MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmptif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmptif 8580
Description: A function mapping an argument to either a value of a finitely supported function or zero is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptif.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
fsuppmptif.a (𝜑𝐴𝑉)
fsuppmptif.z (𝜑𝑍𝑊)
fsuppmptif.s (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppmptif (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem fsuppmptif
StepHypRef Expression
1 fvex 6450 . . . . 5 (𝐹𝑘) ∈ V
2 fsuppmptif.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑊)
32adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑍𝑊)
4 ifexg 4355 . . . . 5 (((𝐹𝑘) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) ∈ V)
51, 3, 4sylancr 581 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) ∈ V)
65fmpttd 6639 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)):𝐴⟶V)
76ffund 6286 . 2 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)))
8 fsuppmptif.s . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
98fsuppimpd 8557 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
10 fsuppmptif.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
11 ssidd 3849 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
12 fsuppmptif.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
1310, 11, 12, 2suppssr 7596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1413ifeq1d 4326 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) = if(𝑘𝐷, 𝑍, 𝑍))
15 ifid 4347 . . . . 5 if(𝑘𝐷, 𝑍, 𝑍) = 𝑍
1614, 15syl6eq 2877 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) = 𝑍)
1716, 12suppss2 7599 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
18 ssfi 8455 . . 3 (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
199, 17, 18syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
20 mptexg 6745 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V)
2112, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V)
22 isfsupp 8554 . . 3 (((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
2321, 2, 22syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
247, 19, 23mpbir2and 704 1 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2164  Vcvv 3414  cdif 3795  wss 3798  ifcif 4308   class class class wbr 4875  cmpt 4954  Fun wfun 6121  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910   supp csupp 7564  Fincfn 8228   finSupp cfsupp 8550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-supp 7565  df-er 8014  df-en 8229  df-fin 8232  df-fsupp 8551
This theorem is referenced by:  cantnflem1d  8869  gsumzsplit  18687
  Copyright terms: Public domain W3C validator