Theorem resfifsupp 9310

Description: The restriction of a function to a finite set is finitely supported. (Contributed by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
resfifsupp.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
resfifsupp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
resfifsupp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resfifsupp	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem resfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resfifsupp.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
2		funrel 6515	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
4		resindm 5995	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ 𝑋))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ 𝑋))
6	1	funfnd 6529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
7		fnresin2 6624	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) Fn (𝑋 ∩ dom 𝐹))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) Fn (𝑋 ∩ dom 𝐹))
9		resfifsupp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
10		infi 9180	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
12		resfifsupp.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
13	8, 11, 12	fndmfifsupp 9291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) finSupp 𝑍)
14	5, 13	eqbrtrrd 5109	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   class class class wbr 5085  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636  Fun wfun 6492   Fn wfn 6493  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-supp 8111  df-1o 8405  df-en 8894  df-fin 8897  df-fsupp 9275

This theorem is referenced by:  xrge0tsmsd  33134  ply1degltdimlem  33766