Theorem fcdmnn0fsupp 12340

Description: A function into ℕ₀ is finitely supported iff its support is finite. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0fsupp	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem fcdmnn0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11019	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2		ffsuppbi 9205	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
3	1, 2	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
4	3	imp 408	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
5		dfn2 12296	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	5	imaeq2i 5977	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ ℕ) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0}))
7	6	eleq1i 2827	. 2 ⊢ ((◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)
8	4, 7	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   ∖ cdif 3889  {csn 4565   class class class wbr 5081  ^◡ccnv 5599   “ cima 5603  ⟶wf 6454  Fincfn 8764   finSupp cfsupp 9176  0cc0 10921  ℕcn 12023  ℕ₀cn0 12283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fsupp 9177  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-nn 12024  df-n0 12284

This theorem is referenced by:  psrbagfsuppOLD  21173  snifpsrbag  21174