Theorem baerlem5bmN 42222

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of second equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 42223 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5bmN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5bmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		baerlem3.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		baerlem3.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		baerlem5a.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
8		baerlem3.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grpsubval 18956	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
10	2, 4, 9	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
11	10	sneqd 4569	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑌 − 𝑍)} = {(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))})
12	11	fveq2d 6834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}))
13		baerlem3.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14		baerlem3.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15		baerlem3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16		baerlem3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
17		baerlem3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lveclmod 21099	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
19	16, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
20	5, 7	lmodvnegcl 20896	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
21	19, 4, 20	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
23	5, 22, 15, 19, 2, 4	lspprcl 20971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24		baerlem3.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
25	13, 22, 19, 23, 17, 24	lssneln0 20946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26	5, 15, 16, 17, 2, 4, 24	lspindpi 21128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
27	26	simpld 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	5, 13, 15, 16, 25, 2, 27	lspsnne1 21113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
29		baerlem3.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
30	29	necomd 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
31	5, 13, 15, 16, 3, 2, 30	lspsnne1 21113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
32	5, 15, 16, 17, 4, 2, 31, 24	lspexchn2 21127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
33		lmodgrp 20860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
35	34	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
36	4	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
37	5, 7	grpinvinv 18976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
38	35, 36, 37	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
39	19	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
40	5, 22, 15, 19, 2, 17	lspprcl 20971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
41	40	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
43	22, 7	lssvnegcl 20949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
45	38, 44	eqeltrrd 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
46	32, 45	mtand 822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
47	5, 15, 16, 21, 17, 2, 28, 46	lspexchn2 21127	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
48	5, 7, 15	lspsnneg 20999	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
49	19, 4, 48	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
50	29, 49	neeqtrrd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
51	5, 13, 7	grpinvnzcl 18982	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	34, 3, 51	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53	5, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 47, 50, 1, 52, 6	baerlem5b 42220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
54	49	oveq2d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
55	10	eqcomd 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
56	55	oveq2d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))) = (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)))
57	56	sneqd 4569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))} = {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))})
58	57	fveq2d 6834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}))
59	58	oveq1d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
60	54, 59	ineq12d 4152	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
61	12, 53, 60	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ∖ cdif 3881   ∩ cin 3883  {csn 4557  {cpr 4559  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  inv_gcminusg 18905  -_gcsg 18906  LSSumclsm 19603  LModclmod 20853  LSubSpclss 20924  LSpanclspn 20964  LVecclvec 21095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cntz 19286  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-drng 20706  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-lvec 21096

This theorem is referenced by: (None)