Theorem fdivval 49037

Description: The quotient of two functions into the complex numbers. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivval	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))

Proof of Theorem fdivval

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fdiv 49036	. . 3 ⊢ /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0))))
3		oveq12 7372	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∘f / 𝑔) = (𝐹 ∘f / 𝐺))
4		oveq1 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
6	3, 5	reseq12d 5939	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
8		elex 3453	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
9	8	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)
10		elex 3453	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)
11	10	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ V)
12		funmpt 6530	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
13		offval3 7931	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∘f / 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
14	13	funeqd 6514	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (Fun (𝐹 ∘f / 𝐺) ↔ Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))))
15	12, 14	mpbiri 259	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → Fun (𝐹 ∘f / 𝐺))
16		ovex 7396	. . 3 ⊢ (𝐺 supp 0) ∈ V
17		resfunexg 7166	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘f / 𝐺) ∧ (𝐺 supp 0) ∈ V) → ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancl 592	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
19	2, 7, 9, 11, 18	ovmpod 7515	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∩ cin 3889   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365   ∘_f cof 7625   supp csupp 8107  0cc0 11036   / cdiv 11805   /_f cfdiv 49035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-fdiv 49036

This theorem is referenced by:  fdivmpt  49038