MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efabl 26592
Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number, is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
efabl.1 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
Assertion
Ref Expression
efabl (𝜑𝐺 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efabl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (Base‘(ℂflds 𝑋)) = (Base‘(ℂflds 𝑋))
2 eqid 2737 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3 eqid 2737 . 2 (+g‘(ℂflds 𝑋)) = (+g‘(ℂflds 𝑋))
4 eqid 2737 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 simp1 1137 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝜑)
6 simp2 1138 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)))
7 efabl.4 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
8 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℂflds 𝑋) = (ℂflds 𝑋)
98subgbas 19148 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 = (Base‘(ℂflds 𝑋)))
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (Base‘(ℂflds 𝑋)))
11103ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝑋 = (Base‘(ℂflds 𝑋)))
126, 11eleqtrrd 2844 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝑥𝑋)
13 simp3 1139 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)))
1413, 11eleqtrrd 2844 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝑦𝑋)
15 efabl.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1615, 7jca 511 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)))
17 efabl.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
1817efgh 26583 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
1916, 18syl3an1 1164 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
20 cnfldadd 21370 . . . . . . . . 9 + = (+g‘ℂfld)
218, 20ressplusg 17334 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂflds 𝑋)))
227, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → + = (+g‘(ℂflds 𝑋)))
23223ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → + = (+g‘(ℂflds 𝑋)))
2423oveqd 7448 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂflds 𝑋))𝑦))
2524fveq2d 6910 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂflds 𝑋))𝑦)))
26 mptexg 7241 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
2717, 26eqeltrid 2845 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝐹 ∈ V)
28 rnexg 7924 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
29 efabl.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
30 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
31 cnfldmul 21372 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
3230, 31mgpplusg 20141 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3329, 32ressplusg 17334 . . . . . . 7 (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g𝐺))
347, 27, 28, 334syl 19 . . . . . 6 (𝜑 → · = (+g𝐺))
35343ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → · = (+g𝐺))
3635oveqd 7448 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝐺)(𝐹𝑦)))
3719, 25, 363eqtr3d 2785 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂflds 𝑋))𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝐺)(𝐹𝑦)))
385, 12, 14, 37syl3anc 1373 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂflds 𝑋))𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝐺)(𝐹𝑦)))
39 fvex 6919 . . . . 5 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ V
4039, 17fnmpti 6711 . . . 4 𝐹 Fn 𝑋
41 dffn4 6826 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑋𝐹:𝑋onto→ran 𝐹)
4240, 41mpbi 230 . . 3 𝐹:𝑋onto→ran 𝐹
43 eqidd 2738 . . . 4 (𝜑𝐹 = 𝐹)
44 eff 16117 . . . . . . . 8 exp:ℂ⟶ℂ
4544a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
4615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
47 cnfldbas 21368 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
4847subgss 19145 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
497, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
5049sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
5146, 50mulcld 11281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
5245, 51ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
5352ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
5417rnmptss 7143 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
5530, 47mgpbas 20142 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
5629, 55ressbas2 17283 . . . . 5 (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
5753, 54, 563syl 18 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
5843, 10, 57foeq123d 6841 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝑋onto→ran 𝐹𝐹:(Base‘(ℂflds 𝑋))–onto→(Base‘𝐺)))
5942, 58mpbii 233 . 2 (𝜑𝐹:(Base‘(ℂflds 𝑋))–onto→(Base‘𝐺))
60 cnring 21403 . . . 4 fld ∈ Ring
61 ringabl 20278 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
6260, 61ax-mp 5 . . 3 fld ∈ Abel
638subgabl 19854 . . 3 ((ℂfld ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → (ℂflds 𝑋) ∈ Abel)
6462, 7, 63sylancr 587 . 2 (𝜑 → (ℂflds 𝑋) ∈ Abel)
651, 2, 3, 4, 38, 59, 64ghmabl 19850 1 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  cmpt 5225  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153   + caddc 11158   · cmul 11160  expce 16097  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  SubGrpcsubg 19138  Abelcabl 19799  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by:  efsubm  26593  circgrp  26594
  Copyright terms: Public domain W3C validator