MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffsuppbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ffsuppbi 9380
Description: Two ways of saying that a function with known codomain is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ffsuppbi ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin)))

Proof of Theorem ffsuppbi
StepHypRef Expression
1 ffun 6710 . . . . 5 (𝐹:𝐼𝑆 → Fun 𝐹)
21adantl 483 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → Fun 𝐹)
3 fex 7215 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐼𝑆𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ V)
43expcom 415 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝐼𝑆𝐹 ∈ V))
54adantr 482 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆𝐹 ∈ V))
65imp 408 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → 𝐹 ∈ V)
7 simplr 768 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → 𝑍𝑊)
8 funisfsupp 9355 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
92, 6, 7, 8syl3anc 1372 . . 3 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
10 fsuppeq 8147 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍}))))
1110imp 408 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})))
1211eleq1d 2819 . . 3 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
139, 12bitrd 279 . 2 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
1413ex 414 1 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cdif 3943  {csn 4624   class class class wbr 5144  ccnv 5671  cima 5675  Fun wfun 6529  wf 6531  (class class class)co 7396   supp csupp 8133  Fincfn 8927   finSupp cfsupp 9349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-supp 8134  df-fsupp 9350
This theorem is referenced by:  fcdmnn0fsupp  12516
  Copyright terms: Public domain W3C validator