MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnidOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnidOLD 28050
Description: Obsolete version of cnaddid 18713. The group identity element of complex number addition is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnidOLD 0 = (GId‘ + )

Proof of Theorem cnidOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddabloOLD 28049 . . . 4 + ∈ AbelOp
2 ablogrpo 28015 . . . 4 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 + ∈ GrpOp
4 ax-addf 10462 . . . . . 6 + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
54fdmi 6392 . . . . 5 dom + = (ℂ × ℂ)
63, 5grporn 27989 . . . 4 ℂ = ran +
7 eqid 2795 . . . 4 (GId‘ + ) = (GId‘ + )
86, 7grpoidval 27981 . . 3 ( + ∈ GrpOp → (GId‘ + ) = (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥))
93, 8ax-mp 5 . 2 (GId‘ + ) = (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
10 addid2 10670 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1110rgen 3115 . . 3 𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥
12 0cn 10479 . . . 4 0 ∈ ℂ
136grpoideu 27977 . . . . 5 ( + ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
143, 13ax-mp 5 . . . 4 ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥
15 oveq1 7023 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → (𝑦 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
1615eqeq1d 2797 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → ((𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
1716ralbidv 3164 . . . . 5 (𝑦 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥))
1817riota2 6999 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0))
1912, 14, 18mp2an 688 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0)
2011, 19mpbi 231 . 2 (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0
219, 20eqtr2i 2820 1 0 = (GId‘ + )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  ∃!wreu 3107   × cxp 5441  cfv 6225  crio 6976  (class class class)co 7016  cc 10381  0cc0 10383   + caddc 10386  GrpOpcgr 27957  GIdcgi 27958  AbelOpcablo 28012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-addf 10462
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526  df-sub 10719  df-neg 10720  df-grpo 27961  df-gid 27962  df-ablo 28013
This theorem is referenced by:  cnnv  28145
  Copyright terms: Public domain W3C validator