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Theorem lindslinindsimp1 47448
Description: Implication 1 for lindslininds 47455. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp1 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑠,𝑦   𝑓,𝑀,𝑠,𝑦   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑠,𝑦   𝑓,𝑍,𝑠,𝑦   0 ,𝑓,𝑠,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑅(𝑦,𝑠)   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑓)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem lindslinindsimp1
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4605 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
21ad2antrl 727 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
3 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
43anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ LMod))
54ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
7 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
87adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
11 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
13 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))
1410, 12, 133jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
15 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ 𝑔 finSupp 0 )
16 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
17 lindslinind.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
18 lindslinind.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 = (0gβ€˜π‘…)
20 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
21 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
22 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))
2316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext2 47446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ 𝑔 finSupp 0 ) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 )
246, 14, 15, 23syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 )
254adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ LMod))
2625ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext1 47445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
2927, 14, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
30 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ))
31 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆))
3231eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
3330, 32anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)))
34 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯))
3534eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 ))
3635ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 ))
3733, 36imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 )))
3837rspcv 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 )))
3929, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 )))
4039exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 ))))
4124, 40mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 )))
42 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
4316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext3 47447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
446, 14, 42, 43syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
45 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = 0 ))
4645rspcv 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = 0 ))
4712, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = 0 ))
48 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))))
49 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑠 β†’ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑧 = 𝑠) β†’ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))
51 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ V)
5248, 50, 11, 51fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))
5453eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = 0 ↔ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 ))
5517lmodfgrp 20741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5618, 19, 21grpinvnzcl 18958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
57 eldif 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ { 0 }))
58 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ V
5958elsn 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ { 0 } ↔ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 )
60 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (Β¬ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6160com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (Β¬ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6259, 61sylnbi 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (Β¬ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ { 0 } β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6357, 62simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6456, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6564ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑅 ∈ Grp β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))))
6655, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))))
6766com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))))
6867impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6968impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
7069com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
7170imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
7271impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7454, 73sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7547, 74syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7644, 75embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ ((((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7741, 76syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7877exp5j 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
7978impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
8079impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
8180imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
8281expdimp 452 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
8382expd 415 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (𝑔 finSupp 0 β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
8483impcom 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 finSupp 0 ∧ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
8584pm2.01d 189 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 finSupp 0 ∧ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))
8685olcd 873 . . . . . . . . 9 ((𝑔 finSupp 0 ∧ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
87 animorl 976 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∧ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
8886, 87pm2.61ian 811 . . . . . . . 8 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
8988ralrimiva 3141 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
90 ralnex 3067 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
91 ianor 980 . . . . . . . . 9 (Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
9291ralbii 3088 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
9390, 92bitr3i 277 . . . . . . 7 (Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
9489, 93sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
9594intnand 488 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ Β¬ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
963ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
97 difexg 5323 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V)
9897ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V)
991ssdifssd 4138 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10099ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10198, 100elpwd 4604 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
102101adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
10316lspeqlco 47430 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) = ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))
104103eleq2d 2814 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
105104bicomd 222 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
10696, 102, 105syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
1073adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
108 difexg 5323 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V)
109108, 99elpwd 4604 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
110109ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
111107, 110jca 511 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
112111adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
11316, 17, 18lcoval 47403 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
11419eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘…) = 0
115114breq2i 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ↔ 𝑔 finSupp 0 )
116115anbi1i 623 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
117116rexbii 3089 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
118117anbi2i 622 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
119113, 118bitrdi 287 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
120112, 119syl 17 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
121106, 120bitrd 279 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
12295, 121mtbird 325 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))
123122ralrimivva 3195 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))
1242, 123jca 511 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
125124ex 412 1 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  π’« cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836   finSupp cfsupp 9377  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412  Grpcgrp 18881  invgcminusg 18882  LModclmod 20732  LSpanclspn 20844   linC clinc 47395   LinCo clinco 47396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-linc 47397  df-lco 47398
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