Theorem baerlem5abmN 38856

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5abmN	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))))

Proof of Theorem baerlem5abmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3950	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		baerlem3.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3950	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		baerlem3.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		baerlem5a.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
8		baerlem3.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grpsubval 18151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
10	2, 4, 9	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))
11	10	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))))
12	11	sneqd 4581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))} = {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))})
13	12	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}))
14		baerlem3.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
15		baerlem3.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
16		baerlem3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17		baerlem3.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
18		baerlem3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lveclmod 19880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	17, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	5, 7	lmodvnegcl 19677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
22	20, 4, 21	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ 𝑉)
23		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
24	5, 23, 16, 20, 2, 4	lspprcl 19752	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		baerlem3.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
26	14, 23, 20, 24, 18, 25	lssneln0 19726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
27	5, 16, 17, 18, 2, 4, 25	lspindpi 19906	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
28	27	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	5, 14, 16, 17, 26, 2, 28	lspsnne1 19891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
30		baerlem3.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
31	30	necomd 3073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32	5, 14, 16, 17, 3, 2, 31	lspsnne1 19891	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33	5, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25	lspexchn2 19905	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
34		lmodgrp 19643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
35	17, 19, 34	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
36	35	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ Grp)
37	4	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
38	5, 7	grpinvinv 18168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
39	36, 37, 38	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) = 𝑍)
40	20	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
41	5, 23, 16, 20, 2, 18	lspprcl 19752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
42	41	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
43		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
44	23, 7	lssvnegcl 19730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
45	40, 42, 43, 44	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
46	39, 45	eqeltrrd 2916	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
47	33, 46	mtand 814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
48	5, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47	lspexchn2 19905	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, ((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
49	5, 7, 16	lspsnneg 19780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
50	20, 4, 49	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}) = (𝑁‘{𝑍}))
51	30, 50	neeqtrrd 3092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)}))
52	5, 14, 7	grpinvnzcl 18173	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53	35, 3, 52	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54	5, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6	baerlem5a 38852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
55	50	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
56	5, 6, 8, 7, 35, 18, 4	grpsubinv 18174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑋 + 𝑍))
57	56	sneqd 4581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))} = {(𝑋 + 𝑍)})
58	57	fveq2d 6676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}))
59	58	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
60	55, 59	ineq12d 4192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
61	13, 54, 60	3eqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
62	10	sneqd 4581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝑌 − 𝑍)} = {(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))})
63	62	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}))
64	5, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6	baerlem5b 38853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
65	50	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
66	10	eqcomd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
67	66	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍))) = (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)))
68	67	sneqd 4581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))} = {(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))})
69	68	fveq2d 6676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}))
70	69	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
71	65, 70	ineq12d 4192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑍)})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + ((invg‘𝑊)‘𝑍)))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
72	63, 64, 71	3eqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
73	61, 72	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 − 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ∖ cdif 3935   ∩ cin 3937  {csn 4569  {cpr 4571  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715  Grpcgrp 18105  inv_gcminusg 18106  -_gcsg 18107  LSSumclsm 18761  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  LSpanclspn 19745  LVecclvec 19876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877

This theorem is referenced by: (None)