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Theorem grpoideu 28336
 Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1 𝑋 = ran 𝐺
Assertion
Ref Expression
grpoideu (𝐺 ∈ GrpOp → ∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝐺   𝑢,𝑋,𝑥

Proof of Theorem grpoideu
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpfo.1 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
21grpoidinv 28335 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃𝑢𝑋𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)))
3 simpll 766 . . . . . . . . 9 ((((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧)
43ralimi 3128 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑧𝑋 (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧)
5 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑢𝐺𝑥))
6 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
75, 6eqeq12d 2814 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ↔ (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥))
87cbvralvw 3397 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑋 (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
94, 8sylib 221 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
109adantl 485 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
119ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
12 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))
1312ralimi 3128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))
14 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑤 → (𝑦𝐺𝑧) = (𝑦𝐺𝑤))
1514eqeq1d 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ↔ (𝑦𝐺𝑤) = 𝑢))
16 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐺𝑦) = (𝑤𝐺𝑦))
1716eqeq1d 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐺𝑦) = 𝑢 ↔ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
1815, 17anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢) ↔ ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)))
1918rexbidv 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)))
2019rspcva 3570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
2120adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
2213, 21sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
231grpoidinvlem4 28334 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2422, 23syldan 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2524an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2625adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2726adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
28 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (𝑤𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑢))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢𝑥 = 𝑢)
3028, 29eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑤𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢))
3130rspcva 3570 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3231adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3332ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3433adantllr 718 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
35 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑢𝐺𝑤))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
3735, 36eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤))
3837rspcva 3570 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤)
3938ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤)
4027, 34, 393eqtr3d 2841 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → 𝑢 = 𝑤)
4140ex 416 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → ((∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → 𝑢 = 𝑤))
4211, 41mpand 694 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))
4342ralrimiva 3149 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))
4410, 43jca 515 . . . . 5 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
4544ex 416 . . . 4 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) → (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))))
4645reximdva 3234 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp → (∃𝑢𝑋𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))))
472, 46mpd 15 . 2 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
48 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑥))
4948eqeq1d 2800 . . . 4 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥))
5049ralbidv 3162 . . 3 (𝑢 = 𝑤 → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥))
5150reu8 3674 . 2 (∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
5247, 51sylibr 237 1 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ∃!wreu 3108  ran crn 5524  (class class class)co 7145  GrpOpcgr 28316 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pr 5299  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-fo 6338  df-fv 6340  df-ov 7148  df-grpo 28320 This theorem is referenced by:  grpoidval  28340  grpoidcl  28341  grpoidinv2  28342  cnidOLD  28409  hilid  28988
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