Theorem cnidOLD 27777

Description: Obsolete as of 23-Jan-2020. Use cnaddid 18480 instead. The group identity element of complex number addition is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnidOLD	⊢ 0 = (GId‘ + )

Proof of Theorem cnidOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 27776	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ablogrpo 27741	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
4		ax-addf 10217	. . . . . 6 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5	4	fdmi 6192	. . . . 5 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
6	3, 5	grporn 27715	. . . 4 ⊢ ℂ = ran +
7		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (GId‘ + ) = (GId‘ + )
8	6, 7	grpoidval 27707	. . 3 ⊢ ( + ∈ GrpOp → (GId‘ + ) = (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (GId‘ + ) = (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
10		addid2 10421	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
11	10	rgen 3071	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥
12		0cn 10234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	6	grpoideu 27703	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
14	3, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥
15		oveq1 6800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
16	15	eqeq1d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
17	16	ralbidv 3135	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥))
18	17	riota2 6776	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0))
19	12, 14, 18	mp2an 672	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0)
20	11, 19	mpbi 220	. 2 ⊢ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0
21	9, 20	eqtr2i 2794	1 ⊢ 0 = (GId‘ + )

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃!wreu 3063   × cxp 5247  ‘cfv 6031  ℩crio 6753  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  0cc0 10138   + caddc 10141  GrpOpcgr 27683  GIdcgi 27684  AbelOpcablo 27738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-addf 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-sub 10470  df-neg 10471  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ablo 27739

This theorem is referenced by:  cnnv  27872