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Theorem lindslinindsimp1 46612
Description: Implication 1 for lindslininds 46619. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp1 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑠,𝑦   𝑓,𝑀,𝑠,𝑦   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑠,𝑦   𝑓,𝑍,𝑠,𝑦   0 ,𝑓,𝑠,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑅(𝑦,𝑠)   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑓)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem lindslinindsimp1
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4572 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
21ad2antrl 727 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
3 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
43anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ LMod))
54ancomd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
7 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
87adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
98adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
11 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
1211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
13 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))
1410, 12, 133jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
15 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ 𝑔 finSupp 0 )
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
17 lindslinind.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
18 lindslinind.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 = (0gβ€˜π‘…)
20 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))
2316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext2 46610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ 𝑔 finSupp 0 ) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 )
246, 14, 15, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 )
254adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ LMod))
2625ancomd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext1 46609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
2927, 14, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
30 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ))
31 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆))
3231eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍))
3330, 32anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)))
34 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯))
3534eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 ))
3635ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 ))
3733, 36imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) β†’ (((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 )))
3837rspcv 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 )))
3929, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 )))
4039exp4a 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 ))))
4124, 40mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 )))
42 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
4316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext3 46611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
446, 14, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
45 fveqeq2 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = 0 ))
4645rspcv 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = 0 ))
4712, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = 0 ))
48 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§))))
49 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑠 β†’ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑧 = 𝑠) β†’ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))
51 fvexd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ V)
5248, 50, 11, 51fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))
5453eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = 0 ↔ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 ))
5517lmodfgrp 20347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5618, 19, 21grpinvnzcl 18826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
57 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ { 0 }))
58 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ V
5958elsn 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ { 0 } ↔ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 )
60 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (Β¬ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6160com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (Β¬ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6259, 61sylnbi 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (Β¬ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ { 0 } β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6357, 62simplbiim 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6456, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6564ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑅 ∈ Grp β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))))
6655, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))))
6766com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))))
6867impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
6968impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
7069com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
7170imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
7271impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7372adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7454, 73sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘ ) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7547, 74syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7644, 75embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ ((((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘¦), (π‘”β€˜π‘§)))β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7741, 76syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
7877exp5j 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))))
7978impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
8079impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
8180imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
8281expdimp 454 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
8382expd 417 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (𝑔 finSupp 0 β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
8483impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 finSupp 0 ∧ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
8584pm2.01d 189 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 finSupp 0 ∧ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))
8685olcd 873 . . . . . . . . 9 ((𝑔 finSupp 0 ∧ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
87 animorl 977 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∧ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
8886, 87pm2.61ian 811 . . . . . . . 8 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
8988ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
90 ralnex 3076 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
91 ianor 981 . . . . . . . . 9 (Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
9291ralbii 3097 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
9390, 92bitr3i 277 . . . . . . 7 (Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
9489, 93sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
9594intnand 490 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ Β¬ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
963ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
97 difexg 5289 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V)
9897ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V)
991ssdifssd 4107 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10099ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10198, 100elpwd 4571 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
102101adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
10316lspeqlco 46594 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) = ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))
104103eleq2d 2824 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
105104bicomd 222 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
10696, 102, 105syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
1073adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
108 difexg 5289 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V)
109108, 99elpwd 4571 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
110109ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
111107, 110jca 513 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
112111adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
11316, 17, 18lcoval 46567 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
11419eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘…) = 0
115114breq2i 5118 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ↔ 𝑔 finSupp 0 )
116115anbi1i 625 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
117116rexbii 3098 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
118117anbi2i 624 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
119113, 118bitrdi 287 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
120112, 119syl 17 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
121106, 120bitrd 279 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
12295, 121mtbird 325 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))
123122ralrimivva 3198 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))
1242, 123jca 513 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
125124ex 414 1 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  LModclmod 20338  LSpanclspn 20448   linC clinc 46559   LinCo clinco 46560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-linc 46561  df-lco 46562
This theorem is referenced by:  lindslininds  46619
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