Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdivval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdivval 44940
 Description: The quotient of two functions into the complex numbers. (Contributed by AV, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fdivval ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))

Proof of Theorem fdivval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fdiv 44939 . . 3 /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)))
21a1i 11 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0))))
3 oveq12 7148 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (𝑓f / 𝑔) = (𝐹f / 𝐺))
4 oveq1 7146 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
54adantl 485 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
63, 5reseq12d 5823 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
76adantl 485 . 2 (((𝐹𝑉𝐺𝑊) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
8 elex 3462 . . 3 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
98adantr 484 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → 𝐹 ∈ V)
10 elex 3462 . . 3 (𝐺𝑊𝐺 ∈ V)
1110adantl 485 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → 𝐺 ∈ V)
12 funmpt 6366 . . . 4 Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
13 offval3 7669 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹f / 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
1413funeqd 6350 . . . 4 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (Fun (𝐹f / 𝐺) ↔ Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))))
1512, 14mpbiri 261 . . 3 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → Fun (𝐹f / 𝐺))
16 ovex 7172 . . 3 (𝐺 supp 0) ∈ V
17 resfunexg 6959 . . 3 ((Fun (𝐹f / 𝐺) ∧ (𝐺 supp 0) ∈ V) → ((𝐹f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
1815, 16, 17sylancl 589 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
192, 7, 9, 11, 18ovmpod 7285 1 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ∩ cin 3883   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523   ↾ cres 5525  Fun wfun 6322  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141   ∘f cof 7391   supp csupp 7817  0cc0 10530   / cdiv 11290   /f cfdiv 44938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-fdiv 44939 This theorem is referenced by:  fdivmpt  44941
 Copyright terms: Public domain W3C validator