Theorem fdivval 49125

Description: The quotient of two functions into the complex numbers. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fdivval	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))

Proof of Theorem fdivval

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fdiv 49124	. . 3 ⊢ /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → /f = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0))))
3		oveq12 7401	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∘f / 𝑔) = (𝐹 ∘f / 𝐺))
4		oveq1 7399	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
5	4	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑔 supp 0) = (𝐺 supp 0))
6	3, 5	reseq12d 5964	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
7	6	adantl 485	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓 ∘f / 𝑔) ↾ (𝑔 supp 0)) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
8		elex 3474	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
9	8	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)
10		elex 3474	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ V)
11	10	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ V)
12		funmpt 6555	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
13		offval3 7959	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∘f / 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
14	13	funeqd 6539	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (Fun (𝐹 ∘f / 𝐺) ↔ Fun (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))))
15	12, 14	mpbiri 260	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → Fun (𝐹 ∘f / 𝐺))
16		ovex 7425	. . 3 ⊢ (𝐺 supp 0) ∈ V
17		resfunexg 7195	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘f / 𝐺) ∧ (𝐺 supp 0) ∈ V) → ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancl 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) ∈ V)
19	2, 7, 9, 11, 18	ovmpod 7544	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ∘f / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∩ cin 3903   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645   ↾ cres 5647  Fun wfun 6511  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394   ∘_f cof 7654   supp csupp 8135  0cc0 11070   / cdiv 11841   /_f cfdiv 49123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-fdiv 49124

This theorem is referenced by:  fdivmpt  49126