Theorem ipoglbdm 46694

Description: The domain of the GLB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglbdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})

Assertion

Ref	Expression
ipoglbdm	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipoglbdm

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipolub.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
2		ipolub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18347	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7		ipoglb.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
9	3, 2, 1, 8	ipoglblem 46693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑤))))
10	3	ipopos 18352	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
12	5, 6, 7, 9, 11	glbeldm2d 46671	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐹 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)))))
13	1, 12	mpbirand 704	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))))
14		ipoglbdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
15	14	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
16		unilbeu 46689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐹 → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
17	16	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐹 ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
18	17	adantll 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
19	15, 18	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 = 𝑤)
20		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 ∈ 𝐹)
21	19, 20	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 ∈ 𝐹)
22	21	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) → 𝑇 ∈ 𝐹))
23		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝐹)
24		unilbeu 46689	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
25	24	biimparc 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
26	14, 25	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
27		sseq1 3957	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ 𝑇 ⊆ ∩ 𝑆))
28		sseq2 3958	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (𝑧 ⊆ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑇))
29	28	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → ((𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤) ↔ (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
30	29	ralbidv 3170	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
31	27, 30	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇))))
32	22, 23, 26, 31	rspceb2dv 46566	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
33	13, 32	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3403   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4853  ∩ cint 4895  dom cdm 5621  ‘cfv 6480  Basecbs 17010  lecple 17067  Posetcpo 18123  glbcglb 18126  toInccipo 18343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-fz 13342  df-struct 16946  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ocomp 17081  df-proset 18111  df-poset 18129  df-glb 18163  df-ipo 18344

This theorem is referenced by:  mreclat  46701  topclat  46702