Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdifsuppconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdifsuppconst 32179
Description: A function is a zero constant outside of its support. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
fdifsuppconst.1 𝐴 = (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍))
Assertion
Ref Expression
fdifsuppconst ((Fun 𝐹𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) = (𝐴 × {𝑍}))

Proof of Theorem fdifsuppconst
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfn 6578 . . . . . 6 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
21biimpi 215 . . . . 5 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
32ad2antrr 723 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 fdifsuppconst.1 . . . . 5 𝐴 = (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍))
5 difssd 4132 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)) ⊆ dom 𝐹)
64, 5eqsstrid 4030 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
73, 6fnssresd 6674 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
8 fnconstg 6779 . . . 4 (𝑍𝑊 → (𝐴 × {𝑍}) Fn 𝐴)
98adantl 481 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (𝐴 × {𝑍}) Fn 𝐴)
103adantr 480 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
11 dmexg 7898 . . . . . 6 (𝐹𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
1211ad3antlr 728 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → dom 𝐹 ∈ V)
13 simplr 766 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑍𝑊)
144eleq2i 2824 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
1514biimpi 215 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
1615adantl 481 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
1710, 12, 13, 16fvdifsupp 32175 . . . 4 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
18 simpr 484 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1918fvresd 6911 . . . 4 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
20 fvconst2g 7205 . . . . 5 ((𝑍𝑊𝑥𝐴) → ((𝐴 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
2120adantll 711 . . . 4 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
2217, 19, 213eqtr4d 2781 . . 3 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = ((𝐴 × {𝑍})‘𝑥))
237, 9, 22eqfnfvd 7035 . 2 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) = (𝐴 × {𝑍}))
24233impa 1109 1 ((Fun 𝐹𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) = (𝐴 × {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cdif 3945  {csn 4628   × cxp 5674  dom cdm 5676  cres 5678  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  cfv 6543  (class class class)co 7412   supp csupp 8150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-supp 8151
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator