MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubinv 17843
Description: Subtraction of an inverse. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubinv.p + = (+g𝐺)
grpsubinv.m = (-g𝐺)
grpsubinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpsubinv.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
grpsubinv.x (𝜑𝑋𝐵)
grpsubinv.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
grpsubinv (𝜑 → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem grpsubinv
StepHypRef Expression
1 grpsubinv.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
2 grpsubinv.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3 grpsubinv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
4 grpsubinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 grpsubinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
64, 5grpinvcl 17822 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
72, 3, 6syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
8 grpsubinv.p . . . 4 + = (+g𝐺)
9 grpsubinv.m . . . 4 = (-g𝐺)
104, 8, 5, 9grpsubval 17820 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁𝑌))))
111, 7, 10syl2anc 581 . 2 (𝜑 → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁𝑌))))
124, 5grpinvinv 17837 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑌)) = 𝑌)
132, 3, 12syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁𝑌)) = 𝑌)
1413oveq2d 6922 . 2 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁‘(𝑁𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
1511, 14eqtrd 2862 1 (𝜑 → (𝑋 (𝑁𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  +gcplusg 16306  Grpcgrp 17777  invgcminusg 17778  -gcsg 17779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782
This theorem is referenced by:  issubg4  17965  isnsg3  17980  lsmelvalm  18418  ablsub2inv  18570  ablsubsub4  18578  istgp2  22266  nmtri  22801  baerlem5amN  37792  baerlem5abmN  37794
  Copyright terms: Public domain W3C validator