Theorem fsuppmptif 9468

Description: A function mapping an argument to either a value of a finitely supported function or zero is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptif.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fsuppmptif.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsuppmptif.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppmptif.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptif	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem fsuppmptif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
2		fsuppmptif.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		ifexg 4597	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) ∈ V)
5	1, 3, 4	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) ∈ V)
6	5	fmpttd 7149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)):𝐴⟶V)
7	6	ffund 6751	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)))
8		fsuppmptif.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
9	8	fsuppimpd 9439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
10		fsuppmptif.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
11		ssidd 4032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
12		fsuppmptif.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	10, 11, 12, 2	suppssr 8236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
14	13	ifeq1d 4567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) = if(𝑘 ∈ 𝐷, 𝑍, 𝑍))
15		ifid 4588	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐷, 𝑍, 𝑍) = 𝑍
16	14, 15	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) = 𝑍)
17	16, 12	suppss2 8241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
18	9, 17	ssfid 9329	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
19	12	mptexd 7261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∈ V)
20		isfsupp 9435	. . 3 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
21	19, 2, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
22	7, 18, 21	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   supp csupp 8201  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-supp 8202  df-1o 8522  df-en 9004  df-fin 9007  df-fsupp 9432

This theorem is referenced by:  cantnflem1d  9757  gsumzsplit  19969