Theorem ghmabl 19349

Description: The image of an abelian group 𝐺 under a group homomorphism 𝐹 is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmabl.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmabl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ghmabl.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
ghmabl.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ghmabl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
ghmabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Assertion

Ref	Expression
ghmabl	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ghmabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
2		ghmabl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		ghmabl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
4		ghmabl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		ghmabl.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
6		ghmabl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
7		ghmabl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
8		ablgrp 19306	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	ghmgrp 18614	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
11		ablcmn 19308	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
12	7, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
13	2, 3, 4, 5, 1, 6, 12	ghmcmn 19348	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
14		isabl 19305	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Abel ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ CMnd))
15	10, 13, 14	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  –onto→wfo 6416  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Grpcgrp 18492  CMndccmn 19301  Abelcabl 19302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fo 6424  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-cmn 19303  df-abl 19304

This theorem is referenced by:  efabl  25611