Theorem ipoglbdm 46276

Description: The domain of the GLB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglbdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})

Assertion

Ref	Expression
ipoglbdm	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipoglbdm

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipolub.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
2		ipolub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18249	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7		ipoglb.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
9	3, 2, 1, 8	ipoglblem 46275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑤))))
10	3	ipopos 18254	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
12	5, 6, 7, 9, 11	glbeldm2d 46253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐹 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)))))
13	1, 12	mpbirand 704	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))))
14		ipoglbdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
15	14	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
16		unilbeu 46271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐹 → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
17	16	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐹 ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
18	17	adantll 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
19	15, 18	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 = 𝑤)
20		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 ∈ 𝐹)
21	19, 20	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 ∈ 𝐹)
22	21	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) → 𝑇 ∈ 𝐹))
23		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝐹)
24		unilbeu 46271	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
25	24	biimparc 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
26	14, 25	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
27		sseq1 3946	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ 𝑇 ⊆ ∩ 𝑆))
28		sseq2 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (𝑧 ⊆ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑇))
29	28	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → ((𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤) ↔ (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
30	29	ralbidv 3112	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
31	27, 30	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇))))
32	22, 23, 26, 31	rspceb2dv 46148	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
33	13, 32	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839  ∩ cint 4879  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Posetcpo 18025  glbcglb 18028  toInccipo 18245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ocomp 16983  df-proset 18013  df-poset 18031  df-glb 18065  df-ipo 18246

This theorem is referenced by:  mreclat  46283  topclat  46284