𝐺s 𝐵) = 𝐺)
2117, 20eqtr3d 2777 . . . 4 ((𝜑𝑍 = 𝐵) → (𝐺s (Cntr‘𝐺)) = 𝐺)
22 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝐺s (Cntr‘𝐺)) = (𝐺s (Cntr‘𝐺))
2322cntrabl 19876 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
244, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
2524adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑍 = 𝐵) → (𝐺s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
2621, 25eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝜑𝑍 = 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
2726orim2i 910 . 2 ((𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))
289, 11, 13, 274syl 19 1 (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  NrmSGrpcnsg 19152  Cntrccntr 19347  Abelcabl 19814  SimpGrpcsimpg 20125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-cntz 19348  df-cntr 19349  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-simpg 20126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator