Theorem op0cl 38593

Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 31052 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0cl.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op0cl	⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem op0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2727	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		op0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p0val 18410	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7	1, 6, 2	op01dm 38592	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
8	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
9	1, 2, 5, 8	glbcl 18353	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
10	4, 9	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  Basecbs 17171  lubclub 18292  glbcglb 18293  0.cp0 18406  OPcops 38581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-glb 18330  df-p0 18408  df-oposet 38585

This theorem is referenced by:  ople0  38596  lub0N  38598  opltn0  38599  opoc1  38611  opoc0  38612  olj01  38634  olj02  38635  olm01  38645  olm02  38646  0ltat  38700  leatb  38701  hlhgt2  38799  hl0lt1N  38800  hl2at  38815  atcvr0eq  38836  lnnat  38837  atle  38846  athgt  38866  1cvratex  38883  ps-2  38888  dalemcea  39070  pmapeq0  39176  2atm2atN  39195  lhp0lt  39413  lhpn0  39414  ltrnatb  39547  cdleme3c  39640  cdleme7e  39657  dia0eldmN  40450  dia2dimlem2  40475  dia2dimlem3  40476  dib0  40574  dih0  40690  dih0bN  40691  dih0rn  40694  dihlspsnssN  40742  dihlspsnat  40743  dihatexv  40748