MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmabl 19618
Description: The image of an abelian group 𝐺 under a group homomorphism 𝐹 is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmabl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmabl.y 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmabl.p + = (+g𝐺)
ghmabl.q = (+g𝐻)
ghmabl.f ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
ghmabl.1 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
ghmabl.3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
Assertion
Ref Expression
ghmabl (𝜑𝐻 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ghmabl
StepHypRef Expression
1 ghmabl.f . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
2 ghmabl.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ghmabl.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝐻)
4 ghmabl.p . . 3 + = (+g𝐺)
5 ghmabl.q . . 3 = (+g𝐻)
6 ghmabl.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
7 ghmabl.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
8 ablgrp 19574 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9ghmgrp 18878 . 2 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
11 ablcmn 19576 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
127, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
132, 3, 4, 5, 1, 6, 12ghmcmn 19617 . 2 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
14 isabl 19573 . 2 (𝐻 ∈ Abel ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ CMnd))
1510, 13, 14sylanbrc 584 1 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  ontowfo 6499  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Grpcgrp 18755  CMndccmn 19569  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fo 6507  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  efabl  25922
  Copyright terms: Public domain W3C validator