Theorem f1imaeng 9020

Description: If a function is one-to-one, then the image of a subset of its domain under it is equinumerous to the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1imaeng	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ores 6842	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(𝐹 “ 𝐶))
2		f1oeng 8976	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(𝐹 “ 𝐶)) → 𝐶 ≈ (𝐹 “ 𝐶))
3	2	ancoms 464	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(𝐹 “ 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹 “ 𝐶))
4	1, 3	stoic3 1809	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹 “ 𝐶))
5	4	ensymd 9011	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114   ↾ cres 5668   “ cima 5669  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542   ≈ cen 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8703  df-en 8953

This theorem is used by:  f1imaen  9023  ackbij1b  10240  enfin1ai  10386  isercolllem2  15743  pmtrfconj  19567  f1rnen  33010  dimkerim  34048  ballotlemro  34945  grtrimap  48754