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Theorem baerlem5abmN 41079
Description: An equality that holds when 𝑋, π‘Œ, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
baerlem3.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
baerlem3.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
baerlem3.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
baerlem3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
baerlem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
baerlem3.d (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
baerlem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem5a.p + = (+gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) = (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))) ∧ (π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑍)}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))))

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21eldifad 3952 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3 baerlem3.z . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
43eldifad 3952 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
5 baerlem3.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 baerlem5a.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘Š)
7 eqid 2724 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
8 baerlem3.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8grpsubval 18905 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))
102, 4, 9syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))
1110oveq2d 7417 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍)) = (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))))
1211sneqd 4632 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))} = {(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))})
1312fveq2d 6885 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) = (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}))
14 baerlem3.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
15 baerlem3.s . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
16 baerlem3.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
17 baerlem3.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
18 baerlem3.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
19 lveclmod 20944 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2017, 19syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
215, 7lmodvnegcl 20739 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ 𝑉)
2220, 4, 21syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ 𝑉)
23 eqid 2724 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 20815 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
25 baerlem3.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
2614, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 20790 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 20973 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
2827simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 20958 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
30 baerlem3.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
3130necomd 2988 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 20958 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 20972 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
34 lmodgrp 20703 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
3517, 19, 343syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ π‘Š ∈ Grp)
374adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
385, 7grpinvinv 18925 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = 𝑍)
3936, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = 𝑍)
4020adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 20815 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
4241adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
43 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
4423, 7lssvnegcl 20793 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
4540, 42, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
4639, 45eqeltrrd 2826 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
4733, 46mtand 813 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 20972 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)}))
495, 7, 16lspsnneg 20843 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)}) = (π‘β€˜{𝑍}))
5020, 4, 49syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)}) = (π‘β€˜{𝑍}))
5130, 50neeqtrrd 3007 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)}))
525, 14, 7grpinvnzcl 18930 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
5335, 3, 52syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 41075 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}) = (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))))
5550oveq2d 7417 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) = ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})))
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 18931 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = (𝑋 + 𝑍))
5756sneqd 4632 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))} = {(𝑋 + 𝑍)})
5857fveq2d 6885 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}) = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}))
5958oveq1d 7416 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})) = ((π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})))
6055, 59ineq12d 4205 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))) = (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))))
6113, 54, 603eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) = (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))))
6210sneqd 4632 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(π‘Œ βˆ’ 𝑍)} = {(π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))})
6362fveq2d 6885 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑍)}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}))
645, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5b 41076 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
6550oveq2d 7417 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) = ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})))
6610eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
6766oveq2d 7417 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))) = (𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍)))
6867sneqd 4632 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))} = {(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))})
6968fveq2d 6885 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}) = (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}))
7069oveq1d 7416 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
7165, 70ineq12d 4205 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
7263, 64, 713eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑍)}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
7361, 72jca 511 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) = (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))) ∧ (π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑍)}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆ– cdif 3937   ∩ cin 3939  {csn 4620  {cpr 4622  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  0gc0g 17384  Grpcgrp 18853  invgcminusg 18854  -gcsg 18855  LSSumclsm 19544  LModclmod 20696  LSubSpclss 20768  LSpanclspn 20808  LVecclvec 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941
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