Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5bmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5bmN 41719
Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of second equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 41720 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
baerlem5bmN (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5bmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21eldifad 3963 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
3 baerlem3.z . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
43eldifad 3963 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
5 baerlem3.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 baerlem5a.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (invg𝑊) = (invg𝑊)
8 baerlem3.m . . . . . 6 = (-g𝑊)
95, 6, 7, 8grpsubval 19003 . . . . 5 ((𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))
102, 4, 9syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))
1110sneqd 4638 . . 3 (𝜑 → {(𝑌 𝑍)} = {(𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))})
1211fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))}))
13 baerlem3.o . . 3 0 = (0g𝑊)
14 baerlem3.s . . 3 = (LSSum‘𝑊)
15 baerlem3.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16 baerlem3.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
17 baerlem3.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
18 lveclmod 21105 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1916, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
205, 7lmodvnegcl 20901 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
2119, 4, 20syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22 eqid 2737 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
235, 22, 15, 19, 2, 4lspprcl 20976 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24 baerlem3.c . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2513, 22, 19, 23, 17, 24lssneln0 20951 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
265, 15, 16, 17, 2, 4, 24lspindpi 21134 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2726simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
285, 13, 15, 16, 25, 2, 27lspsnne1 21119 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
29 baerlem3.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3029necomd 2996 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
315, 13, 15, 16, 3, 2, 30lspsnne1 21119 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
325, 15, 16, 17, 4, 2, 31, 24lspexchn2 21133 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
33 lmodgrp 20865 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
364adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍𝑉)
375, 7grpinvinv 19023 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍𝑉) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
3919adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
405, 22, 15, 19, 2, 17lspprcl 20976 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4322, 7lssvnegcl 20954 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4439, 41, 42, 43syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4538, 44eqeltrrd 2842 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4632, 45mtand 816 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
475, 15, 16, 21, 17, 2, 28, 46lspexchn2 21133 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg𝑊)‘𝑍)}))
485, 7, 15lspsnneg 21004 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
4919, 4, 48syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
5029, 49neeqtrrd 3015 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}))
515, 13, 7grpinvnzcl 19029 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5234, 3, 51syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
535, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 47, 50, 1, 52, 6baerlem5b 41717 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) (𝑁‘{𝑋}))))
5449oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})))
5510eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)) = (𝑌 𝑍))
5655oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))
5756sneqd 4638 . . . . 5 (𝜑 → {(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))} = {(𝑋 (𝑌 𝑍))})
5857fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}))
5958oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) (𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))
6054, 59ineq12d 4221 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) (𝑁‘{𝑋}))) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
6112, 53, 603eqtrd 2781 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  cin 3950  {csn 4626  {cpr 4628  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  -gcsg 18953  LSSumclsm 19652  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator