Theorem grppnpcan2 19101

Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (pnpcan2 11499 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grppnpcan2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − (𝑌 + 𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))

Proof of Theorem grppnpcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpsubadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	grpcl 19009	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑍) ∈ 𝐵)
5	4	3adant3r2 1202	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑍) ∈ 𝐵)
6		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		grpsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
9	2, 3, 8	grpsubsub4 19100	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑍) − 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 + 𝑍) − (𝑌 + 𝑍)))
10	1, 5, 6, 7, 9	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑍) − 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 + 𝑍) − (𝑌 + 𝑍)))
11	2, 3, 8	grppncan 19098	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑍) = 𝑋)
12	11	3adant3r2 1202	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑍) = 𝑋)
13	12	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑍) − 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 − 𝑌))
14	10, 13	eqtr3d 2800	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) − (𝑌 + 𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  Grpcgrp 19001  -_gcsg 19003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006

This theorem is referenced by:  ngprcan  24748  r1pcyc  33875