Theorem grpinvcl 19006

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 19005	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7103	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  Basecbs 17248  Grpcgrp 18952  inv_gcminusg 18953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956

This theorem is referenced by:  grpinvcld  19007  grprinv  19009  grpinvid1  19010  grpinvid2  19011  grplrinv  19015  grplcan  19019  grpasscan1  19020  grpasscan2  19021  grpinvinv  19024  grpinvcnv  19025  grpinvnzcl  19030  grpsubinv  19031  grplmulf1o  19032  grpinvssd  19036  grpinvadd  19037  grpsubf  19038  grpsubrcan  19040  grpinvsub  19041  grpinvval2  19042  grpsubeq0  19045  grpsubadd  19047  grpaddsubass  19049  grpnpcan  19051  dfgrp3  19058  grplactcnv  19062  grpsubpropd2  19065  prdsinvlem  19068  pwssub  19073  imasgrp  19075  ghmgrp  19085  mulgcl  19110  mulgaddcomlem  19116  mulginvcom  19118  mulginvinv  19119  mulgneg2  19127  subginv  19152  subginvcl  19154  issubg4  19164  grpissubg  19165  isnsg3  19179  subgacs  19180  nmzsubg  19184  eqglact  19198  eqgcpbl  19201  qusgrp  19205  qusinv  19209  qussub  19210  eqg0subg  19215  ghminv  19242  ghmsub  19243  ghmrn  19248  ghmpreima  19257  ghmeql  19258  conjghm  19268  galcan  19323  gacan  19324  gapm  19325  gaorber  19327  gastacl  19328  gastacos  19329  cntzsubg  19358  oppggrp  19377  symgsssg  19486  symgfisg  19487  odinv  19580  sylow2blem1  19639  sylow2blem3  19641  frgpuptf  19789  frgpuplem  19791  ablinvadd  19826  ablsub2inv  19827  ablsub4  19829  ablsubsub4  19837  mulgsubdi  19848  invghm  19852  eqgabl  19853  torsubg  19873  oddvdssubg  19874  cyggeninv  19902  ringnegl  20300  ringnegr  20301  ringmneg1  20302  ringmneg2  20303  dvdsrneg  20371  unitinvcl  20391  unitnegcl  20398  cntzsubr  20607  isdrng2  20744  abvneg  20828  abvsubtri  20829  lmodvnegcl  20902  lmodvneg1  20904  lmodvsneg  20905  lmodsubvs  20917  lmodsubdi  20918  lmodsubdir  20919  lssvsubcl  20943  lspsnneg  21005  lmodvsinv  21036  lmodvsinv2  21037  lspexch  21132  lspsolvlem  21145  zrhpsgninv  21604  evpmodpmf1o  21615  dsmmsubg  21764  mplsubglem  22020  mplind  22095  cpmatinvcl  22724  chpscmatgsumbin  22851  chpscmatgsummon  22852  tgplacthmeo  24112  tgpconncomp  24122  qustgpopn  24129  tsmsxplem1  24162  tlmtgp  24205  isngp4  24626  ngpinvds  24627  ngpsubcan  24628  nmtri  24640  ngptgp  24650  tngngp3  24678  ncvspi  25191  deg1suble  26147  deg1sub  26148  dchr2sum  27318  dchrisum0re  27558  ogrpinv0le  33093  ogrpsub  33094  ogrpaddltbi  33096  ogrpaddltrbid  33098  ogrpinv0lt  33100  ogrpinvlt  33101  symgfcoeu  33103  symgsubg  33108  archirngz  33197  archiabllem1b  33200  archiabllem2c  33203  orngsqr  33335  eqgvscpbl  33379  qusxpid  33392  linds2eq  33410  quslsm  33434  nsgmgclem  33440  ressply1sub  33596  madjusmdetlem3  33829  madjusmdetlem4  33830  lflsub  39069  lflnegcl  39077  ldualvsubcl  39158  ldualvsubval  39159  dvhgrp  41110  lcfrlem2  41546  lcdvsubval  41621  mapdpglem30  41705  baerlem3lem1  41710  baerlem5alem1  41711  baerlem5blem1  41712  baerlem5blem2  41715  fldhmf1  42092  nelsubginvcld  42511  invginvrid  48288  lincext1  48376  lindslinindimp2lem1  48380  ldepsprlem  48394  ldepspr  48395  lincresunit3lem3  48396  lincresunit3lem1  48401  lincresunit3lem2  48402  lincresunit3  48403