Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5abmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5abmN 41053
Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))))

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21eldifad 3960 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
3 baerlem3.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
43eldifad 3960 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
5 baerlem3.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 baerlem5a.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑊)
7 eqid 2731 . . . . . . . 8 (invg𝑊) = (invg𝑊)
8 baerlem3.m . . . . . . . 8 = (-g𝑊)
95, 6, 7, 8grpsubval 18913 . . . . . . 7 ((𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))
102, 4, 9syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))
1110oveq2d 7428 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = (𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))))
1211sneqd 4640 . . . 4 (𝜑 → {(𝑋 (𝑌 𝑍))} = {(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))})
1312fveq2d 6895 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}))
14 baerlem3.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
15 baerlem3.s . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
16 baerlem3.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17 baerlem3.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
18 baerlem3.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
19 lveclmod 20950 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2017, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
215, 7lmodvnegcl 20745 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
2220, 4, 21syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
23 eqid 2731 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 20821 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25 baerlem3.c . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2614, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 20796 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 20979 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2827simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 20964 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
30 baerlem3.d . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3130necomd 2995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 20964 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 20978 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
34 lmodgrp 20709 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3517, 19, 343syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
374adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍𝑉)
385, 7grpinvinv 18933 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍𝑉) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
3936, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
4020adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 20821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4241adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4423, 7lssvnegcl 20799 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4540, 42, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4639, 45eqeltrrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
4733, 46mtand 813 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 20978 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg𝑊)‘𝑍)}))
495, 7, 16lspsnneg 20849 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
5020, 4, 49syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
5130, 50neeqtrrd 3014 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)}))
525, 14, 7grpinvnzcl 18938 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5335, 3, 52syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 41049 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) (𝑁‘{𝑌}))))
5550oveq2d 7428 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 18939 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍)) = (𝑋 + 𝑍))
5756sneqd 4640 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))} = {(𝑋 + 𝑍)})
5857fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}))
5958oveq1d 7427 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
6055, 59ineq12d 4213 . . 3 (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 ((invg𝑊)‘𝑍))}) (𝑁‘{𝑌}))) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
6113, 54, 603eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
6210sneqd 4640 . . . 4 (𝜑 → {(𝑌 𝑍)} = {(𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))})
6362fveq2d 6895 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))}))
645, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5b 41050 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) (𝑁‘{𝑋}))))
6550oveq2d 7428 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})))
6610eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)) = (𝑌 𝑍))
6766oveq2d 7428 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍))) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))
6867sneqd 4640 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))} = {(𝑋 (𝑌 𝑍))})
6968fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}))
7069oveq1d 7427 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) (𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))
7165, 70ineq12d 4213 . . 3 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑍)))}) (𝑁‘{𝑋}))) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
7263, 64, 713eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
7361, 72jca 511 1 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  cdif 3945  cin 3947  {csn 4628  {cpr 4630  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  -gcsg 18863  LSSumclsm 19550  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LVecclvec 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator