Theorem grpinvcl 18917

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 18916	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7029	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867

This theorem is referenced by:  grpinvcld  18918  grprinv  18920  grpinvid1  18921  grpinvid2  18922  grplrinv  18926  grplcan  18930  grpasscan1  18931  grpasscan2  18932  grpinvinv  18935  grpinvcnv  18936  grpinvnzcl  18941  grpsubinv  18942  grplmulf1o  18943  grpinvssd  18947  grpinvadd  18948  grpsubf  18949  grpsubrcan  18951  grpinvsub  18952  grpinvval2  18953  grpsubeq0  18956  grpsubadd  18958  grpaddsubass  18960  grpnpcan  18962  dfgrp3  18969  grplactcnv  18973  grpsubpropd2  18976  prdsinvlem  18979  pwssub  18984  imasgrp  18986  ghmgrp  18996  mulgcl  19021  mulgaddcomlem  19027  mulginvcom  19029  mulginvinv  19030  mulgneg2  19038  subginv  19063  subginvcl  19065  issubg4  19075  grpissubg  19076  isnsg3  19089  subgacs  19090  nmzsubg  19094  eqglact  19108  eqgcpbl  19111  qusgrp  19115  qusinv  19119  qussub  19120  eqg0subg  19125  ghminv  19152  ghmsub  19153  ghmrn  19158  ghmpreima  19167  ghmeql  19168  conjghm  19178  galcan  19233  gacan  19234  gapm  19235  gaorber  19237  gastacl  19238  gastacos  19239  cntzsubg  19268  oppggrp  19286  symgsssg  19396  symgfisg  19397  odinv  19490  sylow2blem1  19549  sylow2blem3  19551  frgpuptf  19699  frgpuplem  19701  ablinvadd  19736  ablsub2inv  19737  ablsub4  19739  ablsubsub4  19747  mulgsubdi  19758  invghm  19762  eqgabl  19763  torsubg  19783  oddvdssubg  19784  cyggeninv  19812  ogrpinv0le  20065  ogrpsub  20066  ogrpaddltbi  20068  ogrpaddltrbid  20070  ogrpinv0lt  20072  ogrpinvlt  20073  ringnegl  20237  ringnegr  20238  ringmneg1  20239  ringmneg2  20240  dvdsrneg  20306  unitinvcl  20326  unitnegcl  20333  cntzsubr  20539  isdrng2  20676  abvneg  20759  abvsubtri  20760  orngsqr  20799  lmodvnegcl  20854  lmodvneg1  20856  lmodvsneg  20857  lmodsubvs  20869  lmodsubdi  20870  lmodsubdir  20871  lssvsubcl  20895  lspsnneg  20957  lmodvsinv  20988  lmodvsinv2  20989  lspexch  21084  lspsolvlem  21097  zrhpsgninv  21540  evpmodpmf1o  21551  dsmmsubg  21698  mplsubglem  21954  mplind  22025  cpmatinvcl  22661  chpscmatgsumbin  22788  chpscmatgsummon  22789  tgplacthmeo  24047  tgpconncomp  24057  qustgpopn  24064  tsmsxplem1  24097  tlmtgp  24140  isngp4  24556  ngpinvds  24557  ngpsubcan  24558  nmtri  24570  ngptgp  24580  tngngp3  24600  ncvspi  25112  deg1suble  26068  deg1sub  26069  dchr2sum  27240  dchrisum0re  27480  symgfcoeu  33164  symgsubg  33169  archirngz  33271  archiabllem1b  33274  archiabllem2c  33277  eqgvscpbl  33431  qusxpid  33444  linds2eq  33462  quslsm  33486  nsgmgclem  33492  ressply1sub  33651  madjusmdetlem3  33986  madjusmdetlem4  33987  lflsub  39337  lflnegcl  39345  ldualvsubcl  39426  ldualvsubval  39427  dvhgrp  41377  lcfrlem2  41813  lcdvsubval  41888  mapdpglem30  41972  baerlem3lem1  41977  baerlem5alem1  41978  baerlem5blem1  41979  baerlem5blem2  41982  fldhmf1  42354  nelsubginvcld  42761  invginvrid  48623  lincext1  48710  lindslinindimp2lem1  48714  ldepsprlem  48728  ldepspr  48729  lincresunit3lem3  48730  lincresunit3lem1  48735  lincresunit3lem2  48736  lincresunit3  48737