Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1fpws Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1fpws 32641
Description: Evaluation of a univariate subring polynomial as a function in a power series. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1evl.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
ressply1evl.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
ressply1evl.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
ressply1evl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evls1fpws.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evls1fpws.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evls1fpws.y (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
evls1fpws.1 Β· = (.rβ€˜π‘†)
evls1fpws.2 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
evls1fpws.a 𝐴 = (coe1β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
evls1fpws (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
Distinct variable groups:   Β· ,π‘˜,π‘₯   𝐴,π‘˜,π‘₯   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑀   𝑄,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑅(π‘₯,π‘˜)   ↑ (π‘₯,π‘˜)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem evls1fpws
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fpws.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
2 ressply1evl.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
32subrgring 20321 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
5 evls1fpws.y . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
6 ressply1evl.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
7 eqid 2732 . . . . 5 (var1β€˜π‘ˆ) = (var1β€˜π‘ˆ)
8 ressply1evl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2732 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 eqid 2732 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘Š) = (mulGrpβ€˜π‘Š)
11 eqid 2732 . . . . 5 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
12 evls1fpws.a . . . . 5 𝐴 = (coe1β€˜π‘€)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12ply1coe 21819 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))))
144, 5, 13syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))))
1514fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))))
16 ressply1evl.q . . . 4 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
17 ressply1evl.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
18 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
19 eqid 2732 . . . 4 (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
20 evls1fpws.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
216ply1lmod 21773 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ LMod)
224, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2322adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2512, 8, 6, 24coe1fvalcl 21735 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
265, 25sylan 580 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
276ply1sca 21774 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
284, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
2928fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3029adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3126, 30eleqtrd 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3210, 8mgpbas 19992 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
336ply1ring 21769 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Ring)
344, 33syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Ring)
3610ringmgp 20061 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
38 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
394adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
407, 6, 8vr1cl 21740 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
4139, 40syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
4232, 11, 37, 38, 41mulgnn0cld 18974 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
43 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
44 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
458, 43, 9, 44lmodvscl 20488 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ 𝐡)
4623, 31, 42, 45syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ 𝐡)
47 ssidd 4005 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„•0 βŠ† β„•0)
48 fvexd 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ V)
49 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘—))
50 oveq1 7415 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) = (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))
5149, 50oveq12d 7426 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
52 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
5312, 8, 6, 52coe1ae0 21739 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
545, 53syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ))
5628ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
5756fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5855, 57eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5958oveq1d 7423 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
6022ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6134, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
644, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
6632, 11, 62, 63, 65mulgnn0cld 18974 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
6766ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
68 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
698, 43, 9, 68, 18lmod0vs 20504 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7060, 67, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7159, 70eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7271ex 413 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š)))
7372imim2d 57 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7473ralimdva 3167 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7574reximdva 3168 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7654, 75mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š)))
7748, 46, 51, 76mptnn0fsuppd 13962 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) finSupp (0gβ€˜π‘Š))
7816, 17, 6, 18, 2, 19, 8, 20, 1, 46, 47, 77evls1gsumadd 21842 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))))
7916, 17, 19, 2, 6evls1rhm 21840 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
8020, 1, 79syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
8180adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
82 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜π‘Š)
8382, 43, 34, 22, 44, 8asclf 21435 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢𝐡)
8483adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (algScβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢𝐡)
8584, 31ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ 𝐡)
86 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜π‘Š)
87 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
888, 86, 87rhmmul 20263 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) ∧ ((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
8981, 85, 42, 88syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
902subrgcrng 20322 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
9120, 1, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
926ply1assa 21722 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9493adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9582, 43, 44, 8, 86, 9asclmul1 21439 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ (((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
9694, 31, 42, 95syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
9796fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
98 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
9920adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
10017fvexi 6905 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ V)
1028, 98rhmf 20262 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
10381, 102syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
104103, 85ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
