Theorem fvdifsupp 8173

Description: Function value is zero outside of its support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvdifsupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fvdifsupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fvdifsupp.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fvdifsupp.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))

Assertion

Ref	Expression
fvdifsupp	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Proof of Theorem fvdifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvdifsupp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
2	1	eldifbd 3919	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
3	1	eldifad 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		fvdifsupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
5		fvdifsupp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		fvdifsupp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		elsuppfn 8172	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
9	3, 8	mpbirand 720	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍))
10	9	necon2bbid 3003	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) = 𝑍 ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍)))
11	2, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   supp csupp 8162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-supp 8163

This theorem is used by:  evls1fpws  22581  fdifsuppconst  33107  gsumfs2d  33447  elrgspnlem1  33628  elrgspnlem2  33629  elrgspnlem4  33631  elrgspnsubrunlem1  33633  elrgspnsubrunlem2  33634  elrspunidl  33802  elrspunsn  33803  rprmdvdsprod  33890  mplvrpmrhm  34003  fldextrspunlsplem  34129  fldextrspunlsp  34130