Theorem fsuppmptif 9261

Description: A function mapping an argument to either a value of a finitely supported function or zero is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptif.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fsuppmptif.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsuppmptif.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppmptif.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptif	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem fsuppmptif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6843	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
2		fsuppmptif.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
3	2	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		ifexg 4527	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) ∈ V)
5	1, 3, 4	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) ∈ V)
6	5	fmpttd 7050	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)):𝐴⟶V)
7	6	ffund 6660	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)))
8		fsuppmptif.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
9	8	fsuppimpd 9238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
10		fsuppmptif.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
11		ssidd 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
12		fsuppmptif.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	10, 11, 12, 2	suppssr 8087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
14	13	ifeq1d 4497	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) = if(𝑘 ∈ 𝐷, 𝑍, 𝑍))
15		ifid 4518	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐷, 𝑍, 𝑍) = 𝑍
16	14, 15	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) = 𝑍)
17	16, 12	suppss2 8091	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
18	9, 17	ssfid 9137	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
19	12	mptexd 7161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∈ V)
20		isfsupp 9235	. . 3 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
21	19, 2, 20	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
22	7, 18, 21	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2106  Vcvv 3442   ∖ cdif 3899  ifcif 4478   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5180  Fun wfun 6478  ⟶wf 6480  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342   supp csupp 8052  Fincfn 8809   finSupp cfsupp 9231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pr 5377  ax-un 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-supp 8053  df-1o 8372  df-en 8810  df-fin 8813  df-fsupp 9232

This theorem is referenced by:  cantnflem1d  9550  gsumzsplit  19623