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Theorem lindslinindsimp2lem5 46617
Description: Lemma 5 for lindslinindsimp2 46618. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2lem5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑔,𝑦   𝑓,𝑀,𝑔,𝑦   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦   𝑔,𝑉,𝑦   𝑓,𝑍,𝑔,𝑦   0 ,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑔,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑓)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem lindslinindsimp2lem5
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3 ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
212a1d 26 . 2 ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
3 elmapi 8794 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
4 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:π‘†βŸΆπ΅ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
54expcom 415 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
65adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
76adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
87com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
93, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
1110impcom 409 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
1211biantrurd 534 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) β‰  0 )))
13 df-ne 2945 . . . . . . 7 ((π‘“β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )
1413bicomi 223 . . . . . 6 (Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) β‰  0 )
15 eldifsn 4752 . . . . . 6 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) β‰  0 ))
1612, 14, 153bitr4g 314 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
17 lindslinind.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
1817lmodfgrp 20347 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1918adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2120adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
22 lindslinind.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
23 lindslinind.0 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘…)
24 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
2522, 23, 24grpinvnzcl 18826 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
2621, 25sylan 581 . . . . . 6 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
2726ex 414 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
2816, 27sylbid 239 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })))
29 oveq1 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
3029eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
3130notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
3231orbi2d 915 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ ((Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
3332ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑦 = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
3433rspcva 3582 . . . . . 6 ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))) β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
35 simpl 484 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
3635adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
37 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
38 simplrr 777 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
39 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
4039adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
41 lindslinind.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
42 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
43 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
4417, 22, 23, 41, 42, 43lindslinindimp2lem2 46614 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
4536, 37, 38, 40, 44syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
4723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
4846, 47breq12d 5123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…)))
4948notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ↔ Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…)))
50 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))
5150eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
5251notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
5349, 52orbi12d 918 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) ↔ (Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…) ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
5453rspcva 3582 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…) ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
5523breq2i 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑓 finSupp (0gβ€˜π‘…))
5655biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 finSupp 0 β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜π‘…))
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜π‘…))
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜π‘…))
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜π‘…))
60 fvexd 6862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
6159, 60fsuppres 9337 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…))
6261pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
6362com12 32 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
64 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6617fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
6722, 66eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = 𝐡
6867oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
6945, 68eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
70 ssdifss 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
7170adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
73 difexg 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
7473adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
76 elpwg 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V β†’ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
7872, 77mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
7978adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
80 lincval 46564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
8165, 69, 79, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
82 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘§))
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘§))
8483oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) = ((π‘“β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
8584mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))
8685oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
87 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
88 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ↔ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)))
8988bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) ↔ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
9089biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
9190adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
9217, 22, 23, 41, 42, 43lindslinindimp2lem4 46616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
9336, 87, 91, 92syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
9481, 86, 933eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))
9594pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
9695com12 32 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
9763, 96jaoi 856 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) finSupp (0gβ€˜π‘…) ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
9854, 97syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
9998ex 414 . . . . . . . 8 ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
10099com23 86 . . . . . . 7 ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
10145, 100mpcom 38 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
10234, 101syl5 34 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
103102expd 417 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
10428, 103syldc 48 . . 3 (Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 β†’ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
105104expd 417 . 2 (Β¬ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
1062, 105pm2.61i 182 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  LModclmod 20338   linC clinc 46559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-linc 46561
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp2  46618
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