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Theorem baerlem5abmN 39932
Description: An equality that holds when 𝑋, π‘Œ, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
baerlem3.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
baerlem3.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
baerlem3.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
baerlem3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
baerlem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
baerlem3.d (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
baerlem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem5a.p + = (+gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) = (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))) ∧ (π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑍)}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))))

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21eldifad 3904 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3 baerlem3.z . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
43eldifad 3904 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
5 baerlem3.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 baerlem5a.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘Š)
7 eqid 2736 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
8 baerlem3.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8grpsubval 18674 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))
102, 4, 9syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍) = (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))
1110oveq2d 7323 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍)) = (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))))
1211sneqd 4577 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))} = {(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))})
1312fveq2d 6808 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) = (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}))
14 baerlem3.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
15 baerlem3.s . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
16 baerlem3.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
17 baerlem3.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
18 baerlem3.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
19 lveclmod 20417 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2017, 19syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
215, 7lmodvnegcl 20213 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ 𝑉)
2220, 4, 21syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ 𝑉)
23 eqid 2736 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 20289 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
25 baerlem3.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
2614, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 20263 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 20443 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
2827simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 20428 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
30 baerlem3.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
3130necomd 2997 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 20428 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 20442 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
34 lmodgrp 20179 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
3517, 19, 343syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
3635adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ π‘Š ∈ Grp)
374adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
385, 7grpinvinv 18691 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = 𝑍)
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = 𝑍)
4020adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 20289 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
4241adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
43 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
4423, 7lssvnegcl 20267 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
4540, 42, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
4639, 45eqeltrrd 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
4733, 46mtand 814 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 20442 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)}))
495, 7, 16lspsnneg 20317 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)}) = (π‘β€˜{𝑍}))
5020, 4, 49syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)}) = (π‘β€˜{𝑍}))
5130, 50neeqtrrd 3016 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)}))
525, 14, 7grpinvnzcl 18696 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
5335, 3, 52syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 39928 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}) = (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))))
5550oveq2d 7323 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) = ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})))
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 18697 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = (𝑋 + 𝑍))
5756sneqd 4577 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))} = {(𝑋 + 𝑍)})
5857fveq2d 6808 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}) = (π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}))
5958oveq1d 7322 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})) = ((π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})))
6055, 59ineq12d 4153 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))) = (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))))
6113, 54, 603eqtrd 2780 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) = (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))))
6210sneqd 4577 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(π‘Œ βˆ’ 𝑍)} = {(π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))})
6362fveq2d 6808 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑍)}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}))
645, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5b 39929 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
6550oveq2d 7323 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) = ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})))
6610eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = (π‘Œ βˆ’ 𝑍))
6766oveq2d 7323 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘))) = (𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍)))
6867sneqd 4577 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))} = {(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))})
6968fveq2d 6808 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}) = (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}))
7069oveq1d 7322 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
7165, 70ineq12d 4153 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘)))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
7263, 64, 713eqtrd 2780 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑍)}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
7361, 72jca 513 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) = (((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 + 𝑍)}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ}))) ∧ (π‘β€˜{(π‘Œ βˆ’ 𝑍)}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ βˆ’ 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3889   ∩ cin 3891  {csn 4565  {cpr 4567  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16961  +gcplusg 17011  0gc0g 17199  Grpcgrp 18626  invgcminusg 18627  -gcsg 18628  LSSumclsm 19288  LModclmod 20172  LSubSpclss 20242  LSpanclspn 20282  LVecclvec 20413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-0g 17201  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-subg 18801  df-cntz 18972  df-lsm 19290  df-cmn 19437  df-abl 19438  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-oppr 19911  df-dvdsr 19932  df-unit 19933  df-invr 19963  df-drng 20042  df-lmod 20174  df-lss 20243  df-lsp 20283  df-lvec 20414
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