Theorem fvdifsupp 8170

Description: Function value is zero outside of its support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvdifsupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fvdifsupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fvdifsupp.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fvdifsupp.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))

Assertion

Ref	Expression
fvdifsupp	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Proof of Theorem fvdifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvdifsupp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
2	1	eldifbd 3912	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
3	1	eldifad 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		fvdifsupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fvdifsupp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		fvdifsupp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		elsuppfn 8169	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
9	3, 8	mpbirand 720	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍))
10	9	necon2bbid 2998	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑍 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍)))
11	2, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   supp csupp 8159

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-supp 8160

This theorem is used by:  evls1fpws  22597  fdifsuppconst  33164  gsumfs2d  33504  elrgspnlem1  33685  elrgspnlem2  33686  elrgspnlem4  33688  elrgspnsubrunlem1  33690  elrgspnsubrunlem2  33691  elrspunidl  33859  elrspunsn  33860  rprmdvdsprod  33947  mplvrpmrhm  34060  fldextrspunlsplem  34186  fldextrspunlsp  34187