Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1fpws Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1fpws 33155
Description: Evaluation of a univariate subring polynomial as a function in a power series. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1evl.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
ressply1evl.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
ressply1evl.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
ressply1evl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evls1fpws.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evls1fpws.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evls1fpws.y (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
evls1fpws.1 Β· = (.rβ€˜π‘†)
evls1fpws.2 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
evls1fpws.a 𝐴 = (coe1β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
evls1fpws (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
Distinct variable groups:   Β· ,π‘˜,π‘₯   𝐴,π‘˜,π‘₯   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑀   𝑄,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑅(π‘₯,π‘˜)   ↑ (π‘₯,π‘˜)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem evls1fpws
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fpws.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
2 ressply1evl.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
32subrgring 20476 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
5 evls1fpws.y . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
6 ressply1evl.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
7 eqid 2726 . . . . 5 (var1β€˜π‘ˆ) = (var1β€˜π‘ˆ)
8 ressply1evl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2726 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 eqid 2726 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘Š) = (mulGrpβ€˜π‘Š)
11 eqid 2726 . . . . 5 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
12 evls1fpws.a . . . . 5 𝐴 = (coe1β€˜π‘€)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12ply1coe 22172 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))))
144, 5, 13syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))))
1514fveq2d 6889 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))))
16 ressply1evl.q . . . 4 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
17 ressply1evl.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
18 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
19 eqid 2726 . . . 4 (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
20 evls1fpws.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
216ply1lmod 22125 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ LMod)
224, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2322adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2512, 8, 6, 24coe1fvalcl 22086 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
265, 25sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
276ply1sca 22126 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
284, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
2928fveq2d 6889 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3029adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3126, 30eleqtrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3210, 8mgpbas 20045 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
336ply1ring 22121 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Ring)
344, 33syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Ring)
3610ringmgp 20144 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
38 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
394adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
407, 6, 8vr1cl 22091 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
4139, 40syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
4232, 11, 37, 38, 41mulgnn0cld 19022 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
43 eqid 2726 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
44 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
458, 43, 9, 44lmodvscl 20724 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ 𝐡)
4623, 31, 42, 45syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ 𝐡)
47 ssidd 4000 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„•0 βŠ† β„•0)
48 fvexd 6900 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ V)
49 fveq2 6885 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘—))
50 oveq1 7412 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) = (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))
5149, 50oveq12d 7423 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
52 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
5312, 8, 6, 52coe1ae0 22090 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
545, 53syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ))
5628ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
5756fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5855, 57eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5958oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
6022ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6134, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
63 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
644, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
6632, 11, 62, 63, 65mulgnn0cld 19022 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
6766ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
68 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
698, 43, 9, 68, 18lmod0vs 20741 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7060, 67, 69syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7159, 70eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7271ex 412 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š)))
7372imim2d 57 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7473ralimdva 3161 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7574reximdva 3162 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7654, 75mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š)))
7748, 46, 51, 76mptnn0fsuppd 13969 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) finSupp (0gβ€˜π‘Š))
7816, 17, 6, 18, 2, 19, 8, 20, 1, 46, 47, 77evls1gsumadd 22198 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))))
7916, 17, 19, 2, 6evls1rhm 22196 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
8020, 1, 79syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
8180adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
82 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜π‘Š)
8382, 43, 34, 22, 44, 8asclf 21776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢𝐡)
8483adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (algScβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢𝐡)
8584, 31ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ 𝐡)
86 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜π‘Š)
87 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
888, 86, 87rhmmul 20388 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) ∧ ((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
8981, 85, 42, 88syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
902subrgcrng 20477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
9120, 1, 90syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
926ply1assa 22073 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9493adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9582, 43, 44, 8, 86, 9asclmul1 21780 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ (((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
9694, 31, 42, 95syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
9796fveq2d 6889 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
98 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
9920adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
10017fvexi 6899 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ V)
1028, 98rhmf 20387 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
