Theorem op0cl 36322

Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 29034 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0cl.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op0cl	⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem op0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2823	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		op0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p0val 17653	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7	1, 6, 2	op01dm 36321	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
8	7	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
9	1, 2, 5, 8	glbcl 17610	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
10	4, 9	eqeltrd 2915	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  lubclub 17554  glbcglb 17555  0.cp0 17649  OPcops 36310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-glb 17587  df-p0 17651  df-oposet 36314

This theorem is referenced by:  ople0  36325  lub0N  36327  opltn0  36328  opoc1  36340  opoc0  36341  olj01  36363  olj02  36364  olm01  36374  olm02  36375  0ltat  36429  leatb  36430  hlhgt2  36527  hl0lt1N  36528  hl2at  36543  atcvr0eq  36564  lnnat  36565  atle  36574  athgt  36594  1cvratex  36611  ps-2  36616  dalemcea  36798  pmapeq0  36904  2atm2atN  36923  lhp0lt  37141  lhpn0  37142  ltrnatb  37275  cdleme3c  37368  cdleme7e  37385  dia0eldmN  38178  dia2dimlem2  38203  dia2dimlem3  38204  dib0  38302  dih0  38418  dih0bN  38419  dih0rn  38422  dihlspsnssN  38470  dihlspsnat  38471  dihatexv  38476