MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmptif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmptif 8851
Description: A function mapping an argument to either a value of a finitely supported function or zero is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptif.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
fsuppmptif.a (𝜑𝐴𝑉)
fsuppmptif.z (𝜑𝑍𝑊)
fsuppmptif.s (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppmptif (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem fsuppmptif
StepHypRef Expression
1 fvex 6665 . . . . 5 (𝐹𝑘) ∈ V
2 fsuppmptif.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑊)
32adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑍𝑊)
4 ifexg 4486 . . . . 5 (((𝐹𝑘) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) ∈ V)
51, 3, 4sylancr 590 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) ∈ V)
65fmpttd 6861 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)):𝐴⟶V)
76ffund 6498 . 2 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)))
8 fsuppmptif.s . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
98fsuppimpd 8828 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
10 fsuppmptif.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
11 ssidd 3965 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
12 fsuppmptif.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
1310, 11, 12, 2suppssr 7848 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1413ifeq1d 4457 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) = if(𝑘𝐷, 𝑍, 𝑍))
15 ifid 4478 . . . . 5 if(𝑘𝐷, 𝑍, 𝑍) = 𝑍
1614, 15syl6eq 2873 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) = 𝑍)
1716, 12suppss2 7851 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
189, 17ssfid 8729 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
1912mptexd 6969 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V)
20 isfsupp 8825 . . 3 (((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
2119, 2, 20syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
227, 18, 21mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2114  Vcvv 3469  cdif 3905  ifcif 4439   class class class wbr 5042  cmpt 5122  Fun wfun 6328  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140   supp csupp 7817  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-supp 7818  df-er 8276  df-en 8497  df-fin 8500  df-fsupp 8822
This theorem is referenced by:  cantnflem1d  9139  gsumzsplit  19038
  Copyright terms: Public domain W3C validator