Theorem efabl 26795

Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number, is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
efabl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))

Assertion

Ref	Expression
efabl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efabl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)) = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))
4		eqid 2762	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝜑)
6		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
7		efabl.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
8		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑋) = (ℂfld ↾s 𝑋)
9	8	subgbas 19259	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
11	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
12	6, 11	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
14	13, 11	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15		efabl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15, 7	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)))
17		efabl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
18	17	efgh 26786	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
19	16, 18	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
20		cnfldadd 21597	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
21	8, 20	ressplusg 17382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
22	7, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
24	23	oveqd 7434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦))
25	24	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)))
26		mptexg 7224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
27	17, 26	eqeltrid 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝐹 ∈ V)
28		rnexg 7903	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
29		efabl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
30		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
31		cnfldmul 21599	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	30, 31	mgpplusg 20283	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
33	29, 32	ressplusg 17382	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g‘𝐺))
34	7, 27, 28, 33	4syl 20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘𝐺))
35	34	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → · = (+g‘𝐺))
36	35	oveqd 7434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
37	19, 25, 36	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
38	5, 12, 14, 37	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
39		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ V
40	39, 17	fnmpti 6679	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn 𝑋
41		dffn4 6799	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 ↔ 𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹)
42	40, 41	mpbi 233	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹
43		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐹)
44		eff 16173	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
46	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
47		cnfldbas 21595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
48	47	subgss 19256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
49	7, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
50	49	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
51	46, 50	mulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
52	45, 51	ffvelcdmd 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
53	52	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
54	17	rnmptss 7120	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
55	30, 47	mgpbas 20284	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
56	29, 55	ressbas2 17336	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
57	53, 54, 56	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
58	43, 10, 57	foeq123d 6814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:(Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))–onto→(Base‘𝐺)))
59	42, 58	mpbii 236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))–onto→(Base‘𝐺))
60		cnring 21613	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
61		ringabl 20428	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
62	60, 61	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Abel
63	8	subgabl 19969	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s 𝑋) ∈ Abel)
64	62, 7, 63	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝑋) ∈ Abel)
65	1, 2, 3, 4, 38, 59, 64	ghmabl 19965	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   · cmul 11133  expce 16153  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  +_gcplusg 17348  SubGrpcsubg 19249  Abelcabl 19914  mulGrpcmgp 20279  Ringcrg 20378  ℂ_fldccnfld 21591

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-subg 19252  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-cnfld 21592

This theorem is used by:  efsubm  26796  circgrp  26797