Theorem fsuppmptif 9158

Description: A function mapping an argument to either a value of a finitely supported function or zero is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptif.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fsuppmptif.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsuppmptif.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppmptif.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptif	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem fsuppmptif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
2		fsuppmptif.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		ifexg 4508	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) ∈ V)
5	1, 3, 4	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) ∈ V)
6	5	fmpttd 6989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)):𝐴⟶V)
7	6	ffund 6604	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)))
8		fsuppmptif.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
9	8	fsuppimpd 9135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
10		fsuppmptif.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
11		ssidd 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
12		fsuppmptif.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	10, 11, 12, 2	suppssr 8012	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
14	13	ifeq1d 4478	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) = if(𝑘 ∈ 𝐷, 𝑍, 𝑍))
15		ifid 4499	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐷, 𝑍, 𝑍) = 𝑍
16	14, 15	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) = 𝑍)
17	16, 12	suppss2 8016	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
18	9, 17	ssfid 9042	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
19	12	mptexd 7100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∈ V)
20		isfsupp 9132	. . 3 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
21	19, 2, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
22	7, 18, 21	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-supp 7978  df-1o 8297  df-en 8734  df-fin 8737  df-fsupp 9129

This theorem is referenced by:  cantnflem1d  9446  gsumzsplit  19528