Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5bmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5bmN 39319
 Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of second equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 39320 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
baerlem5bmN (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5bmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21eldifad 3872 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
3 baerlem3.z . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
43eldifad 3872 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
5 baerlem3.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 baerlem5a.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
7 eqid 2758 . . . . . 6 (invg𝑊) = (invg𝑊)
8 baerlem3.m . . . . . 6 = (-g𝑊)
95, 6, 7, 8grpsubval 18221 . . . . 5 ((𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))
102, 4, 9syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))
1110sneqd 4537 . . 3 (𝜑 → {(𝑌 𝑍)} = {(𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))})
1211fveq2d 6666 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))}))
13 baerlem3.o . . 3 0 = (0g𝑊)
14 baerlem3.s . . 3 = (LSSum‘𝑊)
15 baerlem3.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16 baerlem3.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
17 baerlem3.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
18 lveclmod 19951 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1916, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
205, 7lmodvnegcl 19748 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
2119, 4, 20syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22 eqid 2758 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
235, 22, 15, 19, 2, 4lspprcl 19823 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24 baerlem3.c . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2513, 22, 19, 23, 17, 24lssneln0 19797 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
265, 15, 16, 17, 2, 4, 24lspindpi 19977 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2726simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
285, 13, 15, 16, 25, 2, 27lspsnne1 19962 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
29 baerlem3.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3029necomd 3006 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
315, 13, 15, 16, 3, 2, 30lspsnne1 19962 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
325, 15, 16, 17, 4, 2, 31, 24lspexchn2 19976 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
33 lmodgrp 19714 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
3534adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
364adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍𝑉)
375, 7grpinvinv 18238 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍𝑉) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
3835, 36, 37syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
3919adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
405, 22, 15, 19, 2, 17lspprcl 19823 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4140adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4322, 7lssvnegcl 19801 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4439, 41, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4538, 44eqeltrrd 2853 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4632, 45mtand 815 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
475, 15, 16, 21, 17, 2, 28, 46lspexchn2 19976 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg𝑊)‘𝑍)}))
485, 7, 15lspsnneg 19851 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
4919, 4, 48syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
5029, 49neeqtrrd 3025 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}))
515, 13, 7grpinvnzcl 18243 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5234, 3, 51syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
535, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 47, 50, 1, 52, 6baerlem5b 39317 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) (𝑁‘{𝑋}))))
5449oveq2d 7171 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})))
5510eqcomd 2764 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)) = (𝑌 𝑍))
5655oveq2d 7171 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))
5756sneqd 4537 . . . . 5 (𝜑 → {(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))} = {(𝑋 (𝑌 𝑍))})
5857fveq2d 6666 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}))
5958oveq1d 7170 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) (𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))
6054, 59ineq12d 4120 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) (𝑁‘{𝑋}))) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
6112, 53, 603eqtrd 2797 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3857   ∩ cin 3859  {csn 4525  {cpr 4527  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546  +gcplusg 16628  0gc0g 16776  Grpcgrp 18174  invgcminusg 18175  -gcsg 18176  LSSumclsm 18831  LModclmod 19707  LSubSpclss 19776  LSpanclspn 19816  LVecclvec 19947 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-subg 18348  df-cntz 18519  df-lsm 18833  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-oppr 19449  df-dvdsr 19467  df-unit 19468  df-invr 19498  df-drng 19577  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-lvec 19948 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator