Theorem hilid 31236

Description: The group identity element of Hilbert space vector addition is the zero vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilid	⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ

Proof of Theorem hilid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31235	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30622	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 31075	. . . . . 6 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6673	. . . . 5 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 30596	. . . 4 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘ +ℎ )
8	6, 7	grpoidval 30588	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → (GId‘ +ℎ ) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥)
10		hvaddlid 31098	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
11	10	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥
12		ax-hv0cl 31078	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
13	6	grpoideu 30584	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥)
14	3, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥
15		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑦 +ℎ 𝑥) = (0ℎ +ℎ 𝑥))
16	15	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥))
17	16	ralbidv 3159	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥))
18	17	riota2 7340	. . . 4 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ))
19	12, 14, 18	mp2an 692	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ)
20	11, 19	mpbi 230	. 2 ⊢ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ
21	9, 20	eqtri 2759	1 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃!wreu 3348   × cxp 5622  ‘cfv 6492  ℩crio 7314  (class class class)co 7358  GrpOpcgr 30564  GIdcgi 30565  AbelOpcablo 30619   ℋchba 30994   +_ℎ cva 30995  0_ℎc0v 30999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ablo 30620  df-hvsub 31046

This theorem is referenced by:  hhnv  31240  hh0v  31243  hhssabloilem  31336