10381, 102syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
104103, 85ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
105103, 42ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
106 evls1fpws.1 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘†)
10719, 98, 99, 101, 104, 105, 106, 87pwsmulrval 17446 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∘f Β· (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
10819, 17, 98, 99, 101, 104pwselbas 17444 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))):𝐾⟢𝐾)
109108ffnd 6712 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) Fn 𝐾)
11019, 17, 98, 99, 101, 105pwselbas 17444 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))):𝐾⟢𝐾)
111110ffnd 6712 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) Fn 𝐾)
112 inidm 4213 . . . . . . . 8 (𝐾 ∩ 𝐾) = 𝐾
11320ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
1141ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
11517subrgss 20474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
1161, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
1172, 17ressbas2 17191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
119118adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
12026, 119eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝑅)
121120adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝑅)
122 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
12316, 6, 2, 17, 82, 113, 114, 121, 122evls1scafv 33147 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘˜))
124 evls1fpws.2 . . . . . . . . 9 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
125 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
12616, 2, 6, 7, 17, 11, 124, 113, 114, 125, 122evls1varpwval 33149 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))β€˜π‘₯) = (π‘˜ ↑ π‘₯))
127109, 111, 101, 101, 112, 123, 126offval 7676 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∘f Β· (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
128107, 127eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
12989, 97, 1283eqtr3d 2774 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
130129mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))))
131130oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
132 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
133100a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
134 nn0ex 12482 . . . . 5 β„•0 ∈ V
135134a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
13620crngringd 20151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
137136ringcmnd 20183 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
138136ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
1391adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
140139, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
141140, 120sseldd 3978 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
142141adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
143 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
144143, 17mgpbas 20045 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
145143ringmgp 20144 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
146136, 145syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
147146ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
148144, 124, 147, 125, 122mulgnn0cld 19022 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾)
14917, 106, 138, 142, 148ringcld 20162 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1501493impa 1107 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1511503com23 1123 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1521513expb 1117 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
153135mptexd 7221 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∈ V)
154 funmpt 6580 . . . . . 6 Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
155154a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))))
156 fvexd 6900 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) ∈ V)
15712, 8, 6, 52coe1sfi 22087 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
1585, 157syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
159158fsuppimpd 9371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) ∈ Fin)
16012, 8, 6, 24coe1f 22085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
1615, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
162161ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•0)
163162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
164134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ β„•0 ∈ V)
165 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
166 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ))))
167163, 164, 165, 166fvdifsupp 32414 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘ˆ))
168 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
1692, 168subrg0 20481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
1701, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
171170adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
172167, 171eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘†))
173172adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘†))
174173oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))
175136ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
176175, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
177 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ))))
178177eldifad 3955 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
179 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
180144, 124, 176, 178, 179mulgnn0cld 19022 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾)
18117, 106, 168ringlz 20192 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
182175, 180, 181syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
183174, 182eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
184183mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (0gβ€˜π‘†)))
185 fconstmpt 5731 . . . . . . . 8 (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (0gβ€˜π‘†))
186184, 185eqtr4di 2784 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}))
187137cmnmndd 19724 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
18819, 168pws0g 18703 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ V) β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
189187, 133, 188syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
190189adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
191186, 190eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
192191, 135suppss2 8186 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) supp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) βŠ† (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
193 suppssfifsupp 9380 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∧ (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) ∈ V) ∧ ((𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) supp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) βŠ† (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
194153, 155, 156, 159, 192, 193syl32anc 1375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
19519, 17, 132, 133, 135, 137, 152, 194pwsgsum 19902 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
19678, 131, 1953eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
19715, 196eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   supp csupp 8146  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363   < clt 11252  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395   ↑s cpws 17401  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  SubRingcsubrg 20469  LModclmod 20706  AssAlgcasa 21745  algSccascl 21747  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051  coe1cco1 22052   evalSub1 ces1 22187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-evls 21977  df-evl 21978  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-evls1 22189  df-evl1 22190
This theorem is referenced by:  ressply1evl  33156  evls1fldgencl  33263
  Copyright terms: Public domain W3C validator