Theorem ghmabl 19744

Description: The image of an abelian group 𝐺 under a group homomorphism 𝐹 is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmabl.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmabl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ghmabl.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
ghmabl.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ghmabl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
ghmabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Assertion

Ref	Expression
ghmabl	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ghmabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
2		ghmabl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		ghmabl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
4		ghmabl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		ghmabl.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
6		ghmabl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
7		ghmabl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
8		ablgrp 19697	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	ghmgrp 18979	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
11		ablcmn 19699	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
12	7, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
13	2, 3, 4, 5, 1, 6, 12	ghmcmn 19743	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
14		isabl 19696	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Abel ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ CMnd))
15	10, 13, 14	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  –onto→wfo 6479  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Grpcgrp 18846  CMndccmn 19692  Abelcabl 19693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fo 6487  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-cmn 19694  df-abl 19695

This theorem is referenced by:  efabl  26486