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Theorem grpoideu 29225
Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1 𝑋 = ran 𝐺
Assertion
Ref Expression
grpoideu (𝐺 ∈ GrpOp → ∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝐺   𝑢,𝑋,𝑥

Proof of Theorem grpoideu
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpfo.1 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
21grpoidinv 29224 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃𝑢𝑋𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)))
3 simpll 765 . . . . . . . . 9 ((((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧)
43ralimi 3084 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑧𝑋 (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧)
5 oveq2 7354 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑢𝐺𝑥))
6 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
75, 6eqeq12d 2753 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ↔ (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥))
87cbvralvw 3223 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑋 (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
94, 8sylib 217 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
109adantl 483 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
119ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
12 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))
1312ralimi 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))
14 oveq2 7354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑤 → (𝑦𝐺𝑧) = (𝑦𝐺𝑤))
1514eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ↔ (𝑦𝐺𝑤) = 𝑢))
16 oveq1 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐺𝑦) = (𝑤𝐺𝑦))
1716eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐺𝑦) = 𝑢 ↔ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
1815, 17anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢) ↔ ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)))
1918rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)))
2019rspcva 3574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
2120adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
2213, 21sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
231grpoidinvlem4 29223 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2422, 23syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2524an32s 650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2625adantllr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2726adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
28 oveq2 7354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (𝑤𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑢))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢𝑥 = 𝑢)
3028, 29eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑤𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢))
3130rspcva 3574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3231adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3332ad2ant2rl 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3433adantllr 717 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
35 oveq2 7354 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑢𝐺𝑤))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
3735, 36eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤))
3837rspcva 3574 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤)
3938ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤)
4027, 34, 393eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → 𝑢 = 𝑤)
4140ex 414 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → ((∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → 𝑢 = 𝑤))
4211, 41mpand 693 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))
4342ralrimiva 3141 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))
4410, 43jca 513 . . . . 5 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
4544ex 414 . . . 4 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) → (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))))
4645reximdva 3163 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp → (∃𝑢𝑋𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))))
472, 46mpd 15 . 2 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
48 oveq1 7353 . . . . 5 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑥))
4948eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥))
5049ralbidv 3172 . . 3 (𝑢 = 𝑤 → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥))
5150reu8 3686 . 2 (∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
5247, 51sylibr 233 1 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  ∃!wreu 3349  ran crn 5628  (class class class)co 7346  GrpOpcgr 29205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pr 5379  ax-un 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-id 5525  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-fo 6494  df-fv 6496  df-ov 7349  df-grpo 29209
This theorem is referenced by:  grpoidval  29229  grpoidcl  29230  grpoidinv2  29231  cnidOLD  29298  hilid  29877
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