Theorem grpinvcl 19018

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 19017	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7104	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968

This theorem is referenced by:  grpinvcld  19019  grprinv  19021  grpinvid1  19022  grpinvid2  19023  grplrinv  19027  grplcan  19031  grpasscan1  19032  grpasscan2  19033  grpinvinv  19036  grpinvcnv  19037  grpinvnzcl  19042  grpsubinv  19043  grplmulf1o  19044  grpinvssd  19048  grpinvadd  19049  grpsubf  19050  grpsubrcan  19052  grpinvsub  19053  grpinvval2  19054  grpsubeq0  19057  grpsubadd  19059  grpaddsubass  19061  grpnpcan  19063  dfgrp3  19070  grplactcnv  19074  grpsubpropd2  19077  prdsinvlem  19080  pwssub  19085  imasgrp  19087  ghmgrp  19097  mulgcl  19122  mulgaddcomlem  19128  mulginvcom  19130  mulginvinv  19131  mulgneg2  19139  subginv  19164  subginvcl  19166  issubg4  19176  grpissubg  19177  isnsg3  19191  subgacs  19192  nmzsubg  19196  eqglact  19210  eqgcpbl  19213  qusgrp  19217  qusinv  19221  qussub  19222  eqg0subg  19227  ghminv  19254  ghmsub  19255  ghmrn  19260  ghmpreima  19269  ghmeql  19270  conjghm  19280  galcan  19335  gacan  19336  gapm  19337  gaorber  19339  gastacl  19340  gastacos  19341  cntzsubg  19370  oppggrp  19391  symgsssg  19500  symgfisg  19501  odinv  19594  sylow2blem1  19653  sylow2blem3  19655  frgpuptf  19803  frgpuplem  19805  ablinvadd  19840  ablsub2inv  19841  ablsub4  19843  ablsubsub4  19851  mulgsubdi  19862  invghm  19866  eqgabl  19867  torsubg  19887  oddvdssubg  19888  cyggeninv  19916  ringnegl  20316  ringnegr  20317  ringmneg1  20318  ringmneg2  20319  dvdsrneg  20387  unitinvcl  20407  unitnegcl  20414  cntzsubr  20623  isdrng2  20760  abvneg  20844  abvsubtri  20845  lmodvnegcl  20918  lmodvneg1  20920  lmodvsneg  20921  lmodsubvs  20933  lmodsubdi  20934  lmodsubdir  20935  lssvsubcl  20960  lspsnneg  21022  lmodvsinv  21053  lmodvsinv2  21054  lspexch  21149  lspsolvlem  21162  zrhpsgninv  21621  evpmodpmf1o  21632  dsmmsubg  21781  mplsubglem  22037  mplind  22112  cpmatinvcl  22739  chpscmatgsumbin  22866  chpscmatgsummon  22867  tgplacthmeo  24127  tgpconncomp  24137  qustgpopn  24144  tsmsxplem1  24177  tlmtgp  24220  isngp4  24641  ngpinvds  24642  ngpsubcan  24643  nmtri  24655  ngptgp  24665  tngngp3  24693  ncvspi  25204  deg1suble  26161  deg1sub  26162  dchr2sum  27332  dchrisum0re  27572  ogrpinv0le  33075  ogrpsub  33076  ogrpaddltbi  33078  ogrpaddltrbid  33080  ogrpinv0lt  33082  ogrpinvlt  33083  symgfcoeu  33085  symgsubg  33090  archirngz  33179  archiabllem1b  33182  archiabllem2c  33185  orngsqr  33314  eqgvscpbl  33358  qusxpid  33371  linds2eq  33389  quslsm  33413  nsgmgclem  33419  ressply1sub  33575  madjusmdetlem3  33790  madjusmdetlem4  33791  lflsub  39049  lflnegcl  39057  ldualvsubcl  39138  ldualvsubval  39139  dvhgrp  41090  lcfrlem2  41526  lcdvsubval  41601  mapdpglem30  41685  baerlem3lem1  41690  baerlem5alem1  41691  baerlem5blem1  41692  baerlem5blem2  41695  fldhmf1  42072  nelsubginvcld  42483  invginvrid  48212  lincext1  48300  lindslinindimp2lem1  48304  ldepsprlem  48318  ldepspr  48319  lincresunit3lem3  48320  lincresunit3lem1  48325  lincresunit3lem2  48326  lincresunit3  48327