Theorem simpcntrab 47604

Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpcntrab.a	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpcntrab.b	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpcntrab.c	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
simpcntrab.d	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpcntrab	⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Proof of Theorem simpcntrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpcntrab.a	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simpcntrab.b	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		simpcntrab.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
4	3	simpggrpd 20162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpcntrab.c	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
6	5	cntrnsg 19409	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
8	1, 2, 3, 7	simpgnsgeqd 20168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵))
9	8	ancli 557	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)))
10		andi 1025	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
11	10	biimpi 219	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 = { 0 } ∨ 𝑍 = 𝐵)) → ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
12		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) → 𝑍 = { 0 })
13	12	orim1i 922	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 = { 0 }) ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)))
14		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = 𝐵 → (𝐺 ↾s 𝑍) = (𝐺 ↾s 𝐵))
15	5	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑍) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺))
16	14, 15	eqtr3di 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 = 𝐵 → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)))
17	16	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)))
18	1	ressid 17299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
19	4, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
20	19	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
21	17, 20	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) = 𝐺)
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) = (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺))
23	22	cntrabl 19908	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
24	4, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
25	24	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → (𝐺 ↾s (Cntr‘𝐺)) ∈ Abel)
26	21, 25	eqeltrrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
27	26	orim2i 923	. 2 ⊢ ((𝑍 = { 0 } ∨ (𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐵)) → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))
28	9, 11, 13, 27	4syl 20	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = { 0 } ∨ 𝐺 ∈ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  NrmSGrpcnsg 19182  Cntrccntr 19381  Abelcabl 19846  SimpGrpcsimpg 20157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-nsg 19185  df-cntz 19382  df-cntr 19383  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-simpg 20158

This theorem is referenced by: (None)