Theorem baerlem5bmN 39319

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of second equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 39320 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5bmN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5bmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		baerlem3.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		baerlem3.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		baerlem5a.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
8		baerlem3.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grpsubval 18221	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
10	2, 4, 9	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
11	10	sneqd 4537	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑌 − 𝑍)} = {(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))})
12	11	fveq2d 6666	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}))
13		baerlem3.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14		baerlem3.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15		baerlem3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16		baerlem3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
17		baerlem3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lveclmod 19951	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
19	16, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
20	5, 7	lmodvnegcl 19748	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
21	19, 4, 20	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
23	5, 22, 15, 19, 2, 4	lspprcl 19823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24		baerlem3.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
25	13, 22, 19, 23, 17, 24	lssneln0 19797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26	5, 15, 16, 17, 2, 4, 24	lspindpi 19977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
27	26	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	5, 13, 15, 16, 25, 2, 27	lspsnne1 19962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
29		baerlem3.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
30	29	necomd 3006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
31	5, 13, 15, 16, 3, 2, 30	lspsnne1 19962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32	5, 15, 16, 17, 4, 2, 31, 24	lspexchn2 19976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
33		lmodgrp 19714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
35	34	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
36	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
37	5, 7	grpinvinv 18238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
38	35, 36, 37	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
39	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
40	5, 22, 15, 19, 2, 17	lspprcl 19823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
41	40	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
43	22, 7	lssvnegcl 19801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
45	38, 44	eqeltrrd 2853	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
46	32, 45	mtand 815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
47	5, 15, 16, 21, 17, 2, 28, 46	lspexchn2 19976	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
48	5, 7, 15	lspsnneg 19851	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
49	19, 4, 48	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
50	29, 49	neeqtrrd 3025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
51	5, 13, 7	grpinvnzcl 18243	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	34, 3, 51	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53	5, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 47, 50, 1, 52, 6	baerlem5b 39317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
54	49	oveq2d 7171	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
55	10	eqcomd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
56	55	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))) = (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)))
57	56	sneqd 4537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))} = {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))})
58	57	fveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}))
59	58	oveq1d 7170	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
60	54, 59	ineq12d 4120	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
61	12, 53, 60	3eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3857   ∩ cin 3859  {csn 4525  {cpr 4527  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546  +_gcplusg 16628  0_gc0g 16776  Grpcgrp 18174  inv_gcminusg 18175  -_gcsg 18176  LSSumclsm 18831  LModclmod 19707  LSubSpclss 19776  LSpanclspn 19816  LVecclvec 19947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-subg 18348  df-cntz 18519  df-lsm 18833  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-oppr 19449  df-dvdsr 19467  df-unit 19468  df-invr 19498  df-drng 19577  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-lvec 19948

This theorem is referenced by: (None)