Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  simpcntrab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem simpcntrab 45572
Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
simpcntrab.a ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
simpcntrab.b 0 = (0gโ€˜๐บ)
simpcntrab.c ๐‘ = (Cntrโ€˜๐บ)
simpcntrab.d (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
simpcntrab (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))

Proof of Theorem simpcntrab
StepHypRef Expression
1 simpcntrab.a . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 simpcntrab.b . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐บ)
3 simpcntrab.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
43simpggrpd 19959 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
5 simpcntrab.c . . . . . . 7 ๐‘ = (Cntrโ€˜๐บ)
65cntrnsg 19202 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐‘ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐บ))
74, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐บ))
81, 2, 3, 7simpgnsgeqd 19965 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต))
98ancli 549 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)))
10 andi 1006 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
1110biimpi 215 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
12 simpr 485 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โ†’ ๐‘ = { 0 })
1312orim1i 908 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)) โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
149, 11, 133syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
15 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐บ โ†พs ๐‘) = (๐บ โ†พs ๐ต))
165oveq2i 7416 . . . . . . 7 (๐บ โ†พs ๐‘) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ))
1715, 16eqtr3di 2787 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)))
1817adantl 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)))
191ressid 17185 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
204, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
2120adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
2218, 21eqtr3d 2774 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) = ๐บ)
23 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ))
2423cntrabl 19705 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
254, 24syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
2625adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
2722, 26eqeltrrd 2834 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
2827orim2i 909 . 2 ((๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)) โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))
2914, 28syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {csn 4627  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   โ†พs cress 17169  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  NrmSGrpcnsg 18995  Cntrccntr 19174  Abelcabl 19643  SimpGrpcsimpg 19954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-cntz 19175  df-cntr 19176  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-simpg 19955
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator