![]() |
Mathbox for Saveliy Skresanov |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > simpcntrab | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
simpcntrab.a | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
simpcntrab.b | โข 0 = (0gโ๐บ) |
simpcntrab.c | โข ๐ = (Cntrโ๐บ) |
simpcntrab.d | โข (๐ โ ๐บ โ SimpGrp) |
Ref | Expression |
---|---|
simpcntrab | โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpcntrab.a | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
2 | simpcntrab.b | . . . . 5 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
3 | simpcntrab.d | . . . . 5 โข (๐ โ ๐บ โ SimpGrp) | |
4 | 3 | simpggrpd 19959 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐บ โ Grp) |
5 | simpcntrab.c | . . . . . . 7 โข ๐ = (Cntrโ๐บ) | |
6 | 5 | cntrnsg 19202 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Grp โ ๐ โ (NrmSGrpโ๐บ)) |
7 | 4, 6 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (NrmSGrpโ๐บ)) |
8 | 1, 2, 3, 7 | simpgnsgeqd 19965 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) |
9 | 8 | ancli 549 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต))) |
10 | andi 1006 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) โ ((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) | |
11 | 10 | biimpi 215 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) โ ((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
12 | simpr 485 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = { 0 }) โ ๐ = { 0 }) | |
13 | 12 | orim1i 908 | . . 3 โข (((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต)) โ (๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
14 | 9, 11, 13 | 3syl 18 | . 2 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
15 | oveq2 7413 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ต โ (๐บ โพs ๐) = (๐บ โพs ๐ต)) | |
16 | 5 | oveq2i 7416 | . . . . . . 7 โข (๐บ โพs ๐) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) |
17 | 15, 16 | eqtr3di 2787 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ต โ (๐บ โพs ๐ต) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ))) |
18 | 17 | adantl 482 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs ๐ต) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ))) |
19 | 1 | ressid 17185 | . . . . . . 7 โข (๐บ โ Grp โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
20 | 4, 19 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
21 | 20 | adantr 481 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
22 | 18, 21 | eqtr3d 2774 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) = ๐บ) |
23 | eqid 2732 | . . . . . . 7 โข (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) | |
24 | 23 | cntrabl 19705 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Grp โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
25 | 4, 24 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
26 | 25 | adantr 481 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
27 | 22, 26 | eqeltrrd 2834 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐บ โ Abel) |
28 | 27 | orim2i 909 | . 2 โข ((๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต)) โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
29 | 14, 28 | syl 17 | 1 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โจ wo 845 = wceq 1541 โ wcel 2106 {csn 4627 โcfv 6540 (class class class)co 7405 Basecbs 17140 โพs cress 17169 0gc0g 17381 Grpcgrp 18815 NrmSGrpcnsg 18995 Cntrccntr 19174 Abelcabl 19643 SimpGrpcsimpg 19954 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-nn 12209 df-2 12271 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-0g 17383 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-submnd 18668 df-grp 18818 df-minusg 18819 df-sbg 18820 df-subg 18997 df-nsg 18998 df-cntz 19175 df-cntr 19176 df-cmn 19644 df-abl 19645 df-simpg 19955 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |