Theorem grpinvcl 19198

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 19197	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7084	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148

This theorem is used by:  grpinvcld  19199  grprinv  19201  grpinvid1  19202  grpinvid2  19203  grplrinv  19207  grplcan  19211  grpasscan1  19212  grpasscan2  19213  grpinvinv  19216  grpinvcnv  19217  grpinvnzcl  19221  grpsubinv  19222  grplmulf1o  19223  grpinvssd  19227  grpinvadd  19228  grpsubf  19229  grpsubrcan  19231  grpinvsub  19232  grpinvval2  19233  grpsubeq0  19236  grpsubadd  19238  grpaddsubass  19240  grpnpcan  19242  dfgrp3  19249  grplactcnv  19253  grpsubpropd2  19256  prdsinvlem  19259  pwssub  19264  imasgrp  19266  ghmgrp  19276  mulgcl  19301  mulgaddcomlem  19307  mulginvcom  19309  mulginvinv  19310  mulgneg2  19318  subginv  19343  subginvcl  19345  issubg4  19356  grpissubg  19357  isnsg3  19370  subgacs  19371  nmzsubg  19375  eqglact  19391  eqgcpbl  19394  qusxpid  19395  qusgrp  19401  qusinv  19405  qussub  19406  eqg0subg  19411  ghminv  19437  ghmsub  19438  ghmrn  19443  ghmpreima  19452  ghmeql  19453  conjghm  19463  galcan  19518  gacan  19519  gapm  19520  gaorber  19522  gastacl  19523  gastacos  19524  cntzsubg  19553  oppggrp  19571  symgsssg  19681  symgfisg  19682  odinv  19775  sylow2blem1  19834  sylow2blem3  19836  frgpuptf  19984  frgpuplem  19986  ablinvadd  20021  ablsub2inv  20022  ablsub4  20024  ablsubsub4  20032  mulgsubdi  20043  invghm  20047  eqgabl  20048  torsubg  20068  oddvdssubg  20069  cyggeninv  20097  ogrpinv0le  20350  ogrpsub  20351  ogrpaddltbi  20353  ogrpaddltrbid  20355  ogrpinv0lt  20357  ogrpinvlt  20358  ringnegl  20533  ringnegr  20534  ringmneg1  20535  ringmneg2  20536  dvdsrneg  20600  unitinvcl  20620  unitnegcl  20627  cntzsubr  20858  isdrng2  20997  isdrng3lem1  21005  abvneg  21083  abvsubtri  21084  orngsqr  21123  lmodvnegcl  21178  lmodvneg1  21180  lmodvsneg  21181  lmodsubvs  21193  lmodsubdi  21194  lmodsubdir  21195  lssvsubcl  21219  lspsnneg  21281  lmodvsinv  21311  lmodvsinv2  21312  lspexch  21407  lspsolvlem  21420  zrhpsgninv  21891  evpmodpmf1o  21902  dsmmsubg  22049  mplsubglem  22306  mplind  22379  cpmatinvcl  23035  chpscmatgsumbin  23162  chpscmatgsummon  23163  tgplacthmeo  24422  tgpconncomp  24432  qustgpopn  24439  tsmsxplem1  24472  tlmtgp  24515  isngp4  24931  ngpinvds  24932  ngpsubcan  24933  nmtri  24945  ngptgp  24955  tngngp3  24975  ncvspi  25477  deg1suble  26425  deg1sub  26426  dchr2sum  27600  dchrisum0re  27840  symgfcoeu  33643  symgsubg  33648  archirngz  33750  archiabllem1b  33753  archiabllem2c  33756  eqgvscpbl  33911  linds2eq  33936  quslsm  33956  nsgmgclem  33962  ressply1sub  34102  madjusmdetlem3  34461  madjusmdetlem4  34462  lflsub  40125  lflnegcl  40133  ldualvsubcl  40214  ldualvsubval  40215  dvhgrp  42165  lcfrlem2  42601  lcdvsubval  42676  mapdpglem30  42760  baerlem3lem1  42765  baerlem5alem1  42766  baerlem5blem1  42767  baerlem5blem2  42770  fldhmf1  43141  nelsubginvcld  43561  invginvrid  49479  lincext1  49566  lindslinindimp2lem1  49570  ldepsprlem  49584  ldepspr  49585  lincresunit3lem3  49586  lincresunit3lem1  49591  lincresunit3lem2  49592  lincresunit3  49593