Theorem baerlem5bmN 37793

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of second equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 37794 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5bmN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5bmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		baerlem3.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		baerlem3.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		baerlem5a.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
8		baerlem3.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grpsubval 17820	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
10	2, 4, 9	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
11	10	sneqd 4410	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑌 − 𝑍)} = {(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))})
12	11	fveq2d 6438	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}))
13		baerlem3.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14		baerlem3.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15		baerlem3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16		baerlem3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
17		baerlem3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lveclmod 19466	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
19	16, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
20	5, 7	lmodvnegcl 19261	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
21	19, 4, 20	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
23	5, 22, 15, 19, 2, 4	lspprcl 19338	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24		baerlem3.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
25	13, 22, 19, 23, 17, 24	lssneln0 19310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26	5, 15, 16, 17, 2, 4, 24	lspindpi 19493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
27	26	simpld 490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	5, 13, 15, 16, 25, 2, 27	lspsnne1 19477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
29		baerlem3.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
30	29	necomd 3055	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
31	5, 13, 15, 16, 3, 2, 30	lspsnne1 19477	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32	5, 15, 16, 17, 4, 2, 31, 24	lspexchn2 19492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
33		lmodgrp 19227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
35	34	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
36	4	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
37	5, 7	grpinvinv 17837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
38	35, 36, 37	syl2anc 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
39	19	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
40	5, 22, 15, 19, 2, 17	lspprcl 19338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
41	40	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
43	22, 7	lssvnegcl 19316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
45	38, 44	eqeltrrd 2908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
46	32, 45	mtand 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
47	5, 15, 16, 21, 17, 2, 28, 46	lspexchn2 19492	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
48	5, 7, 15	lspsnneg 19366	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
49	19, 4, 48	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
50	29, 49	neeqtrrd 3074	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
51	5, 13, 7	grpinvnzcl 17842	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	34, 3, 51	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53	5, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 47, 50, 1, 52, 6	baerlem5b 37791	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
54	49	oveq2d 6922	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
55	10	eqcomd 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
56	55	oveq2d 6922	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))) = (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)))
57	56	sneqd 4410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))} = {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))})
58	57	fveq2d 6438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}))
59	58	oveq1d 6921	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
60	54, 59	ineq12d 4043	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
61	12, 53, 60	3eqtrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000   ∖ cdif 3796   ∩ cin 3798  {csn 4398  {cpr 4400  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  +_gcplusg 16306  0_gc0g 16454  Grpcgrp 17777  inv_gcminusg 17778  -_gcsg 17779  LSSumclsm 18401  LModclmod 19220  LSubSpclss 19289  LSpanclspn 19331  LVecclvec 19462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-cntz 18101  df-lsm 18403  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-drng 19106  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lvec 19463

This theorem is referenced by: (None)