Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  simpcntrab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem simpcntrab 46320
Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
simpcntrab.a ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
simpcntrab.b 0 = (0gโ€˜๐บ)
simpcntrab.c ๐‘ = (Cntrโ€˜๐บ)
simpcntrab.d (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
simpcntrab (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))

Proof of Theorem simpcntrab
StepHypRef Expression
1 simpcntrab.a . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 simpcntrab.b . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐บ)
3 simpcntrab.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
43simpggrpd 20054 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
5 simpcntrab.c . . . . . . 7 ๐‘ = (Cntrโ€˜๐บ)
65cntrnsg 19297 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐‘ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐บ))
74, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐บ))
81, 2, 3, 7simpgnsgeqd 20060 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต))
98ancli 547 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)))
10 andi 1005 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
1110biimpi 215 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐‘ = ๐ต)) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
12 simpr 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โ†’ ๐‘ = { 0 })
1312orim1i 907 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ = { 0 }) โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)) โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
149, 11, 133syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)))
15 oveq2 7423 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐บ โ†พs ๐‘) = (๐บ โ†พs ๐ต))
165oveq2i 7426 . . . . . . 7 (๐บ โ†พs ๐‘) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ))
1715, 16eqtr3di 2780 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)))
1817adantl 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)))
191ressid 17222 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
204, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
2120adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs ๐ต) = ๐บ)
2218, 21eqtr3d 2767 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) = ๐บ)
23 eqid 2725 . . . . . . 7 (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) = (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ))
2423cntrabl 19800 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
254, 24syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
2625adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐บ โ†พs (Cntrโ€˜๐บ)) โˆˆ Abel)
2722, 26eqeltrrd 2826 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
2827orim2i 908 . 2 ((๐‘ = { 0 } โˆจ (๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐ต)) โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))
2914, 28syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = { 0 } โˆจ ๐บ โˆˆ Abel))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {csn 4624  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177   โ†พs cress 17206  0gc0g 17418  Grpcgrp 18892  NrmSGrpcnsg 19078  Cntrccntr 19269  Abelcabl 19738  SimpGrpcsimpg 20049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-nsg 19081  df-cntz 19270  df-cntr 19271  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-simpg 20050
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator