Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5amN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5amN 40390
Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of first equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 40392 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
baerlem5amN (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5amN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21eldifad 3956 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
3 baerlem3.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
43eldifad 3956 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
5 baerlem3.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 baerlem5a.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
7 eqid 2731 . . . . . . 7 (invg𝑊) = (invg𝑊)
8 baerlem3.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
95, 6, 7, 8grpsubval 18845 . . . . . 6 ((𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))
102, 4, 9syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))
1110oveq2d 7409 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = (𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))))
1211sneqd 4634 . . 3 (𝜑 → {(𝑋 (𝑌 𝑍))} = {(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))})
1312fveq2d 6882 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}))
14 baerlem3.o . . 3 0 = (0g𝑊)
15 baerlem3.s . . 3 = (LSSum‘𝑊)
16 baerlem3.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17 baerlem3.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
18 baerlem3.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
19 lveclmod 20666 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2017, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
215, 7lmodvnegcl 20462 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
2220, 4, 21syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
23 eqid 2731 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 20538 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25 baerlem3.c . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2614, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 20512 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 20694 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2827simpld 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 20679 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
30 baerlem3.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3130necomd 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 20679 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 20693 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
34 lmodgrp 20427 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3517, 19, 343syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
374adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍𝑉)
385, 7grpinvinv 18864 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍𝑉) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
4020adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 20538 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4241adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4423, 7lssvnegcl 20516 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4540, 42, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4639, 45eqeltrrd 2833 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4733, 46mtand 814 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 20693 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg𝑊)‘𝑍)}))
495, 7, 16lspsnneg 20566 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
5020, 4, 49syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
5130, 50neeqtrrd 3014 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}))
525, 14, 7grpinvnzcl 18869 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5335, 3, 52syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 40388 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) (𝑁‘{𝑌}))))
5550oveq2d 7409 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 18870 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍)) = (𝑋 + 𝑍))
5756sneqd 4634 . . . . 5 (𝜑 → {(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))} = {(𝑋 + 𝑍)})
5857fveq2d 6882 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}))
5958oveq1d 7408 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
6055, 59ineq12d 4209 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) (𝑁‘{𝑌}))) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
6113, 54, 603eqtrd 2775 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  cdif 3941  cin 3943  {csn 4622  {cpr 4624  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  0gc0g 17367  Grpcgrp 18794  invgcminusg 18795  -gcsg 18796  LSSumclsm 19466  LModclmod 20420  LSubSpclss 20491  LSpanclspn 20531  LVecclvec 20662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-lsm 19468  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-drng 20267  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-lvec 20663
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator