Theorem baerlem5bmN 41716

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of second equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 41717 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5bmN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5bmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		baerlem3.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		baerlem3.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		baerlem5a.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
8		baerlem3.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grpsubval 18864	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
10	2, 4, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
11	10	sneqd 4589	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑌 − 𝑍)} = {(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))})
12	11	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}))
13		baerlem3.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14		baerlem3.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15		baerlem3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16		baerlem3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
17		baerlem3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lveclmod 21010	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
19	16, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
20	5, 7	lmodvnegcl 20806	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
21	19, 4, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
23	5, 22, 15, 19, 2, 4	lspprcl 20881	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24		baerlem3.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
25	13, 22, 19, 23, 17, 24	lssneln0 20856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26	5, 15, 16, 17, 2, 4, 24	lspindpi 21039	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
27	26	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	5, 13, 15, 16, 25, 2, 27	lspsnne1 21024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
29		baerlem3.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
30	29	necomd 2980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
31	5, 13, 15, 16, 3, 2, 30	lspsnne1 21024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32	5, 15, 16, 17, 4, 2, 31, 24	lspexchn2 21038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
33		lmodgrp 20770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
36	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
37	5, 7	grpinvinv 18884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
38	35, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
39	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
40	5, 22, 15, 19, 2, 17	lspprcl 20881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
43	22, 7	lssvnegcl 20859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
45	38, 44	eqeltrrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
46	32, 45	mtand 815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
47	5, 15, 16, 21, 17, 2, 28, 46	lspexchn2 21038	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
48	5, 7, 15	lspsnneg 20909	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
49	19, 4, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
50	29, 49	neeqtrrd 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
51	5, 13, 7	grpinvnzcl 18890	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	34, 3, 51	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53	5, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 47, 50, 1, 52, 6	baerlem5b 41714	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
54	49	oveq2d 7365	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
55	10	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
56	55	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))) = (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)))
57	56	sneqd 4589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))} = {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))})
58	57	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}))
59	58	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
60	54, 59	ineq12d 4172	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
61	12, 53, 60	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902  {csn 4577  {cpr 4579  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813  -_gcsg 18814  LSSumclsm 19513  LModclmod 20763  LSubSpclss 20834  LSpanclspn 20874  LVecclvec 21006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lvec 21007

This theorem is referenced by: (None)