Theorem op0cl 39131

Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 31170 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0cl.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op0cl	⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem op0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		op0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p0val 18424	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7	1, 6, 2	op01dm 39130	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
8	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
9	1, 2, 5, 8	glbcl 18367	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
10	4, 9	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  dom cdm 5652  ‘cfv 6528  Basecbs 17215  lubclub 18308  glbcglb 18309  0.cp0 18420  OPcops 39119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-id 5546  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-glb 18344  df-p0 18422  df-oposet 39123

This theorem is referenced by:  ople0  39134  lub0N  39136  opltn0  39137  opoc1  39149  opoc0  39150  olj01  39172  olj02  39173  olm01  39183  olm02  39184  0ltat  39238  leatb  39239  hlhgt2  39337  hl0lt1N  39338  hl2at  39353  atcvr0eq  39374  lnnat  39375  atle  39384  athgt  39404  1cvratex  39421  ps-2  39426  dalemcea  39608  pmapeq0  39714  2atm2atN  39733  lhp0lt  39951  lhpn0  39952  ltrnatb  40085  cdleme3c  40178  cdleme7e  40195  dia0eldmN  40988  dia2dimlem2  41013  dia2dimlem3  41014  dib0  41112  dih0  41228  dih0bN  41229  dih0rn  41232  dihlspsnssN  41280  dihlspsnat  41281  dihatexv  41286