Theorem fvdifsupp 8163

Description: Function value is zero outside of its support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvdifsupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fvdifsupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fvdifsupp.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fvdifsupp.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))

Assertion

Ref	Expression
fvdifsupp	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Proof of Theorem fvdifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvdifsupp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
2	1	eldifbd 3918	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
3	1	eldifad 3917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		fvdifsupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fvdifsupp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		fvdifsupp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		elsuppfn 8162	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
9	3, 8	mpbirand 719	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍))
10	9	necon2bbid 3001	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑍 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍)))
11	2, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-supp 8153

This theorem is referenced by:  evls1fpws  22529  fdifsuppconst  33034  gsumfs2d  33381  elrgspnlem1  33562  elrgspnlem2  33563  elrgspnlem4  33565  elrgspnsubrunlem1  33567  elrgspnsubrunlem2  33568  elrspunidl  33736  elrspunsn  33737  rprmdvdsprod  33824  mplvrpmrhm  33937  fldextrspunlsplem  34063  fldextrspunlsp  34064