HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilid 30848
Description: The group identity element of Hilbert space vector addition is the zero vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilid (GId‘ + ) = 0

Proof of Theorem hilid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 30847 . . . 4 + ∈ AbelOp
2 ablogrpo 30234 . . . 4 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 + ∈ GrpOp
4 ax-hfvadd 30687 . . . . . 6 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
54fdmi 6729 . . . . 5 dom + = ( ℋ × ℋ)
63, 5grporn 30208 . . . 4 ℋ = ran +
7 eqid 2731 . . . 4 (GId‘ + ) = (GId‘ + )
86, 7grpoidval 30200 . . 3 ( + ∈ GrpOp → (GId‘ + ) = (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥))
93, 8ax-mp 5 . 2 (GId‘ + ) = (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
10 hvaddlid 30710 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1110rgen 3062 . . 3 𝑥 ∈ ℋ (0 + 𝑥) = 𝑥
12 ax-hv0cl 30690 . . . 4 0 ∈ ℋ
136grpoideu 30196 . . . . 5 ( + ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
143, 13ax-mp 5 . . . 4 ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥
15 oveq1 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → (𝑦 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
1615eqeq1d 2733 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → ((𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
1716ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑦 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (0 + 𝑥) = 𝑥))
1817riota2 7394 . . . 4 ((0 ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0))
1912, 14, 18mp2an 689 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0)
2011, 19mpbi 229 . 2 (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0
219, 20eqtri 2759 1 (GId‘ + ) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  ∃!wreu 3373   × cxp 5674  cfv 6543  crio 7367  (class class class)co 7412  GrpOpcgr 30176  GIdcgi 30177  AbelOpcablo 30231  chba 30606   + cva 30607  0c0v 30611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-hilex 30686  ax-hfvadd 30687  ax-hvcom 30688  ax-hvass 30689  ax-hv0cl 30690  ax-hvaddid 30691  ax-hfvmul 30692  ax-hvmulid 30693  ax-hvdistr2 30696  ax-hvmul0 30697
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-neg 11454  df-grpo 30180  df-gid 30181  df-ablo 30232  df-hvsub 30658
This theorem is referenced by:  hhnv  30852  hh0v  30855  hhssabloilem  30948
  Copyright terms: Public domain W3C validator