Theorem grpinvcl 18542

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 18541	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelrnda 6943	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496

This theorem is referenced by:  grprinv  18544  grpinvid1  18545  grpinvid2  18546  grplrinv  18548  grplcan  18552  grpasscan1  18553  grpasscan2  18554  grpinvinv  18557  grpinvcnv  18558  grpinvnzcl  18562  grpsubinv  18563  grplmulf1o  18564  grpinvssd  18567  grpinvadd  18568  grpsubf  18569  grpsubrcan  18571  grpinvsub  18572  grpinvval2  18573  grpsubeq0  18576  grpsubadd  18578  grpaddsubass  18580  grpnpcan  18582  dfgrp3  18589  grplactcnv  18593  grpsubpropd2  18596  prdsinvlem  18599  pwssub  18604  imasgrp  18606  ghmgrp  18614  mulgcl  18636  mulgaddcomlem  18641  mulginvcom  18643  mulginvinv  18644  mulgneg2  18652  subginv  18677  subginvcl  18679  issubg4  18689  grpissubg  18690  isnsg3  18703  subgacs  18704  nmzsubg  18708  eqger  18721  eqglact  18722  eqgcpbl  18725  qusgrp  18726  qusinv  18730  qussub  18731  ghminv  18756  ghmsub  18757  ghmrn  18762  ghmpreima  18771  ghmeql  18772  conjghm  18780  conjnmz  18783  galcan  18825  gacan  18826  gapm  18827  gaorber  18829  gastacl  18830  gastacos  18831  cntzsubg  18858  oppggrp  18879  symgsssg  18990  symgfisg  18991  odinv  19083  sylow2blem1  19140  sylow2blem3  19142  frgpuptf  19291  frgpuplem  19293  ablinvadd  19326  ablsub2inv  19327  ablsub4  19329  ablsubsub4  19335  mulgsubdi  19346  invghm  19350  eqgabl  19351  torsubg  19370  oddvdssubg  19371  cyggeninv  19398  ringnegl  19748  rngnegr  19749  ringmneg1  19750  ringmneg2  19751  ringm2neg  19752  ringsubdi  19753  rngsubdir  19754  dvdsrneg  19811  unitinvcl  19831  unitnegcl  19838  isdrng2  19916  cntzsubr  19972  abvneg  20009  abvsubtri  20010  lmodvnegcl  20079  lmodvneg1  20081  lmodvsneg  20082  lmodsubvs  20094  lmodsubdi  20095  lmodsubdir  20096  lssvsubcl  20120  lssvnegcl  20133  lspsnneg  20183  lmodvsinv  20213  lmodvsinv2  20214  lspexch  20306  lspsolvlem  20319  zrhpsgninv  20702  evpmodpmf1o  20713  dsmmsubg  20860  mplsubglem  21115  mplind  21188  mhpinvcl  21252  cpmatinvcl  21774  chpscmatgsumbin  21901  chpscmatgsummon  21902  tgplacthmeo  23162  tgpconncomp  23172  qustgpopn  23179  tsmsxplem1  23212  tlmtgp  23255  isngp4  23674  ngpinvds  23675  ngpsubcan  23676  nmtri  23688  ngptgp  23698  tngngp3  23726  ncvspi  24225  deg1suble  25177  deg1sub  25178  dchr2sum  26326  dchrisum0re  26566  ogrpinv0le  31243  ogrpsub  31244  ogrpaddltbi  31246  ogrpaddltrbid  31248  ogrpinv0lt  31250  ogrpinvlt  31251  symgfcoeu  31253  symgsubg  31258  archirngz  31345  archiabllem1b  31348  archiabllem2c  31351  orngsqr  31405  eqgvscpbl  31452  qusxpid  31461  linds2eq  31477  quslsm  31495  nsgmgclem  31498  madjusmdetlem3  31681  madjusmdetlem4  31682  lflsub  37008  lflnegcl  37016  ldualvsubcl  37097  ldualvsubval  37098  dvhgrp  39048  lcfrlem2  39484  lcdvsubval  39559  mapdpglem30  39643  baerlem3lem1  39648  baerlem5alem1  39649  baerlem5blem1  39650  baerlem5blem2  39653  nelsubginvcld  40146  invginvrid  45591  lincext1  45683  lindslinindimp2lem1  45687  ldepsprlem  45701  ldepspr  45702  lincresunit3lem3  45703  lincresunit3lem1  45708  lincresunit3lem2  45709  lincresunit3  45710