Theorem grpinvcl 18975

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 18974	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7079	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925

This theorem is referenced by:  grpinvcld  18976  grprinv  18978  grpinvid1  18979  grpinvid2  18980  grplrinv  18984  grplcan  18988  grpasscan1  18989  grpasscan2  18990  grpinvinv  18993  grpinvcnv  18994  grpinvnzcl  18999  grpsubinv  19000  grplmulf1o  19001  grpinvssd  19005  grpinvadd  19006  grpsubf  19007  grpsubrcan  19009  grpinvsub  19010  grpinvval2  19011  grpsubeq0  19014  grpsubadd  19016  grpaddsubass  19018  grpnpcan  19020  dfgrp3  19027  grplactcnv  19031  grpsubpropd2  19034  prdsinvlem  19037  pwssub  19042  imasgrp  19044  ghmgrp  19054  mulgcl  19079  mulgaddcomlem  19085  mulginvcom  19087  mulginvinv  19088  mulgneg2  19096  subginv  19121  subginvcl  19123  issubg4  19133  grpissubg  19134  isnsg3  19148  subgacs  19149  nmzsubg  19153  eqglact  19167  eqgcpbl  19170  qusgrp  19174  qusinv  19178  qussub  19179  eqg0subg  19184  ghminv  19211  ghmsub  19212  ghmrn  19217  ghmpreima  19226  ghmeql  19227  conjghm  19237  galcan  19292  gacan  19293  gapm  19294  gaorber  19296  gastacl  19297  gastacos  19298  cntzsubg  19327  oppggrp  19345  symgsssg  19453  symgfisg  19454  odinv  19547  sylow2blem1  19606  sylow2blem3  19608  frgpuptf  19756  frgpuplem  19758  ablinvadd  19793  ablsub2inv  19794  ablsub4  19796  ablsubsub4  19804  mulgsubdi  19815  invghm  19819  eqgabl  19820  torsubg  19840  oddvdssubg  19841  cyggeninv  19869  ringnegl  20267  ringnegr  20268  ringmneg1  20269  ringmneg2  20270  dvdsrneg  20335  unitinvcl  20355  unitnegcl  20362  cntzsubr  20571  isdrng2  20708  abvneg  20791  abvsubtri  20792  lmodvnegcl  20865  lmodvneg1  20867  lmodvsneg  20868  lmodsubvs  20880  lmodsubdi  20881  lmodsubdir  20882  lssvsubcl  20906  lspsnneg  20968  lmodvsinv  20999  lmodvsinv2  21000  lspexch  21095  lspsolvlem  21108  zrhpsgninv  21550  evpmodpmf1o  21561  dsmmsubg  21708  mplsubglem  21964  mplind  22033  cpmatinvcl  22660  chpscmatgsumbin  22787  chpscmatgsummon  22788  tgplacthmeo  24046  tgpconncomp  24056  qustgpopn  24063  tsmsxplem1  24096  tlmtgp  24139  isngp4  24556  ngpinvds  24557  ngpsubcan  24558  nmtri  24570  ngptgp  24580  tngngp3  24600  ncvspi  25113  deg1suble  26069  deg1sub  26070  dchr2sum  27241  dchrisum0re  27481  ogrpinv0le  33088  ogrpsub  33089  ogrpaddltbi  33091  ogrpaddltrbid  33093  ogrpinv0lt  33095  ogrpinvlt  33096  symgfcoeu  33098  symgsubg  33103  archirngz  33192  archiabllem1b  33195  archiabllem2c  33198  orngsqr  33331  eqgvscpbl  33370  qusxpid  33383  linds2eq  33401  quslsm  33425  nsgmgclem  33431  ressply1sub  33588  madjusmdetlem3  33865  madjusmdetlem4  33866  lflsub  39090  lflnegcl  39098  ldualvsubcl  39179  ldualvsubval  39180  dvhgrp  41131  lcfrlem2  41567  lcdvsubval  41642  mapdpglem30  41726  baerlem3lem1  41731  baerlem5alem1  41732  baerlem5blem1  41733  baerlem5blem2  41736  fldhmf1  42108  nelsubginvcld  42494  invginvrid  48322  lincext1  48410  lindslinindimp2lem1  48414  ldepsprlem  48428  ldepspr  48429  lincresunit3lem3  48430  lincresunit3lem1  48435  lincresunit3lem2  48436  lincresunit3  48437