MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1imaeng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1imaeng 9043
Description: If a function is one-to-one, then the image of a subset of its domain under it is equinumerous to the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeng ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaeng
StepHypRef Expression
1 f1ores 6858 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
2 f1oeng 9000 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
32ancoms 457 . . 3 (((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ∧ 𝐶𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
41, 3stoic3 1770 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
54ensymd 9034 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084  wcel 2098  wss 3949   class class class wbr 5152  cres 5684  cima 5685  1-1wf1 6550  1-1-ontowf1o 6552  cen 8969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-er 8733  df-en 8973
This theorem is referenced by:  f1imaen  9045  ackbij1b  10272  enfin1ai  10417  isercolllem2  15654  pmtrfconj  19435  f1rnen  32443  dimkerim  33366  ballotlemro  34183
  Copyright terms: Public domain W3C validator