Theorem baerlem5abmN 42347

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5abmN	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))))

Proof of Theorem baerlem5abmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		baerlem3.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		baerlem3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		baerlem5a.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
8		baerlem3.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grpsubval 19029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
10	2, 4, 9	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
11	10	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))))
12	11	sneqd 4596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))} = {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))})
13	12	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}))
14		baerlem3.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
15		baerlem3.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
16		baerlem3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17		baerlem3.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
18		baerlem3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lveclmod 21175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	17, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	5, 7	lmodvnegcl 20972	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22	20, 4, 21	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
23		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
24	5, 23, 16, 20, 2, 4	lspprcl 21047	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		baerlem3.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
26	14, 23, 20, 24, 18, 25	lssneln0 21022	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
27	5, 16, 17, 18, 2, 4, 25	lspindpi 21204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
28	27	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	5, 14, 16, 17, 26, 2, 28	lspsnne1 21189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
30		baerlem3.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
31	30	necomd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32	5, 14, 16, 17, 3, 2, 31	lspsnne1 21189	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33	5, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25	lspexchn2 21203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
34		lmodgrp 20936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
35	17, 19, 34	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
36	35	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
37	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
38	5, 7	grpinvinv 19049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
39	36, 37, 38	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
40	20	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
41	5, 23, 16, 20, 2, 18	lspprcl 21047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42	41	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
44	23, 7	lssvnegcl 21025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
45	40, 42, 43, 44	syl3anc 1392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
46	39, 45	eqeltrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
47	33, 46	mtand 825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
48	5, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47	lspexchn2 21203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
49	5, 7, 16	lspsnneg 21075	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
50	20, 4, 49	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
51	30, 50	neeqtrrd 3033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
52	5, 14, 7	grpinvnzcl 19055	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53	35, 3, 52	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54	5, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6	baerlem5a 42343	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
55	50	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
56	5, 6, 8, 7, 35, 18, 4	grpsubinv 19056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑋 + 𝑍))
57	56	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))} = {(𝑋 + 𝑍)})
58	57	fveq2d 6873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}))
59	58	oveq1d 7413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
60	55, 59	ineq12d 4175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
61	13, 54, 60	3eqtrd 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
62	10	sneqd 4596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝑌 − 𝑍)} = {(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))})
63	62	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}))
64	5, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6	baerlem5b 42344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
65	50	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
66	10	eqcomd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
67	66	oveq2d 7414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))) = (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)))
68	67	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))} = {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))})
69	68	fveq2d 6873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}))
70	69	oveq1d 7413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
71	65, 70	ineq12d 4175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
72	63, 64, 71	3eqtrd 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
73	61, 72	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  0_gc0g 17470  Grpcgrp 18977  inv_gcminusg 18978  -_gcsg 18979  LSSumclsm 19676  LModclmod 20929  LSubSpclss 21000  LSpanclspn 21040  LVecclvec 21171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-drng 20783  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lvec 21172

This theorem is referenced by: (None)