Theorem ffsuppbi 9325

Description: Two ways of saying that a function with known codomain is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ffsuppbi	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐼⟶𝑆 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (◡𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin)))

Proof of Theorem ffsuppbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 6673	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝑆 → Fun 𝐹)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝐹:𝐼⟶𝑆) → Fun 𝐹)
3		fex 7182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶𝑆 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
4	3	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐼⟶𝑆 → 𝐹 ∈ V))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐼⟶𝑆 → 𝐹 ∈ V))
6	5	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝐹:𝐼⟶𝑆) → 𝐹 ∈ V)
7		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝐹:𝐼⟶𝑆) → 𝑍 ∈ 𝑊)
8		funisfsupp 9294	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝐹:𝐼⟶𝑆) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
10		fsuppeq 8131	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐼⟶𝑆 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍}))))
11	10	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝐹:𝐼⟶𝑆) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})))
12	11	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝐹:𝐼⟶𝑆) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
13	9, 12	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝐹:𝐼⟶𝑆) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (◡𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
14	13	ex 412	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐼⟶𝑆 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (◡𝐹 “ (𝑆 ∖ {𝑍})) ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908  {csn 4585   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369   supp csupp 8116  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-supp 8117  df-fsupp 9289

This theorem is referenced by:  fcdmnn0fsupp  12476