Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  glbeldm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbeldm2d 48856
Description: Member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lubeldm2d.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
lubeldm2d.l (𝜑 = (le‘𝐾))
glbeldm2d.g (𝜑𝐺 = (glb‘𝐾))
glbeldm2d.p ((𝜑𝑥𝐵) → (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
glbeldm2d.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
Assertion
Ref Expression
glbeldm2d (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeldm2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2737 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 eqid 2737 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
4 biid 261 . . 3 ((∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
5 glbeldm2d.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
61, 2, 3, 4, 5glbeldm2 48854 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom (glb‘𝐾) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
7 glbeldm2d.g . . . 4 (𝜑𝐺 = (glb‘𝐾))
87dmeqd 5916 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 = dom (glb‘𝐾))
98eleq2d 2827 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺𝑆 ∈ dom (glb‘𝐾)))
10 lubeldm2d.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
1110sseq2d 4016 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)))
12 glbeldm2d.p . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
13 lubeldm2d.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 = (le‘𝐾))
1413breqd 5154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 𝑦𝑥(le‘𝐾)𝑦))
1514ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
1613breqd 5154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑧 𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑦))
1716ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦))
1813breqd 5154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 𝑥𝑧(le‘𝐾)𝑥))
1917, 18imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
2010, 19raleqbidv 3346 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
2115, 20anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2312, 22bitrd 279 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2423pm5.32da 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝜓) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
2510eleq2d 2827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐾)))
2625anbi1d 631 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
2724, 26bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝜓) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
2827rexbidv2 3175 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2911, 28anbi12d 632 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
306, 9, 293bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  glbcglb 18356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-proset 18340  df-poset 18359  df-glb 18392
This theorem is referenced by:  ipoglbdm  48879
  Copyright terms: Public domain W3C validator