Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdifsuppconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdifsuppconst 32704
Description: A function is a zero constant outside of its support. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
fdifsuppconst.1 𝐴 = (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍))
Assertion
Ref Expression
fdifsuppconst ((Fun 𝐹𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) = (𝐴 × {𝑍}))

Proof of Theorem fdifsuppconst
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfn 6598 . . . . . 6 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
21biimpi 216 . . . . 5 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
32ad2antrr 726 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 fdifsuppconst.1 . . . . 5 𝐴 = (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍))
5 difssd 4147 . . . . 5 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)) ⊆ dom 𝐹)
64, 5eqsstrid 4044 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
73, 6fnssresd 6693 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
8 fnconstg 6797 . . . 4 (𝑍𝑊 → (𝐴 × {𝑍}) Fn 𝐴)
98adantl 481 . . 3 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (𝐴 × {𝑍}) Fn 𝐴)
103adantr 480 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
11 dmexg 7924 . . . . . 6 (𝐹𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
1211ad3antlr 731 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → dom 𝐹 ∈ V)
13 simplr 769 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑍𝑊)
144eleq2i 2831 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
1514biimpi 216 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
1615adantl 481 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
1710, 12, 13, 16fvdifsupp 8195 . . . 4 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
18 simpr 484 . . . . 5 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1918fvresd 6927 . . . 4 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
20 fvconst2g 7222 . . . . 5 ((𝑍𝑊𝑥𝐴) → ((𝐴 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
2120adantll 714 . . . 4 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {𝑍})‘𝑥) = 𝑍)
2217, 19, 213eqtr4d 2785 . . 3 ((((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = ((𝐴 × {𝑍})‘𝑥))
237, 9, 22eqfnfvd 7054 . 2 (((Fun 𝐹𝐹𝑉) ∧ 𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) = (𝐴 × {𝑍}))
24233impa 1109 1 ((Fun 𝐹𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹𝐴) = (𝐴 × {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  {csn 4631   × cxp 5687  dom cdm 5689  cres 5691  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-supp 8185
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator