![]() |
Mathbox for Saveliy Skresanov |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > simpcntrab | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The center of a simple group is trivial or the group is abelian. (Contributed by SS, 3-Jan-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
simpcntrab.a | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
simpcntrab.b | โข 0 = (0gโ๐บ) |
simpcntrab.c | โข ๐ = (Cntrโ๐บ) |
simpcntrab.d | โข (๐ โ ๐บ โ SimpGrp) |
Ref | Expression |
---|---|
simpcntrab | โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpcntrab.a | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
2 | simpcntrab.b | . . . . 5 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
3 | simpcntrab.d | . . . . 5 โข (๐ โ ๐บ โ SimpGrp) | |
4 | 3 | simpggrpd 20017 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐บ โ Grp) |
5 | simpcntrab.c | . . . . . . 7 โข ๐ = (Cntrโ๐บ) | |
6 | 5 | cntrnsg 19260 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Grp โ ๐ โ (NrmSGrpโ๐บ)) |
7 | 4, 6 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (NrmSGrpโ๐บ)) |
8 | 1, 2, 3, 7 | simpgnsgeqd 20023 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) |
9 | 8 | ancli 548 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต))) |
10 | andi 1004 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) โ ((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) | |
11 | 10 | biimpi 215 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ = { 0 } โจ ๐ = ๐ต)) โ ((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
12 | simpr 484 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = { 0 }) โ ๐ = { 0 }) | |
13 | 12 | orim1i 906 | . . 3 โข (((๐ โง ๐ = { 0 }) โจ (๐ โง ๐ = ๐ต)) โ (๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
14 | 9, 11, 13 | 3syl 18 | . 2 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต))) |
15 | oveq2 7413 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ต โ (๐บ โพs ๐) = (๐บ โพs ๐ต)) | |
16 | 5 | oveq2i 7416 | . . . . . . 7 โข (๐บ โพs ๐) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) |
17 | 15, 16 | eqtr3di 2781 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ต โ (๐บ โพs ๐ต) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ))) |
18 | 17 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs ๐ต) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ))) |
19 | 1 | ressid 17198 | . . . . . . 7 โข (๐บ โ Grp โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
20 | 4, 19 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
21 | 20 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs ๐ต) = ๐บ) |
22 | 18, 21 | eqtr3d 2768 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) = ๐บ) |
23 | eqid 2726 | . . . . . . 7 โข (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) = (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) | |
24 | 23 | cntrabl 19763 | . . . . . 6 โข (๐บ โ Grp โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
25 | 4, 24 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
26 | 25 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ (๐บ โพs (Cntrโ๐บ)) โ Abel) |
27 | 22, 26 | eqeltrrd 2828 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐บ โ Abel) |
28 | 27 | orim2i 907 | . 2 โข ((๐ = { 0 } โจ (๐ โง ๐ = ๐ต)) โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
29 | 14, 28 | syl 17 | 1 โข (๐ โ (๐ = { 0 } โจ ๐บ โ Abel)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โจ wo 844 = wceq 1533 โ wcel 2098 {csn 4623 โcfv 6537 (class class class)co 7405 Basecbs 17153 โพs cress 17182 0gc0g 17394 Grpcgrp 18863 NrmSGrpcnsg 19048 Cntrccntr 19232 Abelcabl 19701 SimpGrpcsimpg 20012 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-2o 8468 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-0g 17396 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-submnd 18714 df-grp 18866 df-minusg 18867 df-sbg 18868 df-subg 19050 df-nsg 19051 df-cntz 19233 df-cntr 19234 df-cmn 19702 df-abl 19703 df-simpg 20013 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |