Theorem fsuppmptif 9416

Description: A function mapping an argument to either a value of a finitely supported function or zero is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptif.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fsuppmptif.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsuppmptif.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppmptif.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptif	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem fsuppmptif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
2		fsuppmptif.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		ifexg 4555	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) ∈ V)
5	1, 3, 4	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) ∈ V)
6	5	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)):𝐴⟶V)
7	6	ffund 6715	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)))
8		fsuppmptif.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
9	8	fsuppimpd 9386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
10		fsuppmptif.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
11		ssidd 3987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
12		fsuppmptif.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13	10, 11, 12, 2	suppssr 8199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
14	13	ifeq1d 4525	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) = if(𝑘 ∈ 𝐷, 𝑍, 𝑍))
15		ifid 4546	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐷, 𝑍, 𝑍) = 𝑍
16	14, 15	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍) = 𝑍)
17	16, 12	suppss2 8204	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
18	9, 17	ssfid 9278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
19	12	mptexd 7221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∈ V)
20		isfsupp 9382	. . 3 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
21	19, 2, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
22	7, 18, 21	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐷, (𝐹‘𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928  ifcif 4505   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8164  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-supp 8165  df-1o 8485  df-en 8965  df-fin 8968  df-fsupp 9379

This theorem is referenced by:  cantnflem1d  9707  gsumzsplit  19913