Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op0cl 36307
Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 29024 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0cl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0cl.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op0cl (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)

Proof of Theorem op0cl
StepHypRef Expression
1 op0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2819 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 op0cl.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3p0val 17643 . 2 (𝐾 ∈ OP → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6 eqid 2819 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
71, 6, 2op01dm 36306 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
87simprd 498 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
91, 2, 5, 8glbcl 17600 . 2 (𝐾 ∈ OP → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
104, 9eqeltrd 2911 1 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  dom cdm 5548  cfv 6348  Basecbs 16475  lubclub 17544  glbcglb 17545  0.cp0 17639  OPcops 36295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-glb 17577  df-p0 17641  df-oposet 36299
This theorem is referenced by:  ople0  36310  lub0N  36312  opltn0  36313  opoc1  36325  opoc0  36326  olj01  36348  olj02  36349  olm01  36359  olm02  36360  0ltat  36414  leatb  36415  hlhgt2  36512  hl0lt1N  36513  hl2at  36528  atcvr0eq  36549  lnnat  36550  atle  36559  athgt  36579  1cvratex  36596  ps-2  36601  dalemcea  36783  pmapeq0  36889  2atm2atN  36908  lhp0lt  37126  lhpn0  37127  ltrnatb  37260  cdleme3c  37353  cdleme7e  37370  dia0eldmN  38163  dia2dimlem2  38188  dia2dimlem3  38189  dib0  38287  dih0  38403  dih0bN  38404  dih0rn  38407  dihlspsnssN  38455  dihlspsnat  38456  dihatexv  38461
  Copyright terms: Public domain W3C validator