Theorem fdivval 49477

Description: The quotient of two functions into the complex numbers. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivval	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))

Proof of Theorem fdivval

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fdiv 49476	. . 3 ⊢ /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0))))
3		oveq12 7426	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∘f / 𝑔) = (𝐹 ∘f / 𝐺))
4		oveq1 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
6	3, 5	reseq12d 5977	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
8		elex 3474	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)
10		elex 3474	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)
11	10	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ V)
12		funmpt 6575	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
13		offval3 7983	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∘f / 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
14	13	funeqd 6559	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (Fun (𝐹 ∘f / 𝐺) ↔ Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))))
15	12, 14	mpbiri 261	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → Fun (𝐹 ∘f / 𝐺))
16		ovex 7450	. . 3 ⊢ (𝐺 supp 0) ∈ V
17		resfunexg 7218	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘f / 𝐺) ∧ (𝐺 supp 0) ∈ V) → ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
19	2, 7, 9, 11, 18	ovmpod 7569	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   ∘_f cof 7680   supp csupp 8162  0cc0 11128   / cdiv 11899   /_f cfdiv 49475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-fdiv 49476

This theorem is used by:  fdivmpt  49478