Theorem grpsubinv 19043

Description: Subtraction of an inverse. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubinv.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpsubinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpsubinv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpsubinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpsubinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpsubinv	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem grpsubinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubinv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpsubinv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		grpsubinv.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 19018	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
8		grpsubinv.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9		grpsubinv.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	4, 8, 5, 9	grpsubval 19016	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁‘𝑌))))
11	1, 7, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁‘𝑌))))
12	4, 5	grpinvinv 19036	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
13	2, 3, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
14	13	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁‘(𝑁‘𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
15	11, 14	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  -_gcsg 18966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969

This theorem is referenced by:  issubg4  19176  isnsg3  19191  lsmelvalm  19684  ablsub2inv  19841  ablsubsub4  19851  istgp2  24115  nmtri  24655  baerlem5amN  41699  baerlem5abmN  41701