Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  simpcntrab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem simpcntrab 46163
Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
simpcntrab.a ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
simpcntrab.b 0 = (0gโ€˜๐บ)
simpcntrab.c ๐‘ = (Cntrโ€˜๐บ)
simpcntrab.d (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
simpcntrab (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))

Proof of Theorem simpcntrab
StepHypRef Expression
1 simpcntrab.a . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 simpcntrab.b . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐บ)
3 simpcntrab.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
43simpggrpd 20017 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
5 simpcntrab.c . . . . . . 7 ๐‘ = (Cntrโ€˜๐บ)
65cntrnsg 19260 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐‘ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐บ))
74, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐บ))
81, 2, 3, 7simpgnsgeqd 20023 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต))
98ancli 548 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)))
10 andi 1004 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
1110biimpi 215 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
12 simpr 484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โ†’ ๐‘ = { 0 })
1312orim1i 906 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)) โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
149, 11, 133syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
15 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐บ โ†พs ๐‘) = (๐บ โ†พs ๐ต))
165oveq2i 7416 . . . . . . 7 (๐บ โ†พs ๐‘) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ))
1715, 16eqtr3di 2781 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)))
1817adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)))
191ressid 17198 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
204, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
2120adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
2218, 21eqtr3d 2768 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) = ๐บ)
23 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ))
2423cntrabl 19763 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
254, 24syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
2625adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
2722, 26eqeltrrd 2828 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
2827orim2i 907 . 2 ((๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)) โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))
2914, 28syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {csn 4623  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   โ†พs cress 17182  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  NrmSGrpcnsg 19048  Cntrccntr 19232  Abelcabl 19701  SimpGrpcsimpg 20012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-cntz 19233  df-cntr 19234  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-simpg 20013
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator