MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1fpws Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1fpws 22307
Description: Evaluation of a univariate subring polynomial as a function in a power series. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1evl2.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
ressply1evl2.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
ressply1evl2.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
ressply1evl2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evls1fpws.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evls1fpws.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evls1fpws.y (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
evls1fpws.1 Β· = (.rβ€˜π‘†)
evls1fpws.2 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
evls1fpws.a 𝐴 = (coe1β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
evls1fpws (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
Distinct variable groups:   Β· ,π‘˜,π‘₯   𝐴,π‘˜,π‘₯   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑀   𝑄,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑅(π‘₯,π‘˜)   ↑ (π‘₯,π‘˜)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem evls1fpws
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fpws.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
2 ressply1evl2.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
32subrgring 20527 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
5 evls1fpws.y . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
6 ressply1evl2.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
7 eqid 2728 . . . . 5 (var1β€˜π‘ˆ) = (var1β€˜π‘ˆ)
8 ressply1evl2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2728 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 eqid 2728 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘Š) = (mulGrpβ€˜π‘Š)
11 eqid 2728 . . . . 5 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
12 evls1fpws.a . . . . 5 𝐴 = (coe1β€˜π‘€)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12ply1coe 22236 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))))
144, 5, 13syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))))
1514fveq2d 6906 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))))
16 ressply1evl2.q . . . 4 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
17 ressply1evl2.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
18 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
19 eqid 2728 . . . 4 (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
20 evls1fpws.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
216ply1lmod 22189 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ LMod)
224, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2322adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2512, 8, 6, 24coe1fvalcl 22150 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
265, 25sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
276ply1sca 22190 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
284, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
2928fveq2d 6906 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3029adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3126, 30eleqtrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3210, 8mgpbas 20094 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
336ply1ring 22185 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Ring)
344, 33syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
3534adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Ring)
3610ringmgp 20193 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
38 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
394adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
407, 6, 8vr1cl 22155 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ Ring β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
4139, 40syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
4232, 11, 37, 38, 41mulgnn0cld 19064 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
43 eqid 2728 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
44 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
458, 43, 9, 44lmodvscl 20775 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ 𝐡)
4623, 31, 42, 45syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ 𝐡)
47 ssidd 4005 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„•0 βŠ† β„•0)
48 fvexd 6917 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ V)
49 fveq2 6902 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘—))
50 oveq1 7433 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) = (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))
5149, 50oveq12d 7444 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
52 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
5312, 8, 6, 52coe1ae0 22154 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
545, 53syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
55 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ))
5628ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘Š))
5756fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5855, 57eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5958oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
6022ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6134, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
6261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘Š) ∈ Mnd)
63 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
644, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (var1β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐡)
6632, 11, 62, 63, 65mulgnn0cld 19064 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
6766ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
68 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
698, 43, 9, 68, 18lmod0vs 20792 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7060, 67, 69syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7159, 70eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))
7271ex 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š)))
7372imim2d 57 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7473ralimdva 3164 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7574reximdva 3165 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘—) = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š))))
7654, 75mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 βˆ€π‘— ∈ β„•0 (𝑖 < 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘—)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑗(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = (0gβ€˜π‘Š)))
7748, 46, 51, 76mptnn0fsuppd 14005 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) finSupp (0gβ€˜π‘Š))
7816, 17, 6, 18, 2, 19, 8, 20, 1, 46, 47, 77evls1gsumadd 22262 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))))
7916, 17, 19, 2, 6evls1rhm 22260 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
8020, 1, 79syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
8180adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
82 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜π‘Š)
8382, 43, 34, 22, 44, 8asclf 21829 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢𝐡)
8483adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (algScβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))⟢𝐡)
8584, 31ffvelcdmd 7100 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ 𝐡)
86 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜π‘Š)
87 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
888, 86, 87rhmmul 20439 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) ∧ ((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
8981, 85, 42, 88syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
902subrgcrng 20528 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
9120, 1, 90syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
926ply1assa 22137 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9493adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
9582, 43, 44, 8, 86, 9asclmul1 21833 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)) ∈ 𝐡) β†’ (((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
9694, 31, 42, 95syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) = ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))
9796fveq2d 6906 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))(.rβ€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
98 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
9920adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
10017fvexi 6916 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ V)
1028, 98rhmf 20438 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
10381, 102syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
104103, 85ffvelcdmd 7100 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
105103, 42ffvelcdmd 7100 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
106 evls1fpws.1 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘†)
10719, 98, 99, 101, 104, 105, 106, 87pwsmulrval 17482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∘f Β· (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))
10819, 17, 98, 99, 101, 104pwselbas 17480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))):𝐾⟢𝐾)
109108ffnd 6728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) Fn 𝐾)
11019, 17, 98, 99, 101, 105pwselbas 17480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))):𝐾⟢𝐾)
111110ffnd 6728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))) Fn 𝐾)
112 inidm 4221 . . . . . . . 8 (𝐾 ∩ 𝐾) = 𝐾
11320ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
1141ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
11517subrgss 20525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
1161, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
1172, 17ressbas2 17227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
119118adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
12026, 119eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝑅)
121120adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝑅)
122 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
12316, 6, 2, 17, 82, 113, 114, 121, 122evls1scafv 22304 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘˜))
124 evls1fpws.2 . . . . . . . . 9 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
125 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
12616, 2, 6, 7, 17, 11, 124, 113, 114, 125, 122evls1varpwval 22306 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))β€˜π‘₯) = (π‘˜ ↑ π‘₯))
127109, 111, 101, 101, 112, 123, 126offval 7701 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜))) ∘f Β· (π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
128107, 127eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜(π΄β€˜π‘˜)))(.rβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))(π‘„β€˜(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
12989, 97, 1283eqtr3d 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
130129mpteq2dva 5252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ))))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))))
131130oveq2d 7442 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘„β€˜((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
132 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
133100a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
134 nn0ex 12518 . . . . 5 β„•0 ∈ V
135134a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
13620crngringd 20200 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
137136ringcmnd 20234 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
138136ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
1391adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
140139, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
141140, 120sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
142141adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ 𝐾)
143 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
144143, 17mgpbas 20094 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
145143ringmgp 20193 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
146136, 145syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
147146ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
148144, 124, 147, 125, 122mulgnn0cld 19064 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾)
14917, 106, 138, 142, 148ringcld 20213 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1501493impa 1107 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1511503com23 1123 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
1521513expb 1117 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) ∈ 𝐾)
153135mptexd 7242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∈ V)
154 funmpt 6596 . . . . . 6 Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))
155154a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))))
156 fvexd 6917 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) ∈ V)
15712, 8, 6, 52coe1sfi 22151 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
1585, 157syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
159158fsuppimpd 9403 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) ∈ Fin)
16012, 8, 6, 24coe1f 22149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
1615, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
162161ffnd 6728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•0)
163162adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
164134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ β„•0 ∈ V)
165 fvexd 6917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
166 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ))))
167163, 164, 165, 166fvdifsupp 8184 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘ˆ))
168 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
1692, 168subrg0 20532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
1701, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
171170adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
172167, 171eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘†))
173172adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘†))
174173oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))
175136ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
176175, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
177 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ))))
178177eldifad 3961 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
179 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
180144, 124, 176, 178, 179mulgnn0cld 19064 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾)
18117, 106, 168ringlz 20243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (π‘˜ ↑ π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
182175, 180, 181syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
183174, 182eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)) = (0gβ€˜π‘†))
184183mpteq2dva 5252 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (0gβ€˜π‘†)))
185 fconstmpt 5744 . . . . . . . 8 (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (0gβ€˜π‘†))
186184, 185eqtr4di 2786 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}))
187137cmnmndd 19773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
18819, 168pws0g 18739 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ V) β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
189187, 133, 188syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
190189adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝐾 Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
191186, 190eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
192191, 135suppss2 8214 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) supp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) βŠ† (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
193 suppssfifsupp 9413 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) ∧ (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) ∈ V) ∧ ((𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) supp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) βŠ† (𝐴 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
194153, 155, 156, 159, 192, 193syl32anc 1375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
19519, 17, 132, 133, 135, 137, 152, 194pwsgsum 19951 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s 𝐾) Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
19678, 131, 1953eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘˜(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))(var1β€˜π‘ˆ)))))) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
19715, 196eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ ↑ π‘₯))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7690   supp csupp 8173  Fincfn 8972   finSupp cfsupp 9395   < clt 11288  β„•0cn0 12512  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218  .rcmulr 17243  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  0gc0g 17430   Ξ£g cgsu 17431   ↑s cpws 17437  Mndcmnd 18703  .gcmg 19037  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188   RingHom crh 20422  SubRingcsubrg 20520  LModclmod 20757  AssAlgcasa 21798  algSccascl 21800  var1cv1 22113  Poly1cpl1 22114  coe1cco1 22115   evalSub1 ces1 22251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-srg 20141  df-ring 20189  df-cring 20190  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-assa 21801  df-asp 21802  df-ascl 21803  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-evls 22035  df-evl 22036  df-psr1 22117  df-vr1 22118  df-ply1 22119  df-coe1 22120  df-evls1 22253  df-evl1 22254
This theorem is referenced by:  ressply1evl  22308  evls1fldgencl  33399
  Copyright terms: Public domain W3C validator