Theorem grpinvcl 18919

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinvcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvf 18918	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7029	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  Basecbs 17138  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869

This theorem is referenced by:  grpinvcld  18920  grprinv  18922  grpinvid1  18923  grpinvid2  18924  grplrinv  18928  grplcan  18932  grpasscan1  18933  grpasscan2  18934  grpinvinv  18937  grpinvcnv  18938  grpinvnzcl  18943  grpsubinv  18944  grplmulf1o  18945  grpinvssd  18949  grpinvadd  18950  grpsubf  18951  grpsubrcan  18953  grpinvsub  18954  grpinvval2  18955  grpsubeq0  18958  grpsubadd  18960  grpaddsubass  18962  grpnpcan  18964  dfgrp3  18971  grplactcnv  18975  grpsubpropd2  18978  prdsinvlem  18981  pwssub  18986  imasgrp  18988  ghmgrp  18998  mulgcl  19023  mulgaddcomlem  19029  mulginvcom  19031  mulginvinv  19032  mulgneg2  19040  subginv  19065  subginvcl  19067  issubg4  19077  grpissubg  19078  isnsg3  19091  subgacs  19092  nmzsubg  19096  eqglact  19110  eqgcpbl  19113  qusgrp  19117  qusinv  19121  qussub  19122  eqg0subg  19127  ghminv  19154  ghmsub  19155  ghmrn  19160  ghmpreima  19169  ghmeql  19170  conjghm  19180  galcan  19235  gacan  19236  gapm  19237  gaorber  19239  gastacl  19240  gastacos  19241  cntzsubg  19270  oppggrp  19288  symgsssg  19398  symgfisg  19399  odinv  19492  sylow2blem1  19551  sylow2blem3  19553  frgpuptf  19701  frgpuplem  19703  ablinvadd  19738  ablsub2inv  19739  ablsub4  19741  ablsubsub4  19749  mulgsubdi  19760  invghm  19764  eqgabl  19765  torsubg  19785  oddvdssubg  19786  cyggeninv  19814  ogrpinv0le  20067  ogrpsub  20068  ogrpaddltbi  20070  ogrpaddltrbid  20072  ogrpinv0lt  20074  ogrpinvlt  20075  ringnegl  20239  ringnegr  20240  ringmneg1  20241  ringmneg2  20242  dvdsrneg  20308  unitinvcl  20328  unitnegcl  20335  cntzsubr  20541  isdrng2  20678  abvneg  20761  abvsubtri  20762  orngsqr  20801  lmodvnegcl  20856  lmodvneg1  20858  lmodvsneg  20859  lmodsubvs  20871  lmodsubdi  20872  lmodsubdir  20873  lssvsubcl  20897  lspsnneg  20959  lmodvsinv  20990  lmodvsinv2  20991  lspexch  21086  lspsolvlem  21099  zrhpsgninv  21542  evpmodpmf1o  21553  dsmmsubg  21700  mplsubglem  21956  mplind  22027  cpmatinvcl  22663  chpscmatgsumbin  22790  chpscmatgsummon  22791  tgplacthmeo  24049  tgpconncomp  24059  qustgpopn  24066  tsmsxplem1  24099  tlmtgp  24142  isngp4  24558  ngpinvds  24559  ngpsubcan  24560  nmtri  24572  ngptgp  24582  tngngp3  24602  ncvspi  25114  deg1suble  26070  deg1sub  26071  dchr2sum  27242  dchrisum0re  27482  symgfcoeu  33166  symgsubg  33171  archirngz  33273  archiabllem1b  33276  archiabllem2c  33279  eqgvscpbl  33433  qusxpid  33446  linds2eq  33464  quslsm  33488  nsgmgclem  33494  ressply1sub  33653  madjusmdetlem3  33988  madjusmdetlem4  33989  lflsub  39349  lflnegcl  39357  ldualvsubcl  39438  ldualvsubval  39439  dvhgrp  41389  lcfrlem2  41825  lcdvsubval  41900  mapdpglem30  41984  baerlem3lem1  41989  baerlem5alem1  41990  baerlem5blem1  41991  baerlem5blem2  41994  fldhmf1  42366  nelsubginvcld  42772  invginvrid  48634  lincext1  48721  lindslinindimp2lem1  48725  ldepsprlem  48739  ldepspr  48740  lincresunit3lem3  48741  lincresunit3lem1  48746  lincresunit3lem2  48747  lincresunit3  48748