Theorem cnidOLD 30676

Description: Obsolete version of cnaddid 19816. The group identity element of complex number addition is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnidOLD	⊢ 0 = (GId‘ + )

Proof of Theorem cnidOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 30675	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30641	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
4		ax-addf 11119	. . . . . 6 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5	4	fdmi 6683	. . . . 5 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
6	3, 5	grporn 30615	. . . 4 ⊢ ℂ = ran +
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (GId‘ + ) = (GId‘ + )
8	6, 7	grpoidval 30607	. . 3 ⊢ ( + ∈ GrpOp → (GId‘ + ) = (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (GId‘ + ) = (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
10		addlid 11330	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
11	10	rgen 3054	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥
12		0cn 11138	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	6	grpoideu 30603	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
14	3, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥
15		oveq1 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
16	15	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
17	16	ralbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥))
18	17	riota2 7352	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0))
19	12, 14, 18	mp2an 693	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0)
20	11, 19	mpbi 230	. 2 ⊢ (℩𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0
21	9, 20	eqtr2i 2761	1 ⊢ 0 = (GId‘ + )

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃!wreu 3350   × cxp 5632  ‘cfv 6502  ℩crio 7326  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  0cc0 11040   + caddc 11043  GrpOpcgr 30583  GIdcgi 30584  AbelOpcablo 30638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-sub 11380  df-neg 11381  df-grpo 30587  df-gid 30588  df-ablo 30639

This theorem is referenced by:  cnnv  30771