Theorem hilid 28940

Description: The group identity element of Hilbert space vector addition is the zero vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilid	⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ

Proof of Theorem hilid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 28939	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 28326	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 28779	. . . . . 6 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6526	. . . . 5 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 28300	. . . 4 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘ +ℎ )
8	6, 7	grpoidval 28292	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → (GId‘ +ℎ ) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥)
10		hvaddid2 28802	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
11	10	rgen 3150	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥
12		ax-hv0cl 28782	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
13	6	grpoideu 28288	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥)
14	3, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥
15		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑦 +ℎ 𝑥) = (0ℎ +ℎ 𝑥))
16	15	eqeq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥))
17	16	ralbidv 3199	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥))
18	17	riota2 7141	. . . 4 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ))
19	12, 14, 18	mp2an 690	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ)
20	11, 19	mpbi 232	. 2 ⊢ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ
21	9, 20	eqtri 2846	1 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃!wreu 3142   × cxp 5555  ‘cfv 6357  ℩crio 7115  (class class class)co 7158  GrpOpcgr 28268  GIdcgi 28269  AbelOpcablo 28323   ℋchba 28698   +_ℎ cva 28699  0_ℎc0v 28703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hvcom 28780  ax-hvass 28781  ax-hv0cl 28782  ax-hvaddid 28783  ax-hfvmul 28784  ax-hvmulid 28785  ax-hvdistr2 28788  ax-hvmul0 28789

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875  df-grpo 28272  df-gid 28273  df-ablo 28324  df-hvsub 28750

This theorem is referenced by:  hhnv  28944  hh0v  28947  hhssabloilem  29040