Theorem efabl 26768

Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number, is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
efabl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))

Assertion

Ref	Expression
efabl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efabl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)) = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))
4		eqid 2765	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝜑)
6		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
7		efabl.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
8		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑋) = (ℂfld ↾s 𝑋)
9	8	subgbas 19242	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
11	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
12	6, 11	eleqtrrd 2868	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
14	13, 11	eleqtrrd 2868	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15		efabl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15, 7	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)))
17		efabl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
18	17	efgh 26759	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
19	16, 18	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
20		cnfldadd 21580	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
21	8, 20	ressplusg 17368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
22	7, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
24	23	oveqd 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦))
25	24	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)))
26		mptexg 7226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
27	17, 26	eqeltrid 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝐹 ∈ V)
28		rnexg 7905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
29		efabl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
30		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
31		cnfldmul 21582	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	30, 31	mgpplusg 20266	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
33	29, 32	ressplusg 17368	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g‘𝐺))
34	7, 27, 28, 33	4syl 20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘𝐺))
35	34	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → · = (+g‘𝐺))
36	35	oveqd 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
37	19, 25, 36	3eqtr3d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
38	5, 12, 14, 37	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
39		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ V
40	39, 17	fnmpti 6682	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn 𝑋
41		dffn4 6802	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 ↔ 𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹)
42	40, 41	mpbi 233	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹
43		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐹)
44		eff 16159	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
46	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
47		cnfldbas 21578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
48	47	subgss 19239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
49	7, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
50	49	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
51	46, 50	mulcld 11246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
52	45, 51	ffvelcdmd 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
53	52	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
54	17	rnmptss 7122	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
55	30, 47	mgpbas 20267	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
56	29, 55	ressbas2 17322	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
57	53, 54, 56	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
58	43, 10, 57	foeq123d 6817	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:(Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))–onto→(Base‘𝐺)))
59	42, 58	mpbii 236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))–onto→(Base‘𝐺))
60		cnring 21596	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
61		ringabl 20411	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
62	60, 61	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Abel
63	8	subgabl 19952	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s 𝑋) ∈ Abel)
64	62, 7, 63	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝑋) ∈ Abel)
65	1, 2, 3, 4, 38, 59, 64	ghmabl 19948	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115   + caddc 11120   · cmul 11122  expce 16139  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  +_gcplusg 17334  SubGrpcsubg 19232  Abelcabl 19897  mulGrpcmgp 20262  Ringcrg 20361  ℂ_fldccnfld 21574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16145  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-subg 19235  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-cnfld 21575

This theorem is used by:  efsubm  26769  circgrp  26770