Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslinindsimp2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindslinindsimp2lem5 47453
Description: Lemma 5 for lindslinindsimp2 47454. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2lem5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑔,𝑦   𝑓,𝑀,𝑔,𝑦   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦   𝑔,𝑉,𝑦   𝑓,𝑍,𝑔,𝑦   0 ,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑔,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑓)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem lindslinindsimp2lem5
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3 ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
212a1d 26 . 2 ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
3 elmapi 8859 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
4 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:π‘†βŸΆπ΅ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
54expcom 413 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
65adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
76adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
87com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
93, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
1110impcom 407 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
1211biantrurd 532 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) β‰  0 )))
13 df-ne 2936 . . . . . . 7 ((π‘“β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )
1413bicomi 223 . . . . . 6 (Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) β‰  0 )
15 eldifsn 4786 . . . . . 6 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) β‰  0 ))
1612, 14, 153bitr4g 314 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
17 lindslinind.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
1817lmodfgrp 20741 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1918adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
22 lindslinind.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
23 lindslinind.0 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘…)
24 eqid 2727 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
2522, 23, 24grpinvnzcl 18958 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
2621, 25sylan 579 . . . . . 6 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
2726ex 412 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
2816, 27sylbid 239 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
29 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
3029eqeq1d 2729 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
3130notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
3231orbi2d 914 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ ((Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
3332ralbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑦 = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
3433rspcva 3605 . . . . . 6 ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))) β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
35 simpl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
37 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
38 simplrr 777 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
39 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
4039adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
41 lindslinind.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
42 eqid 2727 . . . . . . . . 9 ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
43 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
4417, 22, 23, 41, 42, 43lindslinindimp2lem2 47450 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
4536, 37, 38, 40, 44syl13anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
4723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
4846, 47breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…)))
4948notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ↔ Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…)))
50 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))
5150eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
5251notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
5349, 52orbi12d 917 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…) ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
5453rspcva 3605 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…) ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
5523breq2i 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑓 finSupp (0gβ€˜π‘…))
5655biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 finSupp 0 β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜π‘…))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜π‘…))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜π‘…))
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜π‘…))
60 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
6159, 60fsuppres 9408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…))
6261pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
6362com12 32 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
64 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6617fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
6722, 66eqtr2i 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = 𝐡
6867oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
6945, 68eleqtrrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
70 ssdifss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
73 difexg 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
76 elpwg 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V β†’ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
7872, 77mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
80 lincval 47400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
8165, 69, 79, 80syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
82 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘§))
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘§))
8483oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) = ((π‘“β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
8584mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))
8685oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
87 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
88 3anass 1093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ↔ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)))
8988bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) ↔ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
9089biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
9190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
9217, 22, 23, 41, 42, 43lindslinindimp2lem4 47452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
9336, 87, 91, 92syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
9481, 86, 933eqtrrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))
9594pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
9695com12 32 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
9763, 96jaoi 856 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…) ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
9854, 97syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
9998ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
10099com23 86 . . . . . . 7 ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
10145, 100mpcom 38 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
10234, 101syl5 34 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
103102expd 415 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
10428, 103syldc 48 . . 3 (Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
105104expd 415 . 2 (Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
1062, 105pm2.61i 182 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836   finSupp cfsupp 9377  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412   Ξ£g cgsu 17413  Grpcgrp 18881  invgcminusg 18882  LModclmod 20732   linC clinc 47395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-lmod 20734  df-linc 47397
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp2  47454
  Copyright terms: Public domain W3C validator