MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffsuppbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ffsuppbi 9436
Description: Two ways of saying that a function with known codomain is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ffsuppbi ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin)))

Proof of Theorem ffsuppbi
StepHypRef Expression
1 ffun 6740 . . . . 5 (𝐹:𝐼𝑆 → Fun 𝐹)
21adantl 481 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → Fun 𝐹)
3 fex 7246 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐼𝑆𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ V)
43expcom 413 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝐼𝑆𝐹 ∈ V))
54adantr 480 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆𝐹 ∈ V))
65imp 406 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → 𝐹 ∈ V)
7 simplr 769 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → 𝑍𝑊)
8 funisfsupp 9405 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
92, 6, 7, 8syl3anc 1370 . . 3 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
10 fsuppeq 8199 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍}))))
1110imp 406 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})))
1211eleq1d 2824 . . 3 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
139, 12bitrd 279 . 2 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
1413ex 412 1 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cima 5692  Fun wfun 6557  wf 6559  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-supp 8185  df-fsupp 9400
This theorem is referenced by:  fcdmnn0fsupp  12582
  Copyright terms: Public domain W3C validator