Theorem baerlem5amN 41717

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of first equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 41719 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5amN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5amN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		baerlem3.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		baerlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		baerlem5a.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
8		baerlem3.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grpsubval 18924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
10	2, 4, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
11	10	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))))
12	11	sneqd 4604	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))} = {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))})
13	12	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}))
14		baerlem3.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
15		baerlem3.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
16		baerlem3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17		baerlem3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
18		baerlem3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lveclmod 21020	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	17, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	5, 7	lmodvnegcl 20816	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22	20, 4, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
23		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
24	5, 23, 16, 20, 2, 4	lspprcl 20891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		baerlem3.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
26	14, 23, 20, 24, 18, 25	lssneln0 20866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
27	5, 16, 17, 18, 2, 4, 25	lspindpi 21049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
28	27	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	5, 14, 16, 17, 26, 2, 28	lspsnne1 21034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
30		baerlem3.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
31	30	necomd 2981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32	5, 14, 16, 17, 3, 2, 31	lspsnne1 21034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33	5, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25	lspexchn2 21048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
34		lmodgrp 20780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
35	17, 19, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
37	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
38	5, 7	grpinvinv 18944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
39	36, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
40	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
41	5, 23, 16, 20, 2, 18	lspprcl 20891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
44	23, 7	lssvnegcl 20869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
45	40, 42, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
46	39, 45	eqeltrrd 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
47	33, 46	mtand 815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
48	5, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47	lspexchn2 21048	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
49	5, 7, 16	lspsnneg 20919	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
50	20, 4, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
51	30, 50	neeqtrrd 3000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
52	5, 14, 7	grpinvnzcl 18950	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53	35, 3, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54	5, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6	baerlem5a 41715	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
55	50	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
56	5, 6, 8, 7, 35, 18, 4	grpsubinv 18951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑋 + 𝑍))
57	56	sneqd 4604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))} = {(𝑋 + 𝑍)})
58	57	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}))
59	58	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
60	55, 59	ineq12d 4187	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
61	13, 54, 60	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916  {csn 4592  {cpr 4594  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  -_gcsg 18874  LSSumclsm 19571  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  LSpanclspn 20884  LVecclvec 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-lsm 19573  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017

This theorem is referenced by: (None)