Theorem ghomf 38569

Description: Mapping property of a group homomorphism. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghomf.1	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
ghomf.2	⊢ 𝑊 = ran 𝐻

Assertion

Ref	Expression
ghomf	⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐻 ∈ GrpOp ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpOpHom 𝐻)) → 𝐹:𝑋⟶𝑊)

Proof of Theorem ghomf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghomf.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
2		ghomf.2	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ran 𝐻
3	1, 2	elghomOLD 38566	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐻 ∈ GrpOp) → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpOpHom 𝐻) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐻(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑥𝐺𝑦)))))
4	3	simprbda 503	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐻 ∈ GrpOp) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpOpHom 𝐻)) → 𝐹:𝑋⟶𝑊)
5	4	3impa 1126	1 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐻 ∈ GrpOp ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpOpHom 𝐻)) → 𝐹:𝑋⟶𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ran crn 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  GrpOpcgr 30852   GrpOpHom cghomOLD 38562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-ghomOLD 38563

This theorem is used by:  ghomdiv  38571  grpokerinj  38572