Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1fpws Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1fpws 32327
Description: Evaluation of a univariate subring polynomial as a function in a power series. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1evl.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
ressply1evl.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
ressply1evl.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
ressply1evl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evls1fpws.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evls1fpws.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evls1fpws.y (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
evls1fpws.1 Β· = (.rβ€˜π‘†)
evls1fpws.2 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
evls1fpws.a 𝐴 = (coe1β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
evls1fpws (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
Distinct variable groups:   Β· ,π‘˜,π‘₯   𝐴,π‘˜,π‘₯   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑀   𝑄,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑅(π‘₯,π‘˜)   ↑ (π‘₯,π‘˜)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem evls1fpws
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fpws.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
2 ressply1evl.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
32subrgring 20267 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
5 evls1fpws.y . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
6 ressply1evl.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
7 eqid 2733 . . . . 5 (var1β€˜π‘ˆ) = (var1β€˜π‘ˆ)
8 ressply1evl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2733 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 eqid 2733 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘Š) = (mulGrpβ€˜π‘Š)
11 eqid 2733 . . . . 5 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
12 evls1fpws.a . . . . 5 𝐴 = (coe1β€˜π‘€)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12ply1coe 21690 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))))
144, 5, 13syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))))
1514fveq2d 6850 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))))
16 ressply1evl.q . . . 4 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
17 ressply1evl.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
18 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
19 eqid 2733 . . . 4 (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
20 evls1fpws.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
216ply1lmod 21646 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ LMod)
224, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2322adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2512, 8, 6, 24coe1fvalcl 21606 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
265, 25sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
276ply1sca 21647 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
284, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
2928fveq2d 6850 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3029adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3126, 30eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3210, 8mgpbas 19910 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
336ply1ring 21642 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Ring)
344, 33syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
3534adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Ring)
3610ringmgp 19978 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
38 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
394adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
407, 6, 8vr1cl 21611 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
4139, 40syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
4232, 11, 37, 38, 41mulgnn0cld 18905 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
43 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
44 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
458, 43, 9, 44lmodvscl 20383 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ 𝐡)
4623, 31, 42, 45syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ 𝐡)
47 ssidd 3971 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„•0 βŠ† β„•0)
48 fvexd 6861 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ V)
49 fveq2 6846 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘—))
50 oveq1 7368 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) = (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))
5149, 50oveq12d 7379 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
52 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
5312, 8, 6, 52coe1ae0 21610 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
545, 53syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
55 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ))
5628ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
5756fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5855, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5958oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
6022ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6134, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
6261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
63 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
644, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
6632, 11, 62, 63, 65mulgnn0cld 18905 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
6766ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
68 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
698, 43, 9, 68, 18lmod0vs 20399 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7060, 67, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7159, 70eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7271ex 414 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š)))
7372imim2d 57 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7473ralimdva 3161 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7574reximdva 3162 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7654, 75mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š)))
7748, 46, 51, 76mptnn0fsuppd 13912 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) finSupp (0gβ€˜π‘Š))
7816, 17, 6, 18, 2, 19, 8, 20, 1, 46, 47, 77evls1gsumadd 21713 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))))
7916, 17, 19, 2, 6evls1rhm 21711 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
8020, 1, 79syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
8180adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
82 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜π‘Š)
8382, 43, 34, 22, 44, 8asclf 21308 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢𝐡)
8483adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (algScβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢𝐡)
8584, 31ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ 𝐡)
86 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜π‘Š)
87 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
888, 86, 87rhmmul 20169 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) ∧ ((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
8981, 85, 42, 88syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
902subrgcrng 20268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
9120, 1, 90syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
926ply1assa 21593 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9493adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9582, 43, 44, 8, 86, 9asclmul1 21312 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ (((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
9694, 31, 42, 95syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
9796fveq2d 6850 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
98 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
9920adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
10017fvexi 6860 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ V)
1028, 98rhmf 20168 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
10381, 102syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
