Theorem simpcntrab 46885

Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpcntrab.a	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpcntrab.b	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpcntrab.c	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
simpcntrab.d	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpcntrab	⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Proof of Theorem simpcntrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpcntrab.a	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpcntrab.b	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpcntrab.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	3	simpggrpd 20115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpcntrab.c	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
6	5	cntrnsg 19362	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
8	1, 2, 3, 7	simpgnsgeqd 20121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵))
9	8	ancli 548	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)))
10		andi 1010	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
11	10	biimpi 216	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) → ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) → 𝑍 = { 0 })
13	12	orim1i 910	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
14		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = 𝐵 → (𝐺 ↾s 𝑍) = (𝐺 ↾s 𝐵))
15	5	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑍) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺))
16	14, 15	eqtr3di 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = 𝐵 → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)))
18	1	ressid 17290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
21	17, 20	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) = 𝐺)
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺))
23	22	cntrabl 19861	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
24	4, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
26	21, 25	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
27	26	orim2i 911	. 2 ⊢ ((𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))
28	9, 11, 13, 27	4syl 19	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  NrmSGrpcnsg 19139  Cntrccntr 19334  Abelcabl 19799  SimpGrpcsimpg 20110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-cntz 19335  df-cntr 19336  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-simpg 20111

This theorem is referenced by: (None)