Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmptif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmptif 8580
 Description: A function mapping an argument to either a value of a finitely supported function or zero is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptif.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
fsuppmptif.a (𝜑𝐴𝑉)
fsuppmptif.z (𝜑𝑍𝑊)
fsuppmptif.s (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppmptif (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem fsuppmptif
StepHypRef Expression
1 fvex 6450 . . . . 5 (𝐹𝑘) ∈ V
2 fsuppmptif.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑊)
32adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑍𝑊)
4 ifexg 4355 . . . . 5 (((𝐹𝑘) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) ∈ V)
51, 3, 4sylancr 581 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) ∈ V)
65fmpttd 6639 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)):𝐴⟶V)
76ffund 6286 . 2 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)))
8 fsuppmptif.s . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
98fsuppimpd 8557 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
10 fsuppmptif.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
11 ssidd 3849 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
12 fsuppmptif.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
1310, 11, 12, 2suppssr 7596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1413ifeq1d 4326 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) = if(𝑘𝐷, 𝑍, 𝑍))
15 ifid 4347 . . . . 5 if(𝑘𝐷, 𝑍, 𝑍) = 𝑍
1614, 15syl6eq 2877 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) = 𝑍)
1716, 12suppss2 7599 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
18 ssfi 8455 . . 3 (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
199, 17, 18syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
20 mptexg 6745 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V)
2112, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V)
22 isfsupp 8554 . . 3 (((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
2321, 2, 22syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
247, 19, 23mpbir2and 704 1 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ifcif 4308   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954  Fun wfun 6121  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   supp csupp 7564  Fincfn 8228   finSupp cfsupp 8550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-supp 7565  df-er 8014  df-en 8229  df-fin 8232  df-fsupp 8551 This theorem is referenced by:  cantnflem1d  8869  gsumzsplit  18687
 Copyright terms: Public domain W3C validator