Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ipoglbdm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipoglbdm 47703
Description: The domain of the GLB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ipolub.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΉ)
ipolub.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐹)
ipoglb.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (glbβ€˜πΌ))
ipoglbdm.t (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐹 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ 𝑆})
Assertion
Ref Expression
ipoglbdm (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem ipoglbdm
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipolub.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐹)
2 ipolub.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
3 ipolub.i . . . . . 6 𝐼 = (toIncβ€˜πΉ)
43ipobas 18489 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 = (Baseβ€˜πΌ))
52, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Baseβ€˜πΌ))
6 eqidd 2732 . . . 4 (πœ‘ β†’ (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜πΌ))
7 ipoglb.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (glbβ€˜πΌ))
8 eqid 2731 . . . . 5 (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜πΌ)
93, 2, 1, 8ipoglblem 47702 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) β†’ ((𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑀(leβ€˜πΌ)𝑦 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑧(leβ€˜πΌ)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜πΌ)𝑀))))
103ipopos 18494 . . . . 5 𝐼 ∈ Poset
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Poset)
125, 6, 7, 9, 11glbeldm2d 47680 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 βŠ† 𝐹 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀)))))
131, 12mpbirand 704 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀))))
14 ipoglbdm.t . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐹 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ 𝑆})
1514ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ (𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀))) β†’ 𝑇 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐹 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ 𝑆})
16 unilbeu 47698 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝐹 β†’ ((𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀)) ↔ 𝑀 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐹 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ 𝑆}))
1716biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝐹 ∧ (𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀))) β†’ 𝑀 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐹 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ 𝑆})
1817adantll 711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ (𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀))) β†’ 𝑀 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐹 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ 𝑆})
1915, 18eqtr4d 2774 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ (𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀))) β†’ 𝑇 = 𝑀)
20 simplr 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ (𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐹)
2119, 20eqeltrd 2832 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) ∧ (𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐹)
2221ex 412 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝐹) β†’ ((𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐹))
23 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) β†’ 𝑇 ∈ 𝐹)
24 unilbeu 47698 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝐹 β†’ ((𝑇 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑇)) ↔ 𝑇 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐹 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ 𝑆}))
2524biimparc 479 . . . 4 ((𝑇 = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐹 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ 𝑆} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) β†’ (𝑇 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑇)))
2614, 25sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) β†’ (𝑇 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑇)))
27 sseq1 4007 . . . 4 (𝑀 = 𝑇 β†’ (𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ↔ 𝑇 βŠ† ∩ 𝑆))
28 sseq2 4008 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑇 β†’ (𝑧 βŠ† 𝑀 ↔ 𝑧 βŠ† 𝑇))
2928imbi2d 340 . . . . 5 (𝑀 = 𝑇 β†’ ((𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀) ↔ (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑇)))
3029ralbidv 3176 . . . 4 (𝑀 = 𝑇 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑇)))
3127, 30anbi12d 630 . . 3 (𝑀 = 𝑇 β†’ ((𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀)) ↔ (𝑇 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑇))))
3222, 23, 26, 31rspceb2dv 47576 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 (𝑀 βŠ† ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐹 (𝑧 βŠ† ∩ 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑀)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
3313, 32bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  βˆ© cint 4950  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18265  glbcglb 18268  toInccipo 18485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-proset 18253  df-poset 18271  df-glb 18305  df-ipo 18486
This theorem is referenced by:  mreclat  47710  topclat  47711
  Copyright terms: Public domain W3C validator