MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnidOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnidOLD 27765
Description: Obsolete version of cnaddid 18474. The group identity element of complex number addition is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnidOLD 0 = (GId‘ + )

Proof of Theorem cnidOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddabloOLD 27764 . . . 4 + ∈ AbelOp
2 ablogrpo 27730 . . . 4 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 + ∈ GrpOp
4 ax-addf 10300 . . . . . 6 + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
54fdmi 6266 . . . . 5 dom + = (ℂ × ℂ)
63, 5grporn 27704 . . . 4 ℂ = ran +
7 eqid 2806 . . . 4 (GId‘ + ) = (GId‘ + )
86, 7grpoidval 27696 . . 3 ( + ∈ GrpOp → (GId‘ + ) = (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥))
93, 8ax-mp 5 . 2 (GId‘ + ) = (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
10 addid2 10504 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1110rgen 3110 . . 3 𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥
12 0cn 10317 . . . 4 0 ∈ ℂ
136grpoideu 27692 . . . . 5 ( + ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
143, 13ax-mp 5 . . . 4 ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥
15 oveq1 6881 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → (𝑦 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
1615eqeq1d 2808 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → ((𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
1716ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑦 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥))
1817riota2 6857 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0))
1912, 14, 18mp2an 675 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0)
2011, 19mpbi 221 . 2 (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0
219, 20eqtr2i 2829 1 0 = (GId‘ + )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  ∃!wreu 3098   × cxp 5309  cfv 6101  crio 6834  (class class class)co 6874  cc 10219  0cc0 10221   + caddc 10224  GrpOpcgr 27672  GIdcgi 27673  AbelOpcablo 27727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-addf 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-ltxr 10364  df-sub 10553  df-neg 10554  df-grpo 27676  df-gid 27677  df-ablo 27728
This theorem is referenced by:  cnnv  27860
  Copyright terms: Public domain W3C validator