![]() |
Mathbox for Saveliy Skresanov |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > simpcntrab | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
simpcntrab.a | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
simpcntrab.b | โข 0 = (0gโ๐บ) |
simpcntrab.c | โข ๐ = (Cntrโ๐บ) |
simpcntrab.d | โข (๐ โ ๐บ โ SimpGrp) |
Ref | Expression |
---|---|
simpcntrab | โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpcntrab.a | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
2 | simpcntrab.b | . . . . 5 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
3 | simpcntrab.d | . . . . 5 โข (๐ โ ๐บ โ SimpGrp) | |
4 | 3 | simpggrpd 19833 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐บ โ Grp) |
5 | simpcntrab.c | . . . . . . 7 โข ๐ = (Cntrโ๐บ) | |
6 | 5 | cntrnsg 19081 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Grp โ ๐ โ (NrmSGrpโ๐บ)) |
7 | 4, 6 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (NrmSGrpโ๐บ)) |
8 | 1, 2, 3, 7 | simpgnsgeqd 19839 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) |
9 | 8 | ancli 549 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต))) |
10 | andi 1006 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) โ ((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) | |
11 | 10 | biimpi 215 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) โ ((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
12 | simpr 485 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = { 0 }) โ ๐ = { 0 }) | |
13 | 12 | orim1i 908 | . . 3 โข (((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต)) โ (๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
14 | 9, 11, 13 | 3syl 18 | . 2 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
15 | oveq2 7359 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ต โ (๐บ โพs ๐) = (๐บ โพs ๐ต)) | |
16 | 5 | oveq2i 7362 | . . . . . . 7 โข (๐บ โพs ๐) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) |
17 | 15, 16 | eqtr3di 2792 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ต โ (๐บ โพs ๐ต) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ))) |
18 | 17 | adantl 482 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs ๐ต) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ))) |
19 | 1 | ressid 17085 | . . . . . . 7 โข (๐บ โ Grp โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
20 | 4, 19 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
21 | 20 | adantr 481 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
22 | 18, 21 | eqtr3d 2779 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) = ๐บ) |
23 | eqid 2737 | . . . . . . 7 โข (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) | |
24 | 23 | cntrabl 19580 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Grp โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
25 | 4, 24 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
26 | 25 | adantr 481 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
27 | 22, 26 | eqeltrrd 2839 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐บ โ Abel) |
28 | 27 | orim2i 909 | . 2 โข ((๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต)) โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
29 | 14, 28 | syl 17 | 1 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โจ wo 845 = wceq 1541 โ wcel 2106 {csn 4584 โcfv 6493 (class class class)co 7351 Basecbs 17043 โพs cress 17072 0gc0g 17281 Grpcgrp 18708 NrmSGrpcnsg 18882 Cntrccntr 19055 Abelcabl 19522 SimpGrpcsimpg 19828 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2708 ax-rep 5240 ax-sep 5254 ax-nul 5261 ax-pow 5318 ax-pr 5382 ax-un 7664 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3445 df-sbc 3738 df-csb 3854 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3927 df-nul 4281 df-if 4485 df-pw 4560 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4864 df-iun 4954 df-br 5104 df-opab 5166 df-mpt 5187 df-tr 5221 df-id 5529 df-eprel 5535 df-po 5543 df-so 5544 df-fr 5586 df-we 5588 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6251 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6445 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-riota 7307 df-ov 7354 df-oprab 7355 df-mpo 7356 df-om 7795 df-1st 7913 df-2nd 7914 df-frecs 8204 df-wrecs 8235 df-recs 8309 df-rdg 8348 df-1o 8404 df-2o 8405 df-er 8606 df-en 8842 df-dom 8843 df-sdom 8844 df-fin 8845 df-pnf 11149 df-mnf 11150 df-xr 11151 df-ltxr 11152 df-le 11153 df-sub 11345 df-neg 11346 df-nn 12112 df-2 12174 df-sets 16996 df-slot 17014 df-ndx 17026 df-base 17044 df-ress 17073 df-plusg 17106 df-0g 17283 df-mgm 18457 df-sgrp 18506 df-mnd 18517 df-submnd 18562 df-grp 18711 df-minusg 18712 df-sbg 18713 df-subg 18884 df-nsg 18885 df-cntz 19056 df-cntr 19057 df-cmn 19523 df-abl 19524 df-simpg 19829 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |