Theorem hilid 29424

Description: The group identity element of Hilbert space vector addition is the zero vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilid	⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ

Proof of Theorem hilid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 29423	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 28810	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 29263	. . . . . 6 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6596	. . . . 5 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 28784	. . . 4 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘ +ℎ )
8	6, 7	grpoidval 28776	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → (GId‘ +ℎ ) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥)
10		hvaddid2 29286	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
11	10	rgen 3073	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥
12		ax-hv0cl 29266	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
13	6	grpoideu 28772	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥)
14	3, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥
15		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑦 +ℎ 𝑥) = (0ℎ +ℎ 𝑥))
16	15	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥))
17	16	ralbidv 3120	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥))
18	17	riota2 7238	. . . 4 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ))
19	12, 14, 18	mp2an 688	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ)
20	11, 19	mpbi 229	. 2 ⊢ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ
21	9, 20	eqtri 2766	1 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃!wreu 3065   × cxp 5578  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  GrpOpcgr 28752  GIdcgi 28753  AbelOpcablo 28807   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183  0_ℎc0v 29187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ablo 28808  df-hvsub 29234

This theorem is referenced by:  hhnv  29428  hh0v  29431  hhssabloilem  29524