Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  simpcntrab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem simpcntrab 45012
Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
simpcntrab.a ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
simpcntrab.b 0 = (0gโ€˜๐บ)
simpcntrab.c ๐‘ = (Cntrโ€˜๐บ)
simpcntrab.d (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
simpcntrab (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))

Proof of Theorem simpcntrab
StepHypRef Expression
1 simpcntrab.a . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 simpcntrab.b . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐บ)
3 simpcntrab.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
43simpggrpd 19833 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
5 simpcntrab.c . . . . . . 7 ๐‘ = (Cntrโ€˜๐บ)
65cntrnsg 19081 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐‘ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐บ))
74, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐บ))
81, 2, 3, 7simpgnsgeqd 19839 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต))
98ancli 549 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)))
10 andi 1006 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
1110biimpi 215 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
12 simpr 485 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โ†’ ๐‘ = { 0 })
1312orim1i 908 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)) โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
149, 11, 133syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
15 oveq2 7359 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐บ โ†พs ๐‘) = (๐บ โ†พs ๐ต))
165oveq2i 7362 . . . . . . 7 (๐บ โ†พs ๐‘) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ))
1715, 16eqtr3di 2792 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)))
1817adantl 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)))
191ressid 17085 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
204, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
2120adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
2218, 21eqtr3d 2779 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) = ๐บ)
23 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ))
2423cntrabl 19580 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
254, 24syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
2625adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
2722, 26eqeltrrd 2839 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
2827orim2i 909 . 2 ((๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)) โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))
2914, 28syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {csn 4584  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17043   โ†พs cress 17072  0gc0g 17281  Grpcgrp 18708  NrmSGrpcnsg 18882  Cntrccntr 19055  Abelcabl 19522  SimpGrpcsimpg 19828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-nsg 18885  df-cntz 19056  df-cntr 19057  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-simpg 19829
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator