Theorem cnidOLD 30875

Description: Obsolete version of cnaddid 19940. The group identity element of complex number addition is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnidOLD	⊢ 0 = (GId‘ + )

Proof of Theorem cnidOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 30874	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30840	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
4		ax-addf 11179	. . . . . 6 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5	4	fdmi 6718	. . . . 5 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
6	3, 5	grporn 30814	. . . 4 ⊢ ℂ = ran +
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (GId‘ + ) = (GId‘ + )
8	6, 7	grpoidval 30806	. . 3 ⊢ ( + ∈ GrpOp → (GId‘ + ) = (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (GId‘ + ) = (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
10		addlid 11393	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
11	10	rgen 3087	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥
12		0cn 11198	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	6	grpoideu 30802	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
14	3, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥
15		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
16	15	eqeq1d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
17	16	ralbidv 3194	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥))
18	17	riota2 7393	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0))
19	12, 14, 18	mp2an 704	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0)
20	11, 19	mpbi 233	. 2 ⊢ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0
21	9, 20	eqtr2i 2793	1 ⊢ 0 = (GId‘ + )

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃!wreu 3373   × cxp 5660  ‘cfv 6537  ℩crio 7367  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100   + caddc 11103  GrpOpcgr 30782  GIdcgi 30783  AbelOpcablo 30837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ablo 30838

This theorem is referenced by:  cnnv  30970