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Theorem grpoideu 30528
Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1 𝑋 = ran 𝐺
Assertion
Ref Expression
grpoideu (𝐺 ∈ GrpOp → ∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝐺   𝑢,𝑋,𝑥

Proof of Theorem grpoideu
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpfo.1 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
21grpoidinv 30527 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃𝑢𝑋𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)))
3 simpll 767 . . . . . . . . 9 ((((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧)
43ralimi 3083 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑧𝑋 (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧)
5 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑢𝐺𝑥))
6 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
75, 6eqeq12d 2753 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ↔ (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥))
87cbvralvw 3237 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑋 (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
94, 8sylib 218 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
109adantl 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
119ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
12 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))
1312ralimi 3083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))
14 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑤 → (𝑦𝐺𝑧) = (𝑦𝐺𝑤))
1514eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ↔ (𝑦𝐺𝑤) = 𝑢))
16 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐺𝑦) = (𝑤𝐺𝑦))
1716eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐺𝑦) = 𝑢 ↔ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
1815, 17anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢) ↔ ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)))
1918rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)))
2019rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
2120adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
2213, 21sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
231grpoidinvlem4 30526 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2422, 23syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2524an32s 652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2625adantllr 719 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
28 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (𝑤𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑢))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢𝑥 = 𝑢)
3028, 29eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑤𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢))
3130rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3231adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3332ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3433adantllr 719 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
35 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑢𝐺𝑤))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
3735, 36eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤))
3837rspcva 3620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤)
3938ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤)
4027, 34, 393eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → 𝑢 = 𝑤)
4140ex 412 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → ((∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → 𝑢 = 𝑤))
4211, 41mpand 695 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))
4342ralrimiva 3146 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))
4410, 43jca 511 . . . . 5 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
4544ex 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) → (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))))
4645reximdva 3168 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp → (∃𝑢𝑋𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))))
472, 46mpd 15 . 2 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
48 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑥))
4948eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥))
5049ralbidv 3178 . . 3 (𝑢 = 𝑤 → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥))
5150reu8 3739 . 2 (∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
5247, 51sylibr 234 1 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  ran crn 5686  (class class class)co 7431  GrpOpcgr 30508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fo 6567  df-fv 6569  df-ov 7434  df-grpo 30512
This theorem is referenced by:  grpoidval  30532  grpoidcl  30533  grpoidinv2  30534  cnidOLD  30601  hilid  31180
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