Theorem ipoglbdm 48352

Description: The domain of the GLB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglbdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})

Assertion

Ref	Expression
ipoglbdm	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipoglbdm

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipolub.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
2		ipolub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18551	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7		ipoglb.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
8		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
9	3, 2, 1, 8	ipoglblem 48351	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑤))))
10	3	ipopos 18556	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
12	5, 6, 7, 9, 11	glbeldm2d 48329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐹 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)))))
13	1, 12	mpbirand 705	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))))
14		ipoglbdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
15	14	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
16		unilbeu 48347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐹 → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
17	16	biimpa 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐹 ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
18	17	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
19	15, 18	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 = 𝑤)
20		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 ∈ 𝐹)
21	19, 20	eqeltrd 2826	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 ∈ 𝐹)
22	21	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) → 𝑇 ∈ 𝐹))
23		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝐹)
24		unilbeu 48347	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
25	24	biimparc 478	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
26	14, 25	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
27		sseq1 4004	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ 𝑇 ⊆ ∩ 𝑆))
28		sseq2 4005	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (𝑧 ⊆ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑇))
29	28	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → ((𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤) ↔ (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
30	29	ralbidv 3168	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
31	27, 30	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇))))
32	22, 23, 26, 31	rspceb2dv 3611	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
33	13, 32	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3419   ⊆ wss 3946  ∪ cuni 4905  ∩ cint 4946  dom cdm 5674  ‘cfv 6546  Basecbs 17208  lecple 17268  Posetcpo 18327  glbcglb 18330  toInccipo 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-struct 17144  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ocomp 17282  df-proset 18315  df-poset 18333  df-glb 18367  df-ipo 18548

This theorem is referenced by:  mreclat  48359  topclat  48360