Theorem resfifsupp 9426

Description: The restriction of a function to a finite set is finitely supported. (Contributed by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
resfifsupp.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
resfifsupp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
resfifsupp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resfifsupp	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem resfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resindm 6037	. 2 ⊢ (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ 𝑋)
2		resfifsupp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3	2	funfnd 6599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4		fnresin2 6695	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) Fn (𝑋 ∩ dom 𝐹))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) Fn (𝑋 ∩ dom 𝐹))
6		resfifsupp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7		infi 9299	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
9		resfifsupp.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
10	5, 8, 9	fndmfifsupp 9407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) finSupp 𝑍)
11	1, 10	eqbrtrrid 5147	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092   class class class wbr 5108  dom cdm 5658   ↾ cres 5660  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-supp 8215  df-1o 8514  df-en 9012  df-fin 9015  df-fsupp 9392

This theorem is used by:  xrge0tsmsd  33733  ply1degltdimlem  34365