105103, 42ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
106 evls1fpws.1 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘†)
10719, 98, 99, 101, 104, 105, 106, 87pwsmulrval 17436 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∘f Β· (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
10819, 17, 98, 99, 101, 104pwselbas 17434 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))):𝐾⟢𝐾)
109108ffnd 6718 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) Fn 𝐾)
11019, 17, 98, 99, 101, 105pwselbas 17434 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))):𝐾⟢𝐾)
111110ffnd 6718 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) Fn 𝐾)
112 inidm 4218 . . . . . . . 8 (𝐾 ∩ 𝐾) = 𝐾
11320ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
1141ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
11517subrgss 20319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
1161, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
1172, 17ressbas2 17181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
119118adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
12026, 119eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝑅)
121120adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝑅)
122 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
12316, 6, 2, 17, 82, 113, 114, 121, 122evls1scafv 32638 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘˜))
124 evls1fpws.2 . . . . . . . . 9 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
125 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
12616, 2, 6, 7, 17, 11, 124, 113, 114, 125, 122evls1varpwval 32640 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))β€˜π‘₯) = (π‘˜ ↑ π‘₯))
127109, 111, 101, 101, 112, 123, 126offval 7678 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∘f Β· (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
128107, 127eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
12989, 97, 1283eqtr3d 2780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
130129mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))))
131130oveq2d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
132 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
133100a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
134 nn0ex 12477 . . . . 5 β„•0 ∈ V
135134a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
13620crngringd 20068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
137136ringcmnd 20100 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
138136ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
1391adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
140139, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
141140, 120sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
142141adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
143 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
144143, 17mgpbas 19992 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
145143ringmgp 20061 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
146136, 145syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
147146ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
148144, 124, 147, 125, 122mulgnn0cld 18974 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾)
14917, 106, 138, 142, 148ringcld 20079 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1501493impa 1110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1511503com23 1126 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1521513expb 1120 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
153135mptexd 7225 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∈ V)
154 funmpt 6586 . . . . . 6 Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
155154a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))))
156 fvexd 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) ∈ V)
15712, 8, 6, 52coe1sfi 21736 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
1585, 157syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
159158fsuppimpd 9368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) ∈ Fin)
16012, 8, 6, 24coe1f 21734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
1615, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
162161ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•0)
163162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
164134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ β„•0 ∈ V)
165 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
166 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ))))
167163, 164, 165, 166fvdifsupp 31902 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘ˆ))
168 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
1692, 168subrg0 20325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
1701, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
171170adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
172167, 171eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘†))
173172adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘†))
174173oveq1d 7423 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))
175136ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
176175, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
177 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ))))
178177eldifad 3960 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
179 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
180144, 124, 176, 178, 179mulgnn0cld 18974 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾)
18117, 106, 168ringlz 20106 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
182175, 180, 181syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
183174, 182eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
184183mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (0gβ€˜π‘†)))
185 fconstmpt 5738 . . . . . . . 8 (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (0gβ€˜π‘†))
186184, 185eqtr4di 2790 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}))
187137cmnmndd 19671 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
18819, 168pws0g 18660 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ V) β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
189187, 133, 188syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
190189adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
191186, 190eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
192191, 135suppss2 8184 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) supp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) βŠ† (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
193 suppssfifsupp 9377 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∧ (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) ∈ V) ∧ ((𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) supp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) βŠ† (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
194153, 155, 156, 159, 192, 193syl32anc 1378 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
19519, 17, 132, 133, 135, 137, 152, 194pwsgsum 19849 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
19678, 131, 1953eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
19715, 196eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   supp csupp 8145  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360   < clt 11247  β„•0cn0 12471  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385   ↑s cpws 17391  Mndcmnd 18624  .gcmg 18949  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056   RingHom crh 20247  SubRingcsubrg 20314  LModclmod 20470  AssAlgcasa 21404  algSccascl 21406  var1cv1 21699  Poly1cpl1 21700  coe1cco1 21701   evalSub1 ces1 21831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-assa 21407  df-asp 21408  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-evls 21634  df-evl 21635  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-coe1 21706  df-evls1 21833  df-evl1 21834
This theorem is referenced by:  ressply1evl  32642
  Copyright terms: Public domain W3C validator