MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubinv 19030
Description: Subtraction of an inverse. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubinv.p + = (+g𝐺)
grpsubinv.m = (-g𝐺)
grpsubinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpsubinv.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
grpsubinv.x (𝜑𝑋𝐵)
grpsubinv.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
grpsubinv (𝜑 → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem grpsubinv
StepHypRef Expression
1 grpsubinv.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
2 grpsubinv.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3 grpsubinv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
4 grpsubinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 grpsubinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
64, 5grpinvcl 19005 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
72, 3, 6syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
8 grpsubinv.p . . . 4 + = (+g𝐺)
9 grpsubinv.m . . . 4 = (-g𝐺)
104, 8, 5, 9grpsubval 19003 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁𝑌))))
111, 7, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁𝑌))))
124, 5grpinvinv 19023 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑌)) = 𝑌)
132, 3, 12syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁𝑌)) = 𝑌)
1413oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁‘(𝑁𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
1511, 14eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  -gcsg 18953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956
This theorem is referenced by:  issubg4  19163  isnsg3  19178  lsmelvalm  19669  ablsub2inv  19826  ablsubsub4  19836  istgp2  24099  nmtri  24639  baerlem5amN  41718  baerlem5abmN  41720
  Copyright terms: Public domain W3C validator