Theorem cnidOLD 31184

Description: Obsolete version of cnaddid 20084. The group identity element of complex number addition is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnidOLD	⊢ 0 = (GId‘ + )

Proof of Theorem cnidOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 31183	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ablogrpo 31149	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
4		ax-addf 11279	. . . . . 6 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5	4	fdmi 6721	. . . . 5 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
6	3, 5	grporn 31123	. . . 4 ⊢ ℂ = ran +
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (GId‘ + ) = (GId‘ + )
8	6, 7	grpoidval 31115	. . 3 ⊢ ( + ∈ GrpOp → (GId‘ + ) = (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (GId‘ + ) = (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
10		addlid 11493	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
11	10	rgen 3078	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥
12		0cn 11298	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	6	grpoideu 31111	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
14	3, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥
15		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
16	15	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
17	16	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥))
18	17	riota2 7402	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0))
19	12, 14, 18	mp2an 705	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0)
20	11, 19	mpbi 233	. 2 ⊢ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0
21	9, 20	eqtr2i 2784	1 ⊢ 0 = (GId‘ + )

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃!wreu 3363   × cxp 5648  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   + caddc 11203  GrpOpcgr 31091  GIdcgi 31092  AbelOpcablo 31146

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ablo 31147

This theorem is used by:  cnnv  31279