MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcdmnn0fsupp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fcdmnn0fsupp 12528
Description: A function into β„•0 is finitely supported iff its support is finite. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
fcdmnn0fsupp ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
Proof of Theorem fcdmnn0fsupp
StepHypRef Expression
1 c0ex 11207 . . . 4 0 ∈ V
2 ffsuppbi 9392 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) β†’ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (◑𝐹 β€œ (β„•0 βˆ– {0})) ∈ Fin)))
31, 2mpan2 689 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:πΌβŸΆβ„•0 β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (◑𝐹 β€œ (β„•0 βˆ– {0})) ∈ Fin)))
43imp 407 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (◑𝐹 β€œ (β„•0 βˆ– {0})) ∈ Fin))
5 dfn2 12484 . . . 4 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
65imaeq2i 6057 . . 3 (◑𝐹 β€œ β„•) = (◑𝐹 β€œ (β„•0 βˆ– {0}))
76eleq1i 2824 . 2 ((◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐹 β€œ (β„•0 βˆ– {0})) ∈ Fin)
84, 7bitr4di 288 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (◑𝐹 β€œ β„•) ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  0cc0 11109  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-nn 12212  df-n0 12472
This theorem is referenced by:  psrbagfsuppOLD  21473  snifpsrbag  21474
  Copyright terms: Public domain W3C validator