Theorem grpsubinv 19037

Description: Subtraction of an inverse. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubinv.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
grpsubinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpsubinv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpsubinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpsubinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpsubinv	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem grpsubinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubinv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpsubinv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		grpsubinv.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpsubinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpsubinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 19012	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
8		grpsubinv.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9		grpsubinv.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10	4, 8, 5, 9	grpsubval 19010	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁‘𝑌))))
11	1, 7, 10	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + (𝑁‘(𝑁‘𝑌))))
12	4, 5	grpinvinv 19030	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
13	2, 3, 12	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
14	13	oveq2d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑁‘(𝑁‘𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
15	11, 14	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  Grpcgrp 18958  inv_gcminusg 18959  -_gcsg 18960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963

This theorem is referenced by:  issubg4  19170  isnsg3  19184  lsmelvalm  19674  ablsub2inv  19831  ablsubsub4  19841  istgp2  24131  nmtri  24666  vietalem  33837  baerlem5amN  42304  baerlem5abmN  42306