Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvdifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvdifsupp 31884
Description: Function value is zero outside of its support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fvdifsupp.1 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
fvdifsupp.2 (𝜑𝐴𝑉)
fvdifsupp.3 (𝜑𝑍𝑊)
fvdifsupp.4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
Assertion
Ref Expression
fvdifsupp (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑍)

Proof of Theorem fvdifsupp
StepHypRef Expression
1 fvdifsupp.4 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
21eldifbd 3959 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
31eldifad 3958 . . . 4 (𝜑𝑋𝐴)
4 fvdifsupp.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
5 fvdifsupp.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
6 fvdifsupp.3 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑊)
7 elsuppfn 8150 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
84, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
93, 8mpbirand 706 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍))
109necon2bbid 2985 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑋) = 𝑍 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍)))
112, 10mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3943   Fn wfn 6534  cfv 6539  (class class class)co 7403   supp csupp 8140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pr 5425  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-supp 8141
This theorem is referenced by:  fdifsuppconst  31888  elrspunidl  32503  elrspunsn  32504  evls1fpws  32595
  Copyright terms: Public domain W3C validator