MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efabl 26051
Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number, is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
efabl.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
efabl.2 𝐺 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs ran 𝐹)
efabl.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
efabl.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
Assertion
Ref Expression
efabl (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem efabl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))
2 eqid 2733 . 2 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3 eqid 2733 . 2 (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)) = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))
4 eqid 2733 . 2 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
5 simp1 1137 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))) β†’ πœ‘)
6 simp2 1138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)))
7 efabl.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
8 eqid 2733 . . . . . . 7 (β„‚fld β†Ύs 𝑋) = (β„‚fld β†Ύs 𝑋)
98subgbas 19005 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)))
107, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)))
11103ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)))
126, 11eleqtrrd 2837 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
13 simp3 1139 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)))
1413, 11eleqtrrd 2837 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
15 efabl.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1615, 7jca 513 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld)))
17 efabl.1 . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
1817efgh 26042 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘¦)))
1916, 18syl3an1 1164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘¦)))
20 cnfldadd 20942 . . . . . . . . 9 + = (+gβ€˜β„‚fld)
218, 20ressplusg 17232 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ + = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)))
227, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)))
23223ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ + = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)))
2423oveqd 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))𝑦))
2524fveq2d 6893 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) = (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))𝑦)))
26 mptexg 7220 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V)
2717, 26eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐹 ∈ V)
28 rnexg 7892 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V β†’ ran 𝐹 ∈ V)
297, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ V)
30 efabl.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs ran 𝐹)
31 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
32 cnfldmul 20943 . . . . . . . . 9 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3331, 32mgpplusg 19986 . . . . . . . 8 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3430, 33ressplusg 17232 . . . . . . 7 (ran 𝐹 ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜πΊ))
3529, 34syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β· = (+gβ€˜πΊ))
36353ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Β· = (+gβ€˜πΊ))
3736oveqd 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘¦)))
3819, 25, 373eqtr3d 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘¦)))
395, 12, 14, 38syl3anc 1372 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘¦)))
40 fvex 6902 . . . . 5 (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ V
4140, 17fnmpti 6691 . . . 4 𝐹 Fn 𝑋
42 dffn4 6809 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑋 ↔ 𝐹:𝑋–ontoβ†’ran 𝐹)
4341, 42mpbi 229 . . 3 𝐹:𝑋–ontoβ†’ran 𝐹
44 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐹)
45 eff 16022 . . . . . . . 8 exp:β„‚βŸΆβ„‚
4645a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
4715adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
48 cnfldbas 20941 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
4948subgss 19002 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
507, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
5150sselda 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5247, 51mulcld 11231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
5346, 52ffvelcdmd 7085 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
5453ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
5517rnmptss 7119 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚ β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
5631, 48mgpbas 19988 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
5730, 56ressbas2 17179 . . . . 5 (ran 𝐹 βŠ† β„‚ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜πΊ))
5854, 55, 573syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜πΊ))
5944, 10, 58foeq123d 6824 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝑋–ontoβ†’ran 𝐹 ↔ 𝐹:(Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))–ontoβ†’(Baseβ€˜πΊ)))
6043, 59mpbii 232 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝑋))–ontoβ†’(Baseβ€˜πΊ))
61 cnring 20960 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
62 ringabl 20092 . . . 4 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Abel)
6361, 62ax-mp 5 . . 3 β„‚fld ∈ Abel
648subgabl 19699 . . 3 ((β„‚fld ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝑋) ∈ Abel)
6563, 7, 64sylancr 588 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝑋) ∈ Abel)
661, 2, 3, 4, 39, 60, 65ghmabl 19695 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€“ontoβ†’wfo 6539  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105   + caddc 11110   Β· cmul 11112  expce 16002  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  +gcplusg 17194  SubGrpcsubg 18995  Abelcabl 19644  mulGrpcmgp 19982  Ringcrg 20050  β„‚fldccnfld 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-subg 18998  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-cnfld 20938
This theorem is referenced by:  efsubm  26052  circgrp  26053
  Copyright terms: Public domain W3C validator