Theorem baerlem5amN 38856

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of first equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 38858 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5amN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5amN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		baerlem3.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		baerlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		baerlem5a.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
8		baerlem3.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grpsubval 18152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
10	2, 4, 9	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
11	10	oveq2d 7175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))))
12	11	sneqd 4582	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))} = {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))})
13	12	fveq2d 6677	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}))
14		baerlem3.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
15		baerlem3.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
16		baerlem3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17		baerlem3.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
18		baerlem3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lveclmod 19881	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	17, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	5, 7	lmodvnegcl 19678	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22	20, 4, 21	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
23		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
24	5, 23, 16, 20, 2, 4	lspprcl 19753	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		baerlem3.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
26	14, 23, 20, 24, 18, 25	lssneln0 19727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
27	5, 16, 17, 18, 2, 4, 25	lspindpi 19907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
28	27	simpld 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	5, 14, 16, 17, 26, 2, 28	lspsnne1 19892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
30		baerlem3.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
31	30	necomd 3074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32	5, 14, 16, 17, 3, 2, 31	lspsnne1 19892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33	5, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25	lspexchn2 19906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
34		lmodgrp 19644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
35	17, 19, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
36	35	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
37	4	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
38	5, 7	grpinvinv 18169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
39	36, 37, 38	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
40	20	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
41	5, 23, 16, 20, 2, 18	lspprcl 19753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42	41	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
44	23, 7	lssvnegcl 19731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
45	40, 42, 43, 44	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
46	39, 45	eqeltrrd 2917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
47	33, 46	mtand 814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
48	5, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47	lspexchn2 19906	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
49	5, 7, 16	lspsnneg 19781	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
50	20, 4, 49	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
51	30, 50	neeqtrrd 3093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
52	5, 14, 7	grpinvnzcl 18174	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53	35, 3, 52	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54	5, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6	baerlem5a 38854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
55	50	oveq2d 7175	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
56	5, 6, 8, 7, 35, 18, 4	grpsubinv 18175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑋 + 𝑍))
57	56	sneqd 4582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))} = {(𝑋 + 𝑍)})
58	57	fveq2d 6677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}))
59	58	oveq1d 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
60	55, 59	ineq12d 4193	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
61	13, 54, 60	3eqtrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   ∖ cdif 3936   ∩ cin 3938  {csn 4570  {cpr 4572  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  +_gcplusg 16568  0_gc0g 16716  Grpcgrp 18106  inv_gcminusg 18107  -_gcsg 18108  LSSumclsm 18762  LModclmod 19637  LSubSpclss 19706  LSpanclspn 19746  LVecclvec 19877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878

This theorem is referenced by: (None)