Theorem op0cl 40241

Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 31857 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0cl.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op0cl	⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem op0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		op0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p0val 18599	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7	1, 6, 2	op01dm 40240	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
8	7	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
9	1, 2, 5, 8	glbcl 18542	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
10	4, 9	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lubclub 18483  glbcglb 18484  0.cp0 18595  OPcops 40229

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-glb 18519  df-p0 18597  df-oposet 40233

This theorem is used by:  ople0  40244  lub0N  40246  opltn0  40247  opoc1  40259  opoc0  40260  olj01  40282  olj02  40283  olm01  40293  olm02  40294  0ltat  40348  leatb  40349  hlhgt2  40446  hl0lt1N  40447  hl2at  40462  atcvr0eq  40483  lnnat  40484  atle  40493  athgt  40513  1cvratex  40530  ps-2  40535  dalemcea  40717  pmapeq0  40823  2atm2atN  40842  lhp0lt  41060  lhpn0  41061  ltrnatb  41194  cdleme3c  41287  cdleme7e  41304  dia0eldmN  42097  dia2dimlem2  42122  dia2dimlem3  42123  dib0  42221  dih0  42337  dih0bN  42338  dih0rn  42341  dihlspsnssN  42389  dihlspsnat  42390  dihatexv  42395