MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffsuppbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ffsuppbi 9399
Description: Two ways of saying that a function with known codomain is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ffsuppbi ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin)))

Proof of Theorem ffsuppbi
StepHypRef Expression
1 ffun 6720 . . . . 5 (𝐹:𝐼𝑆 → Fun 𝐹)
21adantl 481 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → Fun 𝐹)
3 fex 7230 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐼𝑆𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ V)
43expcom 413 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝐼𝑆𝐹 ∈ V))
54adantr 480 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆𝐹 ∈ V))
65imp 406 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → 𝐹 ∈ V)
7 simplr 766 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → 𝑍𝑊)
8 funisfsupp 9373 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
92, 6, 7, 8syl3anc 1370 . . 3 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
10 fsuppeq 8165 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍}))))
1110imp 406 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})))
1211eleq1d 2817 . . 3 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
139, 12bitrd 279 . 2 (((𝐼𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝐹:𝐼𝑆) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
1413ex 412 1 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → (𝐹:𝐼𝑆 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  ccnv 5675  cima 5679  Fun wfun 6537  wf 6539  (class class class)co 7412   supp csupp 8151  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-supp 8152  df-fsupp 9368
This theorem is referenced by:  fcdmnn0fsupp  12536
  Copyright terms: Public domain W3C validator