Theorem f1imaeng 8963

Description: If a function is one-to-one, then the image of a subset of its domain under it is equinumerous to the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1imaeng	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ores 6796	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(𝐹 “ 𝐶))
2		f1oeng 8919	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(𝐹 “ 𝐶)) → 𝐶 ≈ (𝐹 “ 𝐶))
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(𝐹 “ 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹 “ 𝐶))
4	1, 3	stoic3 1778	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹 “ 𝐶))
5	4	ensymd 8954	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↾ cres 5634   “ cima 5635  –1-1→wf1 6497  –1-1-onto→wf1o 6499   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896

This theorem is referenced by:  f1imaen  8966  ackbij1b  10160  enfin1ai  10306  isercolllem2  15601  pmtrfconj  19407  f1rnen  32717  dimkerim  33804  ballotlemro  34700  grtrimap  48302