Theorem ipoglbdm 49100

Description: The domain of the GLB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglbdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})

Assertion

Ref	Expression
ipoglbdm	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipoglbdm

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipolub.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
2		ipolub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18437	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7		ipoglb.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
9	3, 2, 1, 8	ipoglblem 49099	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑤))))
10	3	ipopos 18442	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
12	5, 6, 7, 9, 11	glbeldm2d 49069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐹 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)))))
13	1, 12	mpbirand 707	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))))
14		ipoglbdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
15	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
16		unilbeu 49095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐹 → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
17	16	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐹 ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
18	17	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
19	15, 18	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 = 𝑤)
20		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 ∈ 𝐹)
21	19, 20	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 ∈ 𝐹)
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) → 𝑇 ∈ 𝐹))
23		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝐹)
24		unilbeu 49095	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
25	24	biimparc 479	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
26	14, 25	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
27		sseq1 3955	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ 𝑇 ⊆ ∩ 𝑆))
28		sseq2 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (𝑧 ⊆ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑇))
29	28	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → ((𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤) ↔ (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
30	29	ralbidv 3155	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
31	27, 30	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇))))
32	22, 23, 26, 31	rspceb2dv 3576	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
33	13, 32	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856  ∩ cint 4895  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  glbcglb 18216  toInccipo 18433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ocomp 17182  df-proset 18200  df-poset 18219  df-glb 18251  df-ipo 18434

This theorem is referenced by:  mreclat  49107  topclat  49108