MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvcl 17675
Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcl.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvcl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcl
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinvcl.n . . 3 𝑁 = (invg𝐺)
31, 2grpinvf 17674 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
43ffvelrnda 6502 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  Basecbs 16064  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634
This theorem is referenced by:  grprinv  17677  grpinvid1  17678  grpinvid2  17679  grplrinv  17681  grplcan  17685  grpasscan1  17686  grpasscan2  17687  grpinvinv  17690  grpinvcnv  17691  grpinvnzcl  17695  grpsubinv  17696  grplmulf1o  17697  grpinvssd  17700  grpinvadd  17701  grpsubf  17702  grpsubrcan  17704  grpinvsub  17705  grpinvval2  17706  grpsubeq0  17709  grpsubadd  17711  grpaddsubass  17713  grpnpcan  17715  dfgrp3  17722  grplactcnv  17726  grpsubpropd2  17729  prdsinvlem  17732  pwssub  17737  imasgrp  17739  ghmgrp  17747  mulgcl  17767  mulgaddcomlem  17771  mulginvcom  17773  mulginvinv  17774  mulgneg2  17783  subginv  17809  subginvcl  17811  issubg4  17821  grpissubg  17822  isnsg3  17836  subgacs  17837  nmzsubg  17843  eqger  17852  eqglact  17853  eqgcpbl  17856  qusgrp  17857  qusinv  17861  qussub  17862  ghminv  17875  ghmsub  17876  ghmrn  17881  ghmpreima  17890  ghmeql  17891  conjghm  17899  conjnmz  17902  galcan  17944  gacan  17945  gapm  17946  gaorber  17948  gastacl  17949  gastacos  17950  cntzsubg  17976  oppggrp  17994  symgsssg  18094  symgfisg  18095  odinv  18185  sylow2blem1  18242  sylow2blem3  18244  frgpuptf  18390  frgpuplem  18392  ablinvadd  18422  ablsub2inv  18423  ablsub4  18425  ablsubsub4  18431  mulgsubdi  18442  invghm  18446  eqgabl  18447  torsubg  18464  oddvdssubg  18465  cyggeninv  18492  ringnegl  18802  rngnegr  18803  ringmneg1  18804  ringmneg2  18805  ringm2neg  18806  ringsubdi  18807  rngsubdir  18808  dvdsrneg  18862  unitinvcl  18882  unitnegcl  18889  isdrng2  18967  cntzsubr  19022  abvneg  19044  abvsubtri  19045  lmodvnegcl  19114  lmodvneg1  19116  lmodvsneg  19117  lmodsubvs  19129  lmodsubdi  19130  lmodsubdir  19131  lssvsubcl  19154  lssvnegcl  19169  lspsnneg  19219  lmodvsinv  19249  lmodvsinv2  19250  lspexch  19343  lspsolvlem  19356  mplsubglem  19649  mplind  19717  zrhpsgninv  20146  evpmodpmf1o  20158  dsmmsubg  20304  cpmatinvcl  20742  chpscmatgsumbin  20869  chpscmatgsummon  20870  tgplacthmeo  22127  tgpconncomp  22136  qustgpopn  22143  tsmsxplem1  22176  tlmtgp  22219  isngp4  22636  ngpinvds  22637  ngpsubcan  22638  nmtri  22650  ngptgp  22660  tngngp3  22680  ncvspi  23175  deg1suble  24087  deg1sub  24088  dchr2sum  25219  dchrisum0re  25423  ogrpinvOLD  30055  ogrpinv0le  30056  ogrpsub  30057  ogrpaddltbi  30059  ogrpaddltrbid  30061  ogrpinv0lt  30063  ogrpinvlt  30064  archirngz  30083  archiabllem1b  30086  archiabllem2c  30089  orngsqr  30144  symgfcoeu  30185  madjusmdetlem3  30235  madjusmdetlem4  30236  lflsub  34876  lflnegcl  34884  ldualvsubcl  34965  ldualvsubval  34966  dvhgrp  36917  lcfrlem2  37353  lcdvsubval  37428  mapdpglem30  37512  baerlem3lem1  37517  baerlem5alem1  37518  baerlem5blem1  37519  baerlem5blem2  37522  invginvrid  42676  lincext1  42771  lindslinindimp2lem1  42775  ldepsprlem  42789  ldepspr  42790  lincresunit3lem3  42791  lincresunit3lem1  42796  lincresunit3lem2  42797  lincresunit3  42798
  Copyright terms: Public domain W3C validator