Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdifsuppconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdifsuppconst 31882
Description: A function is a zero constant outside of its support. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
fdifsuppconst.1 𝐴 = (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍))
Assertion
Ref Expression
fdifsuppconst ((Fun 𝐹𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) = (𝐴 × {𝑍}))

Proof of Theorem fdifsuppconst
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfn 6570 . . . . . 6 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
21biimpi 215 . . . . 5 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
32ad2antrr 725 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 fdifsuppconst.1 . . . . 5 𝐴 = (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍))
5 difssd 4130 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)) ⊆ dom 𝐹)
64, 5eqsstrid 4028 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
73, 6fnssresd 6664 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
8 fnconstg 6769 . . . 4 (𝑍𝑊 → (𝐴 × {𝑍}) Fn 𝐴)
98adantl 483 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (𝐴 × {𝑍}) Fn 𝐴)
103adantr 482 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
11 dmexg 7881 . . . . . 6 (𝐹𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
1211ad3antlr 730 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → dom 𝐹 ∈ V)
13 simplr 768 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑍𝑊)
144eleq2i 2826 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
1514biimpi 215 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
1615adantl 483 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
1710, 12, 13, 16fvdifsupp 31877 . . . 4 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
18 simpr 486 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1918fvresd 6901 . . . 4 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
20 fvconst2g 7190 . . . . 5 ((𝑍𝑊𝑥𝐴) → ((𝐴 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
2120adantll 713 . . . 4 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
2217, 19, 213eqtr4d 2783 . . 3 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = ((𝐴 × {𝑍})‘𝑥))
237, 9, 22eqfnfvd 7024 . 2 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) = (𝐴 × {𝑍}))
24233impa 1111 1 ((Fun 𝐹𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) = (𝐴 × {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cdif 3943  {csn 4624   × cxp 5670  dom cdm 5672  cres 5674  Fun wfun 6529   Fn wfn 6530  cfv 6535  (class class class)co 7396   supp csupp 8133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-supp 8134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator