Theorem baerlem5amN 42345

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of first equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 42347 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5amN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5amN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		baerlem3.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		baerlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		baerlem5a.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
8		baerlem3.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grpsubval 19037	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
10	2, 4, 9	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
11	10	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))))
12	11	sneqd 4595	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))} = {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))})
13	12	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}))
14		baerlem3.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
15		baerlem3.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
16		baerlem3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17		baerlem3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
18		baerlem3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lveclmod 21180	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	17, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	5, 7	lmodvnegcl 20977	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22	20, 4, 21	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
23		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
24	5, 23, 16, 20, 2, 4	lspprcl 21052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		baerlem3.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
26	14, 23, 20, 24, 18, 25	lssneln0 21027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
27	5, 16, 17, 18, 2, 4, 25	lspindpi 21209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
28	27	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	5, 14, 16, 17, 26, 2, 28	lspsnne1 21194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
30		baerlem3.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
31	30	necomd 3013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32	5, 14, 16, 17, 3, 2, 31	lspsnne1 21194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33	5, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25	lspexchn2 21208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
34		lmodgrp 20941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
35	17, 19, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
36	35	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
37	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
38	5, 7	grpinvinv 19057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
39	36, 37, 38	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
40	20	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
41	5, 23, 16, 20, 2, 18	lspprcl 21052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42	41	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
44	23, 7	lssvnegcl 21030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
45	40, 42, 43, 44	syl3anc 1392	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
46	39, 45	eqeltrrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
47	33, 46	mtand 825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
48	5, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47	lspexchn2 21208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
49	5, 7, 16	lspsnneg 21080	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
50	20, 4, 49	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
51	30, 50	neeqtrrd 3032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
52	5, 14, 7	grpinvnzcl 19063	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53	35, 3, 52	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54	5, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6	baerlem5a 42343	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
55	50	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
56	5, 6, 8, 7, 35, 18, 4	grpsubinv 19064	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑋 + 𝑍))
57	56	sneqd 4595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))} = {(𝑋 + 𝑍)})
58	57	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}))
59	58	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
60	55, 59	ineq12d 4174	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
61	13, 54, 60	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17255  +_gcplusg 17296  0_gc0g 17478  Grpcgrp 18985  inv_gcminusg 18986  -_gcsg 18987  LSSumclsm 19684  LModclmod 20934  LSubSpclss 21005  LSpanclspn 21045  LVecclvec 21176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-0g 17480  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-subg 19175  df-cntz 19367  df-lsm 19686  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-oppr 20396  df-dvdsr 20416  df-unit 20417  df-invr 20447  df-drng 20790  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-lvec 21177

This theorem is referenced by: (None)