Theorem ipoglbdm 50097

Description: The domain of the GLB of the inclusion poset. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipolub.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
ipolub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
ipoglb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
ipoglbdm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})

Assertion

Ref	Expression
ipoglbdm	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ipoglbdm

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipolub.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐹)
2		ipolub.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		ipolub.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
4	3	ipobas 18705	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐼))
6		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
7		ipoglb.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐼))
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
9	3, 2, 1, 8	ipoglblem 50096	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑤(le‘𝐼)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑧(le‘𝐼)𝑦 → 𝑧(le‘𝐼)𝑤))))
10	3	ipopos 18710	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Poset)
12	5, 6, 7, 9, 11	glbeldm2d 50066	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐹 ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)))))
13	1, 12	mpbirand 720	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))))
14		ipoglbdm.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
15	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
16		unilbeu 50092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐹 → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
17	16	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐹 ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
18	17	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆})
19	15, 18	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 = 𝑤)
20		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑤 ∈ 𝐹)
21	19, 20	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) ∧ (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤))) → 𝑇 ∈ 𝐹)
22	21	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐹) → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) → 𝑇 ∈ 𝐹))
23		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝐹)
24		unilbeu 50092	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐹 → ((𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)) ↔ 𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆}))
25	24	biimparc 485	. . . 4 ⊢ ((𝑇 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑆} ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
26	14, 25	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ∈ 𝐹) → (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
27		sseq1 3956	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ↔ 𝑇 ⊆ ∩ 𝑆))
28		sseq2 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (𝑧 ⊆ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑇))
29	28	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → ((𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤) ↔ (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
30	29	ralbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇)))
31	27, 30	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑇 → ((𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ (𝑇 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑇))))
32	22, 23, 26, 31	rspceb2dv 3581	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝐹 (𝑤 ⊆ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐹 (𝑧 ⊆ ∩ 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑤)) ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))
33	13, 32	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑇 ∈ 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ∩ cint 4907  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  Posetcpo 18481  glbcglb 18484  toInccipo 18701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ocomp 17449  df-proset 18468  df-poset 18487  df-glb 18519  df-ipo 18702

This theorem is used by:  mreclat  50104  topclat  50105