Theorem grpsubinv 18979

Description: Subtraction of an inverse. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubinv.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpsubinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpsubinv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpsubinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpsubinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpsubinv	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem grpsubinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubinv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpsubinv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		grpsubinv.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 18954	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
8		grpsubinv.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9		grpsubinv.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	4, 8, 5, 9	grpsubval 18952	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁‘𝑌))))
11	1, 7, 10	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁‘𝑌))))
12	4, 5	grpinvinv 18972	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
13	2, 3, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
14	13	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁‘(𝑁‘𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
15	11, 14	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  -_gcsg 18902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905

This theorem is referenced by:  issubg4  19112  isnsg3  19126  lsmelvalm  19617  ablsub2inv  19774  ablsubsub4  19784  istgp2  24066  nmtri  24601  vietalem  33738  baerlem5amN  42176  baerlem5abmN  42178