Theorem op0cl 39150

Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 31157 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0cl.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op0cl	⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem op0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		op0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p0val 18362	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7	1, 6, 2	op01dm 39149	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
8	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
9	1, 2, 5, 8	glbcl 18305	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
10	4, 9	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  lubclub 18246  glbcglb 18247  0.cp0 18358  OPcops 39138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-glb 18282  df-p0 18360  df-oposet 39142

This theorem is referenced by:  ople0  39153  lub0N  39155  opltn0  39156  opoc1  39168  opoc0  39169  olj01  39191  olj02  39192  olm01  39202  olm02  39203  0ltat  39257  leatb  39258  hlhgt2  39356  hl0lt1N  39357  hl2at  39372  atcvr0eq  39393  lnnat  39394  atle  39403  athgt  39423  1cvratex  39440  ps-2  39445  dalemcea  39627  pmapeq0  39733  2atm2atN  39752  lhp0lt  39970  lhpn0  39971  ltrnatb  40104  cdleme3c  40197  cdleme7e  40214  dia0eldmN  41007  dia2dimlem2  41032  dia2dimlem3  41033  dib0  41131  dih0  41247  dih0bN  41248  dih0rn  41251  dihlspsnssN  41299  dihlspsnat  41300  dihatexv  41305