Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  glbeldm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbeldm2d 47969
Description: Member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lubeldm2d.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
lubeldm2d.l (𝜑 = (le‘𝐾))
glbeldm2d.g (𝜑𝐺 = (glb‘𝐾))
glbeldm2d.p ((𝜑𝑥𝐵) → (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
glbeldm2d.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
Assertion
Ref Expression
glbeldm2d (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem glbeldm2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2728 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 eqid 2728 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
4 biid 261 . . 3 ((∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
5 glbeldm2d.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
61, 2, 3, 4, 5glbeldm2 47967 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom (glb‘𝐾) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
7 glbeldm2d.g . . . 4 (𝜑𝐺 = (glb‘𝐾))
87dmeqd 5903 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 = dom (glb‘𝐾))
98eleq2d 2815 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺𝑆 ∈ dom (glb‘𝐾)))
10 lubeldm2d.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
1110sseq2d 4011 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)))
12 glbeldm2d.p . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥))))
13 lubeldm2d.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 = (le‘𝐾))
1413breqd 5154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 𝑦𝑥(le‘𝐾)𝑦))
1514ralbidv 3173 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
1613breqd 5154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑧 𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑦))
1716ralbidv 3173 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦))
1813breqd 5154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 𝑥𝑧(le‘𝐾)𝑥))
1917, 18imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
2010, 19raleqbidv 3338 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
2115, 20anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 𝑥)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2312, 22bitrd 279 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2423pm5.32da 578 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝜓) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
2510eleq2d 2815 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐾)))
2625anbi1d 630 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
2724, 26bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝜓) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
2827rexbidv2 3170 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
2911, 28anbi12d 631 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦𝑆 𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
306, 9, 293bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  wss 3945   class class class wbr 5143  dom cdm 5673  cfv 6543  Basecbs 17174  lecple 17234  Posetcpo 18293  glbcglb 18296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-proset 18281  df-poset 18299  df-glb 18333
This theorem is referenced by:  ipoglbdm  47992
  Copyright terms: Public domain W3C validator