Theorem efabl 26527

Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number, is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
efabl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))

Assertion

Ref	Expression
efabl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efabl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)) = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝜑)
6		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
7		efabl.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑋) = (ℂfld ↾s 𝑋)
9	8	subgbas 19072	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
11	10	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
12	6, 11	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
14	13, 11	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15		efabl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15, 7	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)))
17		efabl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
18	17	efgh 26518	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
19	16, 18	syl3an1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
20		cnfldadd 21327	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
21	8, 20	ressplusg 17223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
22	7, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
23	22	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
24	23	oveqd 7385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦))
25	24	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)))
26		mptexg 7177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
27	17, 26	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝐹 ∈ V)
28		rnexg 7854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
29		efabl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
30		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
31		cnfldmul 21329	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	30, 31	mgpplusg 20091	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
33	29, 32	ressplusg 17223	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g‘𝐺))
34	7, 27, 28, 33	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘𝐺))
35	34	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → · = (+g‘𝐺))
36	35	oveqd 7385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
37	19, 25, 36	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
38	5, 12, 14, 37	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
39		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ V
40	39, 17	fnmpti 6643	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn 𝑋
41		dffn4 6760	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 ↔ 𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹)
42	40, 41	mpbi 230	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹
43		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐹)
44		eff 16016	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
46	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
47		cnfldbas 21325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
48	47	subgss 19069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
49	7, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
50	49	sselda 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
51	46, 50	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
52	45, 51	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
53	52	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
54	17	rnmptss 7077	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
55	30, 47	mgpbas 20092	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
56	29, 55	ressbas2 17177	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
57	53, 54, 56	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
58	43, 10, 57	foeq123d 6775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:(Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))–onto→(Base‘𝐺)))
59	42, 58	mpbii 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))–onto→(Base‘𝐺))
60		cnring 21357	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
61		ringabl 20228	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
62	60, 61	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Abel
63	8	subgabl 19777	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s 𝑋) ∈ Abel)
64	62, 7, 63	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝑋) ∈ Abel)
65	1, 2, 3, 4, 38, 59, 64	ghmabl 19773	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  –onto→wfo 6498  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   · cmul 11043  expce 15996  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17189  SubGrpcsubg 19062  Abelcabl 19722  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  ℂ_fldccnfld 21321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-cnfld 21322

This theorem is referenced by:  efsubm  26528  circgrp  26529