104103, 85ffvelcdmd 7040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
105103, 42ffvelcdmd 7040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
106 evls1fpws.1 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘†)
10719, 98, 99, 101, 104, 105, 106, 87pwsmulrval 17381 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∘f Β· (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
10819, 17, 98, 99, 101, 104pwselbas 17379 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))):𝐾⟢𝐾)
109108ffnd 6673 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) Fn 𝐾)
11019, 17, 98, 99, 101, 105pwselbas 17379 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))):𝐾⟢𝐾)
111110ffnd 6673 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) Fn 𝐾)
112 inidm 4182 . . . . . . . 8 (𝐾 ∩ 𝐾) = 𝐾
11320ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
1141ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
11517subrgss 20265 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
1161, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
1172, 17ressbas2 17128 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
119118adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
12026, 119eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝑅)
121120adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝑅)
122 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
12316, 6, 2, 17, 82, 113, 114, 121, 122evls1scafv 32324 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘˜))
124 evls1fpws.2 . . . . . . . . 9 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
125 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
12616, 2, 6, 7, 17, 11, 124, 113, 114, 125, 122evls1varpwval 32326 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))β€˜π‘₯) = (π‘˜ ↑ π‘₯))
127109, 111, 101, 101, 112, 123, 126offval 7630 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∘f Β· (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
128107, 127eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
12989, 97, 1283eqtr3d 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
130129mpteq2dva 5209 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))))
131130oveq2d 7377 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
132 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
133100a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
134 nn0ex 12427 . . . . 5 β„•0 ∈ V
135134a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
13620crngringd 19985 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
137136ringcmnd 20013 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
138136ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
1391adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
140139, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
141140, 120sseldd 3949 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
142141adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
143 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
144143, 17mgpbas 19910 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
145143ringmgp 19978 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
146136, 145syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
147146ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
148144, 124, 147, 125, 122mulgnn0cld 18905 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾)
14917, 106, 138, 142, 148ringcld 19994 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1501493impa 1111 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1511503com23 1127 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1521513expb 1121 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
153135mptexd 7178 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∈ V)
154 funmpt 6543 . . . . . 6 Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
155154a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))))
156 fvexd 6861 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) ∈ V)
15712, 8, 6, 52coe1sfi 21607 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
1585, 157syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
159158fsuppimpd 9319 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) ∈ Fin)
16012, 8, 6, 24coe1f 21605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
1615, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
162161ffnd 6673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•0)
163162adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
164134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ β„•0 ∈ V)
165 fvexd 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
166 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ))))
167163, 164, 165, 166fvdifsupp 31652 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘ˆ))
168 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
1692, 168subrg0 20271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
1701, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
171170adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
172167, 171eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘†))
173172adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘†))
174173oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))
175136ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
176175, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
177 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ))))
178177eldifad 3926 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
179 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
180144, 124, 176, 178, 179mulgnn0cld 18905 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾)
18117, 106, 168ringlz 20019 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
182175, 180, 181syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
183174, 182eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
184183mpteq2dva 5209 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (0gβ€˜π‘†)))
185 fconstmpt 5698 . . . . . . . 8 (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (0gβ€˜π‘†))
186184, 185eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}))
187137cmnmndd 19594 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
18819, 168pws0g 18600 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ V) β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
189187, 133, 188syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
190189adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
191186, 190eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
192191, 135suppss2 8135 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) supp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) βŠ† (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
193 suppssfifsupp 9328 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∧ (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) ∈ V) ∧ ((𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) supp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) βŠ† (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
194153, 155, 156, 159, 192, 193syl32anc 1379 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
19519, 17, 132, 133, 135, 137, 152, 194pwsgsum 19767 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
19678, 131, 1953eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
19715, 196eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   supp csupp 8096  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311   < clt 11197  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330   ↑s cpws 17336  Mndcmnd 18564  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973   RingHom crh 20153  SubRingcsubrg 20260  LModclmod 20365  AssAlgcasa 21279  algSccascl 21281  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571  coe1cco1 21572   evalSub1 ces1 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-srg 19926  df-ring 19974  df-cring 19975  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-assa 21282  df-asp 21283  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-evls 21505  df-evl 21506  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-coe1 21577  df-evls1 21704  df-evl1 21705
This theorem is referenced by:  ressply1evl  32328
  Copyright terms: Public domain W3C validator