Theorem efabl 26715

Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number, is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
efabl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))

Assertion

Ref	Expression
efabl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efabl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)) = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝜑)
6		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
7		efabl.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
8		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑋) = (ℂfld ↾s 𝑋)
9	8	subgbas 19191	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
11	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
12	6, 11	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
14	13, 11	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15		efabl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15, 7	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)))
17		efabl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
18	17	efgh 26706	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
19	16, 18	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
20		cnfldadd 21528	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
21	8, 20	ressplusg 17339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
22	7, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
24	23	oveqd 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦))
25	24	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)))
26		mptexg 7219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
27	17, 26	eqeltrid 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝐹 ∈ V)
28		rnexg 7895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
29		efabl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
30		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
31		cnfldmul 21530	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	30, 31	mgpplusg 20215	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
33	29, 32	ressplusg 17339	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g‘𝐺))
34	7, 27, 28, 33	4syl 20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘𝐺))
35	34	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → · = (+g‘𝐺))
36	35	oveqd 7427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
37	19, 25, 36	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
38	5, 12, 14, 37	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
39		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ V
40	39, 17	fnmpti 6678	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn 𝑋
41		dffn4 6798	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 ↔ 𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹)
42	40, 41	mpbi 233	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹
43		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐹)
44		eff 16130	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
46	15	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
47		cnfldbas 21526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
48	47	subgss 19188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
49	7, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
50	49	sselda 3937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
51	46, 50	mulcld 11224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
52	45, 51	ffvelcdmd 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
53	52	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
54	17	rnmptss 7118	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
55	30, 47	mgpbas 20216	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
56	29, 55	ressbas2 17293	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
57	53, 54, 56	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
58	43, 10, 57	foeq123d 6813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:(Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))–onto→(Base‘𝐺)))
59	42, 58	mpbii 236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))–onto→(Base‘𝐺))
60		cnring 21544	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
61		ringabl 20360	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
62	60, 61	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Abel
63	8	subgabl 19901	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s 𝑋) ∈ Abel)
64	62, 7, 63	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝑋) ∈ Abel)
65	1, 2, 3, 4, 38, 59, 64	ghmabl 19897	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   + caddc 11098   · cmul 11100  expce 16110  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  +_gcplusg 17305  SubGrpcsubg 19181  Abelcabl 19846  mulGrpcmgp 20211  Ringcrg 20310  ℂ_fldccnfld 21522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ico 13373  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-subg 19184  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-cnfld 21523

This theorem is referenced by:  efsubm  26716  circgrp